1、三角函数中的数学思想方法
扬中市第二高级中学 季成龙
摘要：本文主要研究了三角函数一章中所渗透的各种数学思想。从其涵义出发，具体介绍了数形结合，方程函数，以及化归等解决问题的方法，并通过大量习题详细讲解了它们在本章知识中的应用。在此基础上，提出了运用数学思想探究问题规律的教学观点。
关键词：三角函数；数学思想方法；数形结合思想；化归思想；思维能力
三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。在三角函数一章的学习和复习中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于
2、提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。
一、 数形结合思想-
数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
例1．函数的定义域是
解析：该函数的定义域即不等式组的解集，即的解集
若用传统方法则要求与的交集，比较麻烦，
若画出的图象如图2所示，再由，
易得
例2．求方程实根的个数
解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的
3、实根个数。
在同一坐标系中画出函数的图象，
如图3所示，两个图象有三个交点,即方程有三个实根。
0
y
x
二、 函数与方程思想
三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想。体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。
例3．求当函数的最大值为1时的值
解析：依据题设条件，可转化为关于的二次函数，
4、利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。
设
求函数的最大值为1时的值等价于求闭区间上的二次函数的最大值为1时的值
（1）当时，即时，，有最大值为，
由题设可知（舍去）；
（2）当时，即时，，有最大值为，
由题设可知=1，解得 （正号舍去）
（3）当时，即时，，有最大值为，
由题设可知
综上可得或
例4．已知，求的值
解法1：直接解方程组
若，则
，即
由得
解法2：构造一般方程
由得：
又
以为两个根，构造一元二次方程，解得，则，从而
三、 转化与化归思想
转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法，实质就是实现新问题向旧问题转化，复杂问题向
5、简单问题转化，未知问题向已知问题的转化，抽象问题向具体问题的转化等，从而便于找出问题的解决方法。体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。
例5．设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。
解析：因为
=
=
=，
所以，tan2=。
又因为为第四象限的角，
所以tan=，
从而求得tan2=。
四、 分类讨论思想
分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而问题化整为零，各个击破。体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象
6、限有不同的三角函数值，因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。
例6．已知，求的值
解析：已知，但不知角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上；应根据的值来确定角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来求的值。
（1）当，即（此时角的终边在轴上）时，
（2）当，为第一或第三象限角
若角在第三象限，则若角在第三象限，则
（3）当，为第二或第四象限角
若角在第二象限，则若角在第四象限，则
综上所述，当角在第一象限、轴的正方向及第四象限角时，
当角在第二象限、轴的负方向及第三象限角时，
五、 整体的思想
整体思想方法是一种重要的思想方法，
7、它把研究对象的某一部分（或全体）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从中找出解决问题的新途径，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。
例7．已知为三角形的一个内角，且满足
（1）求的值；
（2）求的值
解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值
（1）由平方，得，
即
因为
又因为为三角形的一个内角，，
所以，则
因此
（2）
=
以上是对三角函数一章中如何应用数学思想方法的一点总结，还有一些思想方法，如换元法，逆向思维法，特例（或特殊值法）等。但其中数形结合，函数与方程，转化与化归三种方法尤为重要，也是历年高考题所注重的能力考察。若能在学习过程中自觉应用，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，把数学水平提高到一个新的高度。
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
