初中数学教材的认识与运用.doc

彰显价值 促进发展
——关于初中数学教材认识与运用的思考与实践 本文部分材料引自马复先生《深刻理解数学教材》 ，特此致谢。

1 认识教材
从结构和表现特点看，教材表现为
显性结构：结构体系、单元联系、概念法则、例题习题、背景材料．
隐性结构：过程方法、思维能力．
我们认识和理解教材，应该做到
整体认识教材体系，注重挖掘联系，形成结构和网络．

1.0 关于教材的基本讨论
1.0.1 什么是教材
数学教材是学校环境下学生学习数学、教师教授数学的最基本课程资源．
数学教材决定了课堂内数学学习活动的最基本内容、过程，因此在很大程度上影响着数学课程的实施．

对学生而言，数学教材的基本功能主要包括：
帮助学生获取数学知识、技能和方法；促进学生基本数学素养、一般能力和数学能力的发展；帮助学生了解数学的作用、价值；发掘学生学习数学的兴趣、提供适应其相关学习需求的主要资源；巩固学生数学学习成果、提供评价其数学学业水平的标准；等等．
1.0.2 数学教材基本构成
一套完整的数学教材至少包括：学生用书（教科书）、教师用书（教参）、学生练习手册，也有的教材还根据需要开发了学生学习评价手册，家长阅读材料，等等．
1.0.3 教科书的组成
一套数学教科书通常被指定供小学生、初中生或高中生使用，它们都由若干册组成，多数情况下，每册使用一学期或一年，少数教材使用若干周、或多于一年．
每册教科书均由若干章组成，每一章通常指向一个学习主题（如二元一次方程组、指数函数等）；每一章又包括若干节，每节都是该学习主题的一个方面或部分（如二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用等）；每一节则按教学的实施状况，涵盖若干个课时（如二元一次方程组的概念为一课时、二元一次方程组的解法为两课时、二元一次方程组的应用为两课时，等等）．
1.0.4 教科书的编排
1.0.4.1 分科式与混合式
分科式编排——将代数、几何、统计概率等单独成科编写，以更好地反映各领域内容的内在结构；混合式编排则是将代数、几何、概率统计等综合为一门科目，力图加强不同领域之间的联系．
我国中学数学教材的编排发展历程是：
1949-1966，分科式编排，分算术、代数、几何、三角等多本独立的教材；
1978-1980，第一次采取混合式编写；
1981-1995，分科式编写再度成为主流；
1996-2000，又开始出现混合式教材；
2001—，混合式成为教材编写的主流．
例 某出版社初中数学教材（八上）前五章的混合式编排
第一章 勾股定理
第二章 实数
第三章 位置与坐标
第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
这五章之间体现了很强的逻辑关系和内容的融合：
古代数学先有了平面几何的重要定理——勾股定理；其后，由于研究一些特殊量而得出不可公度的量（无理数、实数）的概念；实数可以和数轴上的点形成一一对应，因此，数轴也变成了“实”的—可以刻画连续变化的量．为表示平面上点的位置做了铺垫．在此基础上拓展出二维坐标，用来刻画平面上的点．建立平面直角坐标系，又帮助人们从“形”的角度认识函数（一次函数）．而函数与方程是紧密相联的，借助一次函数的图像，又可以从“形”的角度进一步认识二元一次方程（组）的解．
例 勾股定理与实数混合编排的理解．
① 学科角度：“勾股定理”是一个最基本的几何定理，表达的是三角形边之间的数量关系，“实数”是代数对象，两者之间并无逻辑上的必然关系．
② 认识角度：在数学发展史上，“勾股定理”较实数早出现数百年，而且引发“实数”（无理数）概念出现的重要缘故正是对“勾股定理”的应用．所以从认识过程看，“勾股定理”在前并无不可．
③ 教材角度：之所以有“实数”应当在“勾股定理”之前的看法，更多的是以往的教材总是这样排，其“好处”是可以在学完“勾股定理”之后立刻可以出“难题”（以复杂的实数值作为三角形的边长）．这样做的结果是教学完全偏离内容本质，走到代数、甚至技巧上去了，或者说，其结果是忽略“勾股定理”的几何内涵而处理其代数特征，没有抓住内容的本质．
④ 教学角度：对“勾股定理”应用范围的扩大完全可以在学完实数以后进行．
1.0.4.2 直线式与螺旋式
直线式：按照数学知识的前后逻辑关系，将课程内容组织成直线向前的体系，前面的内容为后续内容做准备，后续内容不重复前面的内容．
螺旋式：在不同学段（不同单元）中，某些课程内容重复出现，逐渐拓展知识面、加深知识难度，即同一课程内容多次出现，后面内容作为前面内容的扩展、深化．
例 某教材函数内容的螺旋式编排．
某教材采用了“逐级递进、螺旋上升”的做法，以体现函数不仅仅是初中数学的一个重要概念，更是一种重要的数学思想．具体过程包括三个阶段．
⑴ 经验性理解——学生通过对若干生活和数学中的现象与问题的研讨，感受变化过程、“对应”现象；尝试探索变化规律的活动；经历研究函数基本性质的过程；尝试根据函数的基本特征做预测的活动．
这样做，既有助于丰富学生对函数的感性认识，也为其后续的函数学习打基础．
编排呈现：7下第3章变量之间的关系．

⑵形式化理解
教材采用“由具体到一般”的做法，从对若干具体函数内容的处理（一次函数、反比例函数、一元二次函数），进一步深入到一般函数概念的层面．主要目的在于让学生从事函数内容的实质性学习：包括理解函数的基本概念（自变量、定义域等），以及相关的性质；借助函数的知识和方法解决问题等．
目的是帮助学生理解作为抽象对象的函数．
8上第四章一次函数、9上第六章反比例函数、9下第二章二次函数．
⑶ 结构化理解
在这一阶段，教材选择了若干实例，分析了函数与其他数学内容的实质性联系，意图帮助学生从结构的高度加深对函数意义的理解．
8上第五章：二元一次方程组，8下第二章：一元一次不等式（组），9下第2章：二次函数．
1.0.5 教科书体例
体例是教科书组织与呈现课程内容的具体形式，包括数学活动方式和活动过程等．
章——由章前图、章前语、各节内容、本章小结、章复习题等内容构成．
章前图：选择本章内容含有的典型图片（或另行设计），反映本章要解决的数学问题或所要学习的数学知识内容．让学生初步了解全章概貌，了解本章内容学习的意义．
章前语：借助章前图，提出蕴含本章内容的具体问题，简要陈述本章主要学习目标．
节——一般包括主题、情境、活动、结论、例题、练习、习题、阅读等内容．
节为教学的基本单元，每节有自己的小系统，从每节的教材设计可以看出整个教材的体例．
例 某教材的体例说明．
章节名称——主题
问题情境——以学生自身和周围环境中的自然现象、社会生活、数学或其他学科中的问题为知识学习的切入点，突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系，以及知识产生的由来，引发学生的学习欲望、展开主题内涵；
问题串——由浅入深，提出一系列有思维层次或不同理解深度的问题，力图使每一位学生都能投入到学习活动中，不同的人得到不同的收获；
数学活动——依据学生已有的知识背景和活动经验，针对相应学习主题，提供给学生的，以自主探索、合作交流等方式进行的主动式学习活动，包括“做一做”、“想一想”、“议一议”等．
思考与整理——让学生经历归纳、概括等过程，提炼出上述活动中的数学学习对象，并用自己熟悉的方式、语言及数学符号去表达．
明晰——用较为规范的形式正规的数学语言表达主要的数学对象，概念、法则、定理等．
例题（直接联系所学内容）
随堂练习（与先前的数学活动或例题关联的基本问题）
阅读材料（以“读一读”形式出现的，与学习主题密切相关的数学史实、现实中的数学应用介绍文章或趣味性小评文，每章至少有一个）
习题——
章小结——对全章内容的梳理以及对本章内容所反映的主要思想方法的归纳概括，对于帮助学生“由厚到薄”地再认识本章内容、帮助教师提升教学的思想性具有重要作用．
回顾与思考——以问题的方式引起学生对本章主要知识和方法的整理、交流和表述．让学生通过思考与交流，梳理所学的知识，最终建立起符合个体认知特点的知识结构．
1.1 宏观上，整体把握数学知识体系、教材结构体系
1.1.1 编写结构体系
元素——内容；
关系——逻辑与层次；
编排——组合与顺序
⑴ 知识体系．数学教科书应当反映数学的知识结构——数学学科知识自身内在的逻辑、层次关系和基本顺序．
⑵ 教育体系．数学教科书的结构应当在满足数学知识的基本逻辑关系、层次关系的基础上，以符合学生的认知特点、思维水平，有益于其发展的方式组合、排列．
即教材的编排既应当考虑数学知识结构，也应当考虑学生的认知结构．
基于新课程理念的数学教材主体采用的都是教育本位的观点．
⑶ 结构体系——明线与暗线．结构体系的明线一般为目录所呈现，在内容总结部分也有表现．结构体系的暗线多隐匿在内容“背后”：渗透数学思想方法的暗线，培养学生能力的暗线，帮助学生积累数学活动经验的暗线，等等……
例 教材中“提出问题”的基本结构体系．
第一层次，有意识地培养学生的自我意识．让学生从事形成猜想的活动——通过解决教材中给出类似于“结果是什么”、“你能得到…”、“你是怎样做的”的问题．
第二层次，有意识地激发学生的发散思维、问题意识．让学生从事“提出问题”的活动——通过解决教材中提出类似于“还有什么方法”、“如果问题改变为…，你有什么解决方法”、“还能够提出哪些问题”等问题．
第三层次，有意识地帮助学生形成一些“提出问题”的基本策略．让学生从事对“提出问题”的过程进行反思的活动——通过解决教材中类似于“自己的问题与原问题的区别是什么？”、“你的解法与同伴的解法区别在哪里”、“你是怎样得到这个问题（解法）的”，等问题．
1.1.2 内容结构体系
以数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四方面的课程内容为主线，可从课程标准、中考要求与试题特点两个维度分析研究．
阅读链接
在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”综合与实践”． “综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力．
“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等．
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动．
“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率．
“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动．在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题．“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合．
例 教材结构的宏观分析实例．
1 知识体系、教材结构
基本视角：课程标准、教材编写
课程标准——
一、数与代数
（一）数与式
1．有理数
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）．
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）．
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（参见例47）．
2．实数
（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．
（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．
（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例48）．
（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值．
（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算（参见例49）．
3．代数式
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义（参见例50）．
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示．
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
4．整式与分式
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）．
（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）．
（3）能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2； (a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例51）．
（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．
（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算．
教材编写——
分布结构（内容安排）与设计意图
章节目录
……
2 中考试题
基本方法：纵横比较、分类分析．
1.2 中观上，明确单元结构和联系，提炼本质特征
例 教材单元结构简析．
北师大版九下第二章《二次函数》
·第二章 二次函数
·1.二次函数所描述的关系
·2.结识抛物线
·3.刹车距离与二次函数
·4.二次函数的图象
·5.用三种方式表示二次函数
·6.何时获得最大利润
·7.最大面积是多少
·8.二次函数与一元二次方程
·回顾与思考
·复习题

对其中的单元结构和联系，我们可以思考：
1. 二次函数的实际背景
2. 二次函数的概念与性质
3. 二次函数的应用
4. 二次函数与相关知识（方法）的综合
5. 提炼本质特征——具有一般意义的结论、方法和问题解决的材料有哪些、怎么运用？
6. 与其他部分的联系，中考的考查是怎样的？
1.3 微观上，理解各个知识点在整个体系中的内涵、地位、价值和相互联系
例 图形全等和相似的理解．
两个图形全等是指它们“一模一样”（形状、大小）；两个图形相似是指它们的形状完全相同，仅仅是大小不同．其定义是一种直观描述，这样的“定义”常常使我们忽略满足全等、相似关系的图形之间一个关键的要素——任何对应部分的大小相同（全等），或它们的比是固定（相似）的．
换言之，两个图形不仅仅是对应边或一些特殊的对应线段（高、中线、角平分线、三等分线等等）之间存在既定的关系——相等或成比例，事实上，两个图形之间的任何对应部分（如线段、角，面积等等）之间都存在既定的比例关系．
全等条件的全体组成一个结构而不是集合．其中，“顺序”的要求很重要．以三角形全等为例，为什么对“角、边、角”，“边、角、边”就必然，而对“边、边、角”，“角、角、边”就不必然？（边、边、边是特例——三角形稳定性，四边形不具备）
延伸理解：一个三角形有6个基本元素（3条边、3个角），如果两个三角形满足3对元素分别相同，它们具备什么关系？如果是4对呢？5对呢？
例 教材分析的基本要求．
教材是开展教学的重要素材，其涵盖了教学内容（主要指“课标”的“内容标准”中所规定的数学知识及其由内容所反映的数学思想方法），是实现教学目标的主要载体。
完成每一节课的教学，对涉及的教学内容（知识点及其相关技能、方法和思想等）的解析非常重要，其目的是准确理解内容的基础上做到教学的准、精、简。这是激发学生学习兴趣、减轻学生学习负担、有效开展课堂教学、提高课堂教学质量的前提。教材分析要做到：
（1）正确阐述教材内容的内涵及由内容所反映的数学思想方法，并阐明其核心，明确教学重点；
（2）正确区分教材内容的知识类型（事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识）；

（3）正确阐述当前教学内容的上位知识、下位知识，明确知识的来龙去脉；
（4）从知识发生发展过程角度分析内容所蕴含的思维教学资源和价值观教育资源。
2 运用教材
从数学和教学本质看，教材运用表现为
学科价值：数学学科体系、学科本质，数学的知识、方法、能力和思想．
教育价值：数学思维、数学素养、数学视野，理性精神、科学方法．
在教学中，我们应该做到
科学把握显性结构，透彻领会隐性结构，注重基础，培养能力，展现本质，形成素养，促进发展．
2.1 高度重视概念的形成与辨析，注重法则、定理的理解与运用，深入思考教学相关问题——切入点：特例、反例、举例（辨析）
2.1.1 准确掌握课程标准、教材涉及的概念，尤其是核心概念；深刻领会概念与数学知识的本质，能从正、反两个方面(或特殊情况)理解概念的实质；把握概念的核心，深入理解概念所反映的思想方法．
例 概念的定义及其理解举例．
定义概念的方式有形式化定义、内涵定义或外延定义．
在教材中，许多代数概念的定义都是形式化，而非内涵定义（阐述本质属性）或外延定义（例举对象）．比如：
负数：在正数的前面加上一个负号形成的数，叫做负数．如-1，-2.1，…．
代数式：…，它们都是用运算符号把字母和数字连接而成的，像这样的式子叫做代数式．
单项式与多项式：…，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．
分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
二元一次方程组：像这样由含有两个未知数的两个一元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
正比例函数：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=kx（k是常数，k≠0）的形式，则称y是x的正比例函数．
一次（一元）函数：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数．
反比例函数：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k是常数，k≠0），那么称y是x的反函数．
二次（一元）函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，bc是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数．
这些定义所给出的大多是概念的表述形式，而非本质属性．
负数——纯粹的形式化定义．没有涉及到负数的本质特性：小于零．
代数式——定义是（半）形式化的．其本质是：数学符号具有一般性（用字母可以表示任意对象、事物），字母能够替代数进入运算，体现“代数作为表示的工具”的作用．其中的“半形式化”，即只是说明代数式只含有（代数）运算符号，而没有关系符号．
二元一次方程组——纯粹的形式化定义．没有涉及到概念的核心：两个方程中所含有的x，y各自代表相同的对象，而且同时满足两个方程所确定的数学关系，至于花括号、方程里有几个未知数等等都是形式．
一次函数——形式化定义．没有涉及到一次函数的本质特征：在自变量的变化大小相等（x2-x1的值相同）时，因变量的变化大小（y2-y1的值）也相等．
反比例函数——纯粹的形式化定义．没有涉及到反比例函数关系的本质特征：在自变量变大、变小的过程中，因变量按固定的比例变大或变小（视k值而定）．
正比例函数与此类似．
二次函数——纯粹的形式化定义．没有涉及到二次函数关系的本质特征：因变量y随自变量x的变化而变化，特别地，因变量的变化范围、图象的对称性、与x（y）轴交点的含义、…，没有体现．所以《标准》强调y=a(x-h)2+k的形式．
例 概念教学的基本环节．
典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；
概括共同本质特征得到概念的本质属性；
下定义（准确的数学语言描述）；
概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；
用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；
概念的“精致”——建立与相关概念的联系．
——形成一系列关于不同概念教学的基本范式．
2.1.2 深刻理解课程标准的关键词与核心概念在教材中的体现，深入分析教材中知识、过程所蕴含的方法和能力、思想与本质，并贯穿和统领一课时、一学期或整个初中阶段的数学教学，促进学生形成良好的数学素养．
2.1.2.1 十大核心概念。数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
2.1.2.2 核心概念在教学实践中的操作。以教材作为载体，联系课程目标，分析核心概念的意义和实施；根据教材提供的素材，结合学生实际，预设具体教学内容的形成和展开过程；以核心概念的形成为目标，以展现核心概念的内涵为途径，优化教材的使用。
① 运用教材中的探索活动发展学生的核心概念。
例 数感的建立。
之一：教材内容：

之二：到底多大？
之三：在数轴上标出对应的点的大致位置。
核心概念是相关知识的应用，深刻理解需要在问题解决中得到科学的数学训练，发展核心概念需要正确的策略。（如数感的发展，基本路径为生活中实物或事件的个数、数量关系，相关知识与技能、问题情境中的数量关系、估算与近似计算等。）
② 在不同教材内容中，把握共性，帮助学生领会核心概念。
例 模型思想的建立．
代数模型、概率模型、几何模型。
③ 通过教材提供的实际问题的解决，发展学生的核心概念。
例 数据分析观念的发展．
之一：教材内容：七年级上、下，八年级上，九年级上。

之二：教材内容的螺旋式上升、波浪式前进。
之三：数据分析观念从哪些方面建立？

2.2 挖掘典型例题和习题的价值，提炼本质，适度变换拓展，扩大视野、强化能力培养，提高学生解决问题的水平
例 一个习题的拓展变换．
题目 如图，直角三角形边上的半圆面积之间有什么关系?
C
B
A
S2
S1
S3
解 记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1 + S2 = S3．理由如下：
；
；
．
而由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，于是可得S1 + S2 = S3．
拓展：
若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，S1 + S2 = S3都成立．
演变：
变式1 （2009，浙江湖州）如上图，△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1 + S2的值等于 ．（答案：8p）
C
F
A
H
B
E
变式2 （2009，宜宾）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 ．（答案：）
变式3 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1 = 3，S2 = 4，则S3 = ．（答案：7）
变式4 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）cm2（答案：B）
A．12 B．36 C．42 D．48
S3
B
A
D
S1
C
S2
S4
C
D
B
A
C
B
A
S1
S2
S3

变式5 如图，在四边形ABCD中，∠DAB =∠BCD = 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1 + S4 = 100，S3 = 36，则S2 =（ ）．
A．136 B．64 C．50 D．81 （答案：B）
④

变式6 如图所示，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 ．
（答案：2）
A
B
C
变式7 如图，Rt△ABC中，BC = 12，AC = 5，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 ．
（答案：30. 习题结论：S阴影 = S△ABC）
变式8 （2008，陕西）如图，梯形ABCD中，
AB∥DC，∠ADC +∠BCD = 90°，且DC = 2AB，分
别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积
分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 ．
C
D
S1
S2
S3
A
B

l
c
b
a

（答案：S1 + S3 = S2）
变式9 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）．
A．4 B．6 C．16 D．55
（答案：C）
变式10 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ． （答案：4）
S1
S2
S3
S4
1
2
3
l

a
D
C
B
A
M
c
N
E
F
b
G
H
变式11 （2008，浙江台州）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = （用含有a，b的代数式表示）．（答案：）
C
A
B
S1
S2
S3
①
C
A
B
S1
S2
S3
②
C
S3
A
S1
S2
B
③
变式12 如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1 = S2 + S3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 ．
——近年的中考试题还有哪些是这样的？
在进行教材例题与习题的拓展变换时，必须尊重学习实际，符合课程标准要求，切忌盲目，更不要把高中内容直接下放给初中学生．
例 一个不好的问题拓展．
先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：a·a·…·a，记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28＝3)．一般地，若an＝b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381＝4)．
问题：(1)计算以下各对数的值：
log24＝___________，log216=____________，
log264＝__________；
(2) 观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式?．log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式?
(3) 由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
logaM+logaN=______________(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．
根据幂的运算法则aM·aN=aM+N以及对数的含义证明上述结论．
本题的立意是考查学生的数学阅读理解能力，这种立意是好的．但是，本题将高中的对数内容作为学生阅读的内容以及通过阅读解决对数中的问题的做法，超出了初中数学的教学要求．这种做法不仅会降低考试的效度和信度，而且还会导致初中纯粹从知识的角度简单教授高中数学知识的教学倾向，降低初中数学本身的价值．
2.3 适度重视教材中“议一议”、“想一想”、“做一做”、“读一读”等的材料、背景和研究方法
例 教材中一个“议一议”的案例分析．

2.4 高度重视知识发生和发展的过程，通过对过程与方法的体验、掌握，巩固基础、形成良好的数学思维和能力
例 关联知识的教学．
函数：不同类型的函数．
三角形、四边形：不同类型的三角形、四边形，三角形与四边形．
例 待定系数法的教学思考
表面上看，待定系数法是一套程序：假设所求一次函数式为y=kx+b，将已知条件带入，求得未知数k，b，问题得解．而其核心在于对其中存在的原理的理解——为什么这样求出的结果是对的．
事实上，并不是做任意的类似假设都能够得到正确结果的．比如，假设存在最大自然数x，那么由于x2也是自然数，
所以xx2，所以x=x2，即x=1！
学习使用待定系数法求解一次函数的解析式，重要价值之一在于帮助学生（特别是优秀学生）领悟它的原理、感悟这种特定的思维方式，而不是求解各种复杂程度较高的解析式．这一点，与反证法类似．
教学过程中，对于优秀的学生，不应让他们花较多的时间去解决那些条件复杂，系数求解过程很麻烦的问题．相比之下，讨论下面问题的意义更大：
对于给定的条件，如果我们设某个函数的解析式是y=kx+b，而求得结果为y=2x+1，那么，当我们假设这个函数的解析式是ax+by=c时，根据同样的条件，会得到结果y=2x+1吗？为什么？
2.5 激发思考，积极探究，注重提炼本质特征与思想方法，提升思维层次
例 “直线与圆的位置关系”中切线的判定．

直线与圆的位置关系-圆心到直线的距离与半径的关系-运动变化的观点-相交与相切的转换-切线的本质
2.6 引导反思，善于总结，将方法内化为能力
例 “一元二次方程”的反思与总结．

教材内容（知识技能）—方法总结（过程方法）—能力提升（数学思考、问题解决）

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