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在数学教学中如何用教材习题培养学生的思维品质
宣汉县土黄镇三胜中心校 艾华
[摘要]本文浅谈关于中学数学教学，如何用教材中的练习题来培养学生良好的思维品质
[关键词]深刻性 创造性 广阔性 突发性
在数学教学中，如何充分利用教材的潜在功能，培养学生良好的思维品质，是广大教育工作者值得思考的一个问题。本文以初三代数教材中的一道习题为例，谈谈自己的一点粗浅看法。
题目：已知一元二次方程的两有理根之比为2:3，求证：（人教版初中代数第三册P76练习题）。
一、 纵横渗透，培养学生的广阔性
思维的广阔性，即思维的广度，是指善于运用自己所学知识全面地分析问题，多角度、多层次地解决问题。数学思维活动表现为能发掘数学问题的实质，抓住其基本特征，同时不放过其中有意义的细节与特殊因素，进行多方面的思考，找出解决问题的多种方法。
爱因斯坦曾说过：“解决一个问题好比是在干草堆中寻针，别人往往寻找到一根针时就停止不再去费力寻找了，但我自己（爱因斯坦）却会寻片干草堆中的所有藏针，不达最终目的决不放手”。一题多解是在数学中培养学生思维广阔性最常见的途径。对于上题，教师可以引导学生积极思考，用多种方法给予证明。并通过讨论和交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题和共同本质。
　　证法一：设、是方程的两根，由题意知：
将、代入方程中,则有
由(2)—(1)得：
∴
将代入（1）式得：
∴
首先设方程的两根，根据已知条件，引入一个参数来表示、，再将、代入方程中，解出参数，再将参数代入式子中，得出证明结论。
证法二：设、是方程的两根,由题意知：
，由于、是方程的两根,则有
将代入(1)式,整理得： (3)
由(2)、(3)得：
即
∴
此种证法是一般的证法，就是根据已知条件中的两根之比为2:3，这样两根之间建立起联系得，又因为、是方程的两根，代入方程中得到结论。
证法三：设、是一元二次方程的两有理根，
且，由韦达定理有：
（1）
（2）
将代入（1）式得：，则有
将、代入（2）式得：
则有
∴
此种证法是是运用韦达定理，首先设两根，根据两根之间的关系，用、把、表示出来，再代入中，得到结论。运用韦达定理解题，不管是初中还是高中都是考察的热点。
证法四：设、是一元二次方程的两根,由求根公式有：即：

由题意知，且
∴
此种证法是根据求根公式来证明，首先用求根公式，把、表示出来，再根据已知、的比例关系，得出结论。
证法五：设、是一元二次方程的两根,
由韦达定理有：

若结论成立，即有，则有

∴ 或
∵ 、是任意取的
∴
∴
此题证明方法是很多的。此种证法是打破了常规思维，从结论入手，来证条件是否成立。从反面入手来解题，使同学们收到意想不到的效果。在教学中，引导学生运用公式、定理、法则进行正反两方面解题，对培养学生的思维能力将起到很大的作用。
二、灵感与想象、探索，培养学生思维的创新性和创造性
1、思维的创新，是创造者在强烈的创新意识下，借助于想象与联想，直觉与灵感，以渐近或突发性飞跃形式使头脑中已有的信息重新组合，从而形成有社会价值的新观点、新理论、新方法、新设想的思维过程。至今人们所传说的高斯求和，曹冲称象都是他们别出心裁，独巨匠心的新思维的具体体现。
对于上题，证完后不能至此结束，我们对它的数量，结论与已知，自变量的个数进行一些变化，使之变成一道新题。即让学生的思维由“山穷水尽”走向“柳暗花明”。下面是经过同学们讨论和交流后的几道新题。
新题一：已知一元二次方程的两有理根之比为2:3，试讨论、之间的关系。
此题是在原有命题条件相同的情况下，推出不同形式的各种讨论，以深化学生对数学命题、概念、性质的理解，并且拓宽学生的知识面。
新题二：已知、是一元二次方程的两不等有理根，且，试讨论、之间的关系。
新题三：已知一元二次方程的两有理根之比为，且、是不等于零的常数,试讨论、之间的关系。
新题是对原命题的推广，把条件进行相似变换，即在条件元素的数量上或维数进行推广。学生数学思维品质与能力的差异也表现在解题之后能否将思维结果推广与应用。
2、思维的创造性，即思维的创新程度，是指导思考问题和解决问题的方式，方法或结果的新颖、独特所具有的创造性。他主要表现在学生在学习过程中发现矛盾、提出问题，并能独立地思索、分析、解决问题。教师要引导学生勇于探索，培养学生思维的创造性。
对于此题，如果证完后到此结束，则这道题的潜在功能没有充分的挖掘出来。教师要引导学生大胆猜想、大胆创新，就会得到一些有用的结论。
结论一：若一元二次方程的两有理根之比为
,则
结论二：若一元二次方程有两个且不为0的有理根，系数、之间的关系为且，则方程的两根之比为或（）
三、 解题结果的应用，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性，表现在善于抓住事物的规律和本质，深入的思考问题，把思维对象的本质属性结实出来，使我们的思维能力进一步地深化和提高。对一数学命题的结果的应用，既是对学生创新思维的挑战，也有利于学生思维深刻性的培养。
例1：用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子各边的长取多少cm时框架子的面积是625cm2。
分析：设长为，宽为，根据题目已知条件可以得，。由一元二次方程根与系数的关系数的关系，设一元二次方程为，由结论，。
解：设矩形的长为，宽为，有

由与的关系可设方程，
、是方程的两根，根据前面的结论有，可得与的关系为
解得
例2：如图，在中，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后的面积等于？
分析：首先设时间为秒，由题目已知条件得方程，再由结论解得方程的两根。
解：设P、Q分别从A、B同时出发秒后，的面积为，由题目条件知：
即
若、是一元二次方程的两根，由结论得，得与关系为或
又因
所以或
教师在教学中，对教材的练习题，要进行深入地研究，充分挖掘练习题的潜力，将以新的姿态展示在我们面前。这样既可避免“题海战术”，又有利于学生对所学知识的掌握，更能激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维，培养学生思维的广阔性、创造性、创新性，这正是素质教育的基本要求。
参考资料：
[1]孙虎 挖掘课本的潜在功能，培养学生良好的思维品质《数学教学通讯》2001（6）
[2]初中代数第三册人民教育出版社（1992）