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数学思维的变通性
吉小卫
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化

（1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知都是实数，求证
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
x
y
O

图1－2－1
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设如图1－2－1所示，
则

在中，由三角形三边之间的关系知：
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此，

例2 已知，试求的最大值。
解 由 得

又
当时，有最大值，最大值为
思路分析 要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数满足关系
，试比较与的大小。
x
y
O
2
图1－2－2
思路分析 由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由，
知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线
它与距离越近的点，函数值越小。

（2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组.
这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程 的两个根，
所以或.可见，联想可使问题变得简单。

例4 在中，若为钝角，则的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。
解 为钝角，.在中
且

故应选择（B）
例5 若
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当时，等式
可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
即
若，由已知条件易得 即,显然也有.
例6 已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:
思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设所对的角分别为、、则是直角，为锐角，于是
且
当时，有
于是有
即
从而就有

（3）问题转化的训练

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知,,
求证、、三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。

转化成容易解决的明显题目
例11 已知求证、、中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。、、中至少有一个为1也就是说中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明
于是
中至少有一个为零，即、、中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点的距离等于该点到直线的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
（1）
是，又从已知条件可得椭圆的方程为
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求的取值范围。将（2）代入（1）得：
（3）
确定的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：

在的条件下，得
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。

逆向思维的训练
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数，求证、、中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即、、都小于1。
则
①＋③得 ，
与②矛盾，所以假设不成立，即、、中至少有一个不小于1。
一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数的模为2，求的最大值。
解法一（代数法）设

解法二（三角法）设
y
x
O
．i
．
-2i
图1－2－3
Z
则

解法三（几何法）

如图1－2－3 所示，可知当时，
解法四（运用模的性质）

而当时，
解法五（运用模的性质）

又

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