数学课例-奇妙的五角星-高杨.doc

预学后教”策略下小学数学课堂教学优秀案例《奇妙的五角星》
类型：综合实践课 学科：小数六年级
学校：党湾二小 设计：高 杨

奇妙的五角星
【学习目标】
1. 通过观察五角星，提出相关的数学问题，并能利用已学的知识和技能解决问题；
2. 经历观察、操作、推理的过程，了解五角星形、边、角、顶点的特点，并尝试应用已学知识求一个角的度数和五角星的面积与周长，增强应用数学的能力；
3. 结合五角星的现实材料和数学作品，感受五角星的数学美，感悟五角星的文化价值。
【先学任务】
先学任务请学生在上课前一天回家完成。如果有困难，可以同家长一起完成。
预学设计
设计意图
一、五角星的“形”
你在哪些地方见到过五角星？请在画出一个五角星。

五角星是对称图形吗？有几条对称轴？
立足现实生活，通过平时日常的感知和画一画的操作，建立表象。同时把学生平时观察习得的旧知与新课内容联系起来。使学生置于熟悉的情境之中，调动学生的学习兴趣，使学生在较短的时间里尽快明确本课学习任务。

从五角星的整体形状入手，结合以前学过对称的知识，让学生回答五角星是否对称，有几条对称轴。
二、五角星的“点”
五角星的五个顶点有什么特点？
根据第一题表象的建立和先给出的五个点，让学生猜想五点共圆。猜想是基础，严密的论证离不开大胆的猜想。这一环节为后续上课验证五角星五点共圆作铺垫。
三、五角星的“角”
五角星有几个锐角？用你自己的方法得出它们的度数。

根据三角形内角和180度，推算出五角星的顶角度数。也可以用量角器直接量出度数。鼓励学生用自己的方法得出结果。通过已有的基本数学知识和基本技能，拓展和推导新的知识。使学生感到学有所用。
四、五角星的“新发现”和“疑惑”
给予学生一定的个性空间，尊重学生的个性需求。通过开放，引导学生在个性区域中大胆猜想和尝试，为进一步推导和验证铺平道路。

【教学过程】
一、 新课引入、提出数学问题（7分钟）
【设计】1．教师谈话引入课题
2．感知寻找标准五角星的共同点
3．观察标准的五角星，提出一些数学问题。选择典型问题，制成展板、准备和全班同学一起解决。
【现场】
1. 师：这是我们国家的国旗和国徽，在国旗和国徽上都有一个共同的图形，是什么图形？
生：五角星。
师：你认识五角星吗？
生：认识。
2. 师追问：那你们能不能说说什么样的图形是五角星？
生：（虽然认识但是表达困难）
师：有些事物我们很熟悉，但当有人突然问是什么的时候会觉得比较困难，那我们就改改：说说五角星是什么样的？（学生尝试回答）
图1.1 一般和标准五角星对比
3. 师：尽管你们很难说出五角星的特点，但是你们一定能判断下面哪个是标准的五角星？如图1.1（说明：3号五角星在超级画板中是可以变化的，在变化过程中让学生判断是否为标准的五角星，判断的过程实际上就是感知寻找标准五角星的共同特点。）

4. 师：那么五角星到底有哪些特点呢？今天我们就一起来研究它。
5. 师：请同学们观察标准的五角星，结合我们所学的知识和研究其他平面图形的方法，能不能提一些数学问题？
生1：五角星有几个角？五角星的顶角是几度？
生2：五角星是否是对称图形？有几条对称轴？
生3：五角星的面积和周长如何计算？
生4：五角星的五个顶点连接起来是什么图形？
生：．．．．．．
6. 刚才大家提出了很多关于五角星的问题，我们选择其中的一些依次来解决它们。
【反思】
作为课程的“综合实践活动”，我觉得应该是立足现实生活背景针对数学内容而展开的活动，应该把数学知识和技能的应用、数学活动经验的积累以及数学思想的渗透作为活动组织的价值取向。
关注学生提问能力和解决问题的策略。看着一幅简单的图从数学的角度提出问题，而这些问题恰恰是教学所预设要解决的问题，当面队纷繁复杂的问题时，如何分门别类地解决？引导学生从整体到局部，从点到线到图形的周长和面积，在解决问题的过程中学会解决问题。
二、 独立思考、合作解决
【设计】1．研究五角星的“形”
2．研究五角星的“点”
3．研究五角星的“角”
4．研究五角星的“面积和周长”
5．研究五角星的“黄金比例”
【现场】
1．研究五角星的“形”
（1） 师：五角星是不是对称图形？有几条对称轴？（学生作出判断）
（2） 画出预习案上五角星的对称轴。
图2.1 学生画的五角星和对称轴

2．研究五角星的“点”
（1） 师：五角星的点有什么特点？
生1：对称轴的焦点就是中心点。
生2：我昨天画了一个圆，发现五角星5个顶点都在一个圆上。
（2） 师追问：是不是所有的五角星都是这样呢？
生：应该是的。
（3） 教师运用超级画板演示。请学生上台操作。拖动其中一点，五角星的大小任意变化，但是无论多大的五角星，其五点都在一个圆上。如图2.2：
图2.2 五角星五点共圆示意图

3．研究五角星的“角”
图2.3 外角等于不相邻的两个内角和
（1） 师：我们再来研究五角星的角，主要研究5个顶角。五角星的一个顶角是多少度？组织学生先观察图形，然后估一估，大致集中在30°~50°；再用量角器量一量，范围确定在35°-37°。然后引导学生精确地推算。
方法一：首先启发学生发现一个外角等于不相邻的两个内角和。学生所 需要的推理基础是已学内容：三角形的内角和是180°，平角的度数是 180°。具体过程如图2.1。
∠2+∠4=∠6，∠3+∠5=∠7，∠1+∠6+∠7=180°。（如图2.4
那么 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°；
所以五角星的一个角的度数是180°÷5=36°
图2.4 五角星顶角度数推算方法示意图 一

方法二：如方法一，根据三角形内角和是180°，推算出正五边形的内 角和是540°，正五边形有五个内角，所以一个内角是108°，又因为∠ 1+∠6+∠7=180°，∠6+∠1=108°，这样可以推算出∠6=72°，∠7=72 °,∠1=180°-72°×2=36°。如图2.5
图2.5五角星顶角度数推算示意图二

方法三：五角星所在的五边形的内角和为180°×3=540°，540÷5÷3=36°。（此方法 有部分依赖学生的自觉，缺少严格的证明，但有学生这样作出判断，也值得肯定。）
4． 研究五角星的“周长和面积”
（1） 师：要计算五角星的周长和面积，需要度量哪几条线段的长度？
生：只要量得一条边的长度，乘10就是五角星的周长。
（2） 师：计算面积最少需要度量哪几条线段？为什么？
生：尝试测量与计算。师生之间交流，引导学生量出OA，以及OA边上的高，求得三角形OAF的面积，然后乘10就是五角星的面积，见图2.6
图2.6五角星面积计算方法

5．研究五角星的“黄金比”
（1）师：五角星中有很多的线段．它们的长度看上去特别的舒服．这些线段之间有着怎样的关系呢?(让学生试着先说说自己的直觉。)
（2）引导学生在五角星中找出几组具有黄金比的线段。学生按照提示找出对应的线段：IH ：( ) = EI ：( ) = EH ：( ) = 0．618
（3）应用超级画板展示动态五角星．验证不同的五角星相应的线段都具有黄金比的性质。如图2.7：五角星的5个三角形均为底角是72°，顶角是36°的等腰三角形，这样的三角形也叫“黄金三角形”，如果画出底角的角平分线，又会产生两个三角形．仍然是黄金三角形。可以通俗地认为：五角星中满是“黄金”。
图2.7五角星黄金比例超级画板演示图
【反思】)借助五角星巩固已有技能，拓展思维。怎样应用已有知识“三角形的内角和180°来推算五角星一个顶角的度数，怎样计算五角星的周长和面积，怎样估计出哪些线段之间存在黄金比……这些问题的解决都是数学基本知识和基本技能的应用。这节课上，这些知识和技能已经不是孤立的存在，而是贯穿在一起。从另一个角度来说，这些技能也不是在原有水平上的重复，而是在综合应用中有了新的拓展，尤其是五角星一个角的度数的推导。虽然有“估”和“量”的基础．但严谨的推导是对学生缜密的逻辑思维能力的重要挑战。通过黄金分割点的知识，引领学生进行数学欣赏。提升学生欣赏数学美的能力，能萌发学习数学的兴趣．更重要的是能够激发学生继续探索更广阔数学世界的欲望。另外，相关的文化史料也富有教育意义。
三、实践动手操作（根据实际情况，如时间来不及，此过程省略）
【设计】1．画一画，先请学生自己在纸上画，后课件演示标准画法。
2．剪一剪，教师一遍演示，学生一遍操作。
【现场】
1．画一画
师：通过刚才的测量与推算，请同学们自己在纸上画一个五角星。
生：学生动手实践后发现自己画的五角星不标准、不美观, 当学生感到疑惑时, 教师用CAI演示画五角星的步骤, 学生在纸上学着画。如图3.1
图3.1 五角星画法一

2.剪一剪
鼓励学生用多种方法剪出五角星，CAI演示部分方法。
【反思】在此实践过程中就是对五角星数学知识的运用。如果在教学中采用教师先画、先折再剪，学生跟着模仿的教学方法，很容易造成教师独断专行，变成教师的表演，那么学生学会的只是“照葫芦画瓢”，别无他获。在实际教学中，我借助CAI课件和教师的适时点拨，让学生发现五角星的画法；接着，让学生结合自己的体验和发现，将画五角星的原理进行推广。在学习折叠法剪五角星时，我们也没有撇开先画后剪法，而是以先画后剪法得到的五角星为模型，试着将五角星“返璞归真”，返回到剪后还没展开时的状态，让学生在不断地折叠和尝试中探究和感悟，力求恢复当初发明者创造折叠法时的火热思考。
四、数学欣赏、课外延伸
【设计】介绍关于五角星的数学问题，欣赏带有五角星的图片。
【现场】1．师：关于五角星的问题还有很多很多，如著名的“奇妙的五共圆”：给出一个五角星，每个小三角形的外面都可以画一个圆，每相邻的两个圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点，另五点在同一个圆上。还有很多美妙多变的五角星：转动的五角星，神奇的五角星风车。（如图4.1）
2．师:五角星如此奇妙,世界上有50多个国家的国旗上都有五角星,如美国、澳大利亚、新加坡等，我们国家的国旗上也有5个五角星。其实五角星的起源很早，现在发现最早的五角星图案是幼发拉底河下游发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。更有趣的是 ，古希腊的毕达哥斯拉学派用五角星作为他们的徽章或标志，称之为“健康”，还有更多的关于五角星的美妙问题等待着我们去发现。
图4.1奇妙的五角星图案

【反思】
引领学生进行数学欣赏。提升学生欣赏数学美的能力，能萌发学习数学的兴趣，更重要的是能够激发学生继续探索更广阔数学世界的欲望。另外，相关的文化史料也富有教育意义，从中国的国旗到世界各国的国旗，从公元前3200年前的一块石板到毕达哥斯拉学派的标志，还有“健康”的名字，激起学生对数学的兴趣。六年级数学 “奇妙的五角星”预学案
学校： 班级： 姓名：
同学们，我们已经学习了长方形、正方形、圆形、三角形等平面图形，今天我们继续来学习平面图形——五角星。
一、 五角星的“形”
你在哪些地方见到过五角星？请根据下面的点画出一个五角星。

五角星是对称图形吗？有几条对称轴？在上面图中画一画.

二、 五角星的“点”
五角星的五个顶点有什么特点？

三、 五角星的“角”
五角星有几个锐角？用你自己的方法得出它们的度数。

四、 对于五角星，你还有什么新发现或者疑问?
我的发现 我的疑问