高考总复习物理《万有引力与航天》——亮点题粹.doc

09高考总复习物理《万有引力与航天》——亮点题粹
升华级
图7—11
R
O
d
R
O
1
2
题1   如图7—11所示，半径为R=0.2m的两个均匀金属球，质量均为M=160kg，两球心相距d=2m，内部挖出一个半径为R/2的球形空穴，空穴跟金属球相切。求挖出空穴后两球间万有引力的大小。
亮点  应用力的叠加原理求解空穴球体间的万有引力。
解析  将两球中挖出的部分分别放回两球中，设该填充球的质量均为M’，则有
，。
两完整球之间的万有引力为 ，
两填充球之间的万有引力为 ，
填充球与另一完整球之间的万有引力为
  。
以F2、F3分别表示两空腔球之间和填空球与空腔球之间的万有引力，则有
 ，
从而

≈3.2×10-7N。
联想 求解此类空穴球体间的万有引力，常常会犯以下两种错误：
其一，误将两空穴球体重心间的距离当作万有引力公式中的r进行计算；
其二，误认为，而忽略了填空球与空腔球之间的万有引力。
值得注意的是，万有引力公式仅适用于计算质点之间或质量均匀分布的球体之间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，公式中的r即两球心间的距离。对于一般的物体，它们之间的万有引力等于两物体各部分间万有引力的矢量和。
图7－12
题2 现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图7－12所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：
(1) 双星旋转的中心O到m1的距离；
(2) 双星的转动周期。
亮点 应用万有引力定律和牛顿第二定律对双星旋转中心和转动周期的讨论。
解析 设双星旋转的中心O到m1的距离为x，由F引=F向知
   G，G。
联立以上两式求解得：
双星旋转的中心到m1的距离为x=。
双星的转动周期为  T=2πL。 联想 经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两个星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。向心力大小相等，角速度相同，这是双星运动的特点。
双星在宇宙中是比较常见的，如地球和月球在一定程度上就属于此种类型。但由于地球的质量比月球大得多，据有关数据计算，它们所围绕的共同“中心”到地心的距离约为4.68×103km，小于地球半径。可见，它们的共同“中心”在地球的内部，因此看上去是月球绕地球运转。
题3 1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲信号。贝尔和她的导师曾认为他们和外星文明接上了头。后来大家认识到事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”。“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定。这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。
(1) 已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331s。PS0531的脉冲现象来自自转。设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度。
(2) 如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少？（太阳质量是M=1030kg）
亮点 应用万有引力定律、牛顿第二定律和密度公式对脉冲星最小密度和最大半径的讨论。
解析 (1)  脉冲星的脉冲周期即为自转周期，脉冲星高速自转但不瓦解的临界条件是：该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力。由
 ，
又  ，
故脉冲星的最小密度为
 。
(2)  由，得脉冲星的最大半径为
。
联想 本题讨论的是有关脉冲星密度和半径的临界问题。分析临界问题要抓住临界状态，对脉冲星而言，其临界状态是即将瓦解的状态，此时星球表面的某块物质所受星体的万有引力恰等于向心力，明白了这一点，问题就迎刃而解了。
你能求出脉冲星PS0531表面附近可能最大的环绕速度吗？
(答案：)
题4 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），其中分别是引力常量、地球的质量和半径。已知
，求下列问题：
(1)  逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）。
(2)  在目前天文观察范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
亮点 应用“逃逸速度大于光在真空中的速度”对黑洞和宇宙半径的估算。
解析 (1)  由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度 
，
其中M、R为天体的质量和半径。对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v2＞c，所以  R＜。
即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径约为2.94×103m。
(2)  把宇宙视为一普通天体，则其质量为
，
其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的平均密度，则宇宙所对应的逃逸速度为
  。
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2＞c。
则由以上三式可得
  R＞，
合4.24×1010光年，即宇宙的半径至少为4.24×1010光年。
联想 黑洞是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。种种迹象表明，它确实存在于人们的视野之外。分析黑洞问题，一定要抓住其“黑”的原因，即光子也逃不出它的引力约束。
本题作出了这样的假设：“认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙”。这样，我们便可用类似于研究黑洞的方法来估算宇宙的半径。
题5 海洋占地球表面积的71%，它接受来自太阳的辐射能比陆地要大得多。根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿千瓦，其中海洋潮汐能含量巨大。海洋潮汐是由于月球和太阳的引力作用而引起的海水周期性涨落的现象。理论证明月球对海水的引潮力与月球的质量成正比，与月、地间的距离的三次方成反比，即。同理可证，太阳对海水的引潮力与太阳的质量成正比，与日、地间的距离的三次方成反比，即。
潮水潮汐能的大小随潮差而变，潮差越大则潮汐能越大。加拿大的芬迪湾、法国的塞纳河口、我国的钱塘江、印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮差较大的地区。1980年我国建成的浙江省温岭县江厦潮汐电站，其装机容量为3000kW，规模居世界第二，仅次于法国的朗斯潮汐电站。已知地球半径为6.4×106m，月球绕地球的运动可近似看作圆周运动。根据有关数据解释：为什么月球对潮汐现象起主要作用？（，，）
亮点 应用题给信息及万有引力定律、牛顿第二定律对潮汐现象的分析。
解析 要解释为什么月球对潮汐现象起主要作用，其实就是要求论述较明显大。这种比较，只要内定性阐明即可，并不要求精确的定量计算，所以通过估算即可解决问题。
为此，需要引用题中所给的理论模型：
  ，。
分析上述两式，不难发现月球与地球间的距离未知。因此，如何估算就成了解决问题的关键。
那么，关于月球，我们已经掌握了哪些信息呢？题中给出了“月球绕地球的运动可近似看作圆周运动”，生活常识又告诉了我们月球的公转周期T（约29天），则有
。
又地球表面的重力加速度g可认为是已知的，即有
 。
综合上述两式解得
  。
又根据题中所给的理论模型，有
。
即月球的引潮力是太阳引潮力的2.18×103倍，因此月球对潮汐现象起主要作用。
联想 本题的特点是提供了许多信息，有些需要加工处理，有些是多余的，需要筛去。而另外一些缺乏的条件，则需要我们从相关的物理知识和基本生活常识中去提取。要重视对信息加工处理能力的培养和训练。另外，本题的取材背景是一个新能源的开发和利用问题，要关注这类现实问题。
题6 系绳卫星是用绳与比它大的航天器相连的人造卫星，可从近地轨道运行的航天飞机中向上或向下释放测出100km左右的距离。当系绳卫星随航天飞机入轨时，它已获得一定的环绕速度。把卫星从货舱里向上送出，使它高于航天飞机的轨道，这时它就沿着绳自动爬升直到受到系绳长度的限制为止。如果把卫星向航天飞机的下方送出，卫星就会相对于航天飞机沿着绳下降。请对卫星能“自动”爬升和下降的原因作出解释。
亮点 应用万有引力定律和牛顿第二定律对系绳卫星“自动”升降原因的解释。
解析 系绳卫星原与航天飞机速度相同，此时万有引力等于向心力。由和可知，当系绳卫星向上放出时，r增大，则减小而增大，卫星做离心运动，故沿绳“自动”爬升；反之，当系绳卫星向下放出时，r减小，则增大而减小，卫星做向心运动，故沿绳“自动”下降。
联想 自1992年以来，美国曾多次实验在太空用航天飞机释放系绳卫星。系绳卫星比普通卫星的一个显著优点是便于回收重复使用，但需要搭载航天飞机进行释放，就其发射成本而言，则要高于普通卫星。
题7 一个曾经提出所谓的“登天缆绳”的设想：用一绳竖在赤道正上方，使绳随着地球同步自转，只要这根绳子足够长，就不会坠落。人们可以沿着这条“登天缆绳”到太空中去游览。这一大胆的设想已被科学家证实在理论上是可行的，并且其长度也被算出约为1.5×105km。
(1) 试利用相关的物理规律说明“登天缆绳”这一设想的理论可行性。
(2)  指出“登天缆绳”上哪一点最容易断。
亮点 运用微分思想对“登天缆绳”设想的理论可行性及缆绳上最易断裂点位置的分析，涉及万有引力定律和牛顿第二定律的应用。
解析 (1)  “登天缆绳”的重力提供缆绳随地球同步自转所需的向心力，故不会坠落。
(2)  将缆绳分为无数个小段，在与同步卫星等高的h处，该小段缆绳所受地球引力正好提供其绕地球同步转动的向心力。由和可知，若r增大，则减小而增大；反之，若r减小，则增大而减小。可见，当r＞h时，各小段缆绳所受地球引力不足以提供其所需的向心力，有远离地球的趋势；而当r＜h时，各小段缆绳所受地球引力大于所需的向心力，有向地球坠落的趋势。这样，缆绳在h处就出现了向上、向下两个方向的最大拉力，该处最容易断裂。
联想 绳子是一种连续体，在上述分析过程中，我们运用微分思想，将连贯的绳子分为无数个小段，把每一小段看作质点，从而可应用万有引力公式加以讨论。
“登天缆绳”在理论上说是可行的，但绳子在同步卫星高度处所需承受的巨大拉力，实际上绳的材料的抗拉力强度还无法达到；要将如此长的绳子在赤道上方竖起来，在技术上还存在难以逾越的障碍。
S
地球
H
图7－13
题8 一组宇航员乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105ｍ的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H。机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数千米处，如图7－13所示。设G为引力常量，M为地球质量（已知地球半径为6.4×106ｍ）。
(1) 在穿梭机内，一质量为70kg 的太空人的视重是多少？
(2) 计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期。
(3) 穿梭机需首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜。试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，说明理由。
亮点　对太空穿梭机运行的讨论，涉及完全失重、黄金代换、第一宇宙速度、万有引力定律和牛顿第二定律等知识。
解析　(1) 穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为0。
(2) 由，得地球表面的重力加速度为
  ；
同理穿梭机所在轨道上的重力加速度为
  。
所以，  。
由，可得第一宇宙速度
 ；
同理穿梭机在轨道上的速率  。
所以，    。
由，可得穿梭机的运行周期为
   。
(3) 由知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v’ 减小时，才减小，则＞。
联想　太空穿梭机是太空中运载宇航员的一种交通工具。处于与哈勃太空望远镜同一轨道上的穿梭机先减速而做向心运动，到达半径较小的运行轨道。由于在此过程中地球引力做正功，在较低的轨道上穿梭机的运行速率会比在较高轨道上的速率大。穿梭机在适当的位置再加速而做离心运动，便可与望远镜对接。
图7－14
O
O
E
A
B
C
D
(a)
(b)
题9 一个空间站位于地球上空几千米的轨道上，它是圆环形的，可绕着通过O点垂直于纸平面的轴自转，如图7－14（a）所示，这样它便可以提供人造“重力”。图7－14（b）是半圆形的半个空间站，其中正方形的房间ABCD里可以住人，E点为房间的中心。
(1) 房间ABCD的地板（即人站立的地方）在哪里？
(2)  当空间站稳定地转动时，若在E处释放一个物体，让空间站房间里的人来观察，会观察到什么现象？
(3)  若它的半径OE长40m，且E处的转速刚能提供和地球表面的实际重力加速度g效果相同的人造“重力”的话，那么当它绕O轴转动时E点的切向速度是多大？（g取10m/s2）
(4)  宇航员要从地球进入空间站，可以由航天飞机来完成这一任务。航天飞机在发射的过程中，会产生相当大的加速度，最大加速度可以达到8g（g为地球表面的重力加速度）。如此大的加速度会对人身产生不良作用，甚至可能会有危险。譬如，从人身体的某些部位抽吸血液，从而引起身体其他部位充血。如果大脑抽掉了血，便会失去视觉和知觉。模拟实验表明，当人的身体和加速度方向垂直时，人可以经受15g的加速度达几分钟之久，而当人的身体顺着加速度方向时，最多只能经受6g达到加速度。据此判断。当航天飞机在起飞与重新返回大气层时，宇航员的身体与航天飞机的飞行方向应是什么关系？
亮点 空间站中的人造“重力”等问题，对汲取信息和分析问题的能力有较高要求。
解析 (1) 由于人随空间站一起自转，所需的向心力由AD的弹力提供，所以AD是地板。
(2) 由于人造“重力”的方向与AD弹力的方向是相反的，所以在E处释放的物体会垂直AD落下。
(3) 假设质量为m的物体要相对静止在E点，就需要提供一个大小等于人造“重力”的支持力，这个力提供向心力，即。
所以，E点的切向速度是。
(4) 宇航员的身体与航天飞机的飞行方向应该垂直。
联想 空间站是继宇宙飞船、航天飞机之后人们认识宇宙、探测宇宙奥秘的新一类航天器。空间站环绕地球在稳定的轨道上运行时，地球对宇航员的万有引力恰好提供宇航员环绕地球运动所需的向心力，这时宇航员处于完全失重状态。当空间站绕其转轴以一定的角速度转动时，便可对宇航员提供人造“重力”，使宇航员就像生活在地球上一样。
题10 1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋。 “和平号”空间站正常运转时，距离地面的平均高度大约为350km。为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制。在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240kn。在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km。设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km的圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化相对很小，因此计算时对空间站的每一周的运动可作为匀速圆周运动处理。
(1) 简要说明为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的。
(2) 空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时的加速度大小的比值为多大？（计算结果保留2位有效数字）
(3) 空间站沿指定的低空轨道运行时，在运行一周过程中空间站高度平均变化多大？（计算中取地球半径R=6.4×103km，计算结果保留1位有效数字）
亮点 对“和平号”空间站坠毁前轨道变化的讨论，对汲取信息和分析问题的能力有较高要求。
解析 (1) 空间站沿圆轨道运行过程中，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功。因此，空间站沿圆轨道运行过程中，其运行速率是不变的。
(2) 不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需的向心力。根据万有引力定律和牛顿第二定律有
   ，
空间站运行时的向心加速度为　　　　   。
所以， 空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时的加速度大小的比值为  。
(3) 根据万有引力提供空间站运行时所需的向心力，有
   。
不计地球自转的影响，根据，有
。
则在指定的低空轨道，空间站运行的周期为
 。
设一昼夜的时间为t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为。所以， 空间站沿指定的低空轨道运行时，在运行一周过程中空间站高度平均降低
。
联想 “和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史的永恒篇章。“和平号”空间站总质量为137t，工作容积超过400m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有人造天宫之称。在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次。
求解本题的前提是要读懂题意，弄清空间站坠毁前的变轨过程。对于实际问题，进行适当的理想化处理（如本题中，空间站每运行一周其高度变化相对很小，计算时对空间站的每一周的运动作为匀速圆周运动处理），这对于简化问题的讨论是完全必要的。