高三数学第二轮专题讲座复习：对集合的理解及集合思想应用的问题.doc

高三数学第二轮专题讲座复习：对集合的理解及集合思想应用的问题高考要求集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用 重难点归纳 1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 2 注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论 典型题例示范讲解 例1设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论 命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题 知识依托 解决此题的闪光点是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了 错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手 技巧与方法 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC= 1=(2bk1)24k2(b21)0 4k24bk+10, 即 b21 4x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0 k22k+8b190, 从而8b20,即 b2 5 由及bN,得b=2代入由10和20知，方程只有负根，不符合要求 当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 学生巩固练习 1 集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,则( )A M=NB MNC MND MN=2 已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，则( )A 3m4B 3m4C 2m4D 20,b0,当AB只有一个元素时，a,b的关系式是_ 5 集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求当a取什么实数时，AB 和AC=同时成立 6 已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB至多有一个元素；(3)当a10时，一定有AB 7 已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,当AB=B时，求b的值 8 设f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x (1)求证 AB;(2)如果A=1，3，求B 参考答案 1 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ 答案 C2 解析 AB=A，BA,又B,即2m4 答案 D3 a=0或a4 解析 由AB只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab= 答案 ab=5 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 6 解 (1)正确 在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上 (2)正确 设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得 2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解 AB至多有一个元素 (3）不正确 取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n0, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的 7 解 由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化简得|w(b+i)|1 集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面 又AB=B，即BA，两圆内含 因此21,即(b2)20，b=2 8 (1)证明 设x0是集合A中的任一元素，即有x0A A=x|x=f(x),x0=f(x0) 即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB (2)证明 A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q=0有两根1和3，应用韦达定理，得f(x)=x2x3 于是集合B的元素是方程ff(x)=x,也即(x2x3)2(x2x3)3=x(*)的根 将方程(*)变形，得(x2x3)2x2=0解得x=1,3, 故B=，1，3 4