数学联想法在解题中的应用.doc

数学联想法在解题中的应用
安徽省利辛县望疃镇第一初级中学 李凌云 (邮编：236735)

摘 要： 数学联想是探索数学解题途径的向导。本文结合中学数学教学，从数学思维与解题教学两个方面对数学联想在解题中的应用进行较为系统、深入的探讨，以期对其达到较为深刻的认识，对指导中学数学解题有一定的借鉴意义。
关键词： 数学联想；数学思维；解题教学

联想，是从事物之间具有某种联系与相似性，推出另一些事物的联系与相似性的一种思维方法。数学联想是知识学习与数学应用的重要思维形式。巴甫洛夫学派认为,学习就是形成暂时联系。暂时联系就是联想,就是获得有关事物关系的知识。在进行新的学习时,“利用知识,利用已获得的诸多联系,这就是理解”。知识的学习和理解是离不开联想的。前苏联教育学、心理学家克鲁捷茨基认为：“数学能力就是用数学材料去形成概括的、简缩的、灵活的联想和联想系统的能力”。
中学数学教育学研究的对象是中学数学教学．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．中学数学教育学研究的对象是中学数学教学．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．在解题过程中,我们通过联想,一方面使已学过的知识重现,从而迅速找到解决新问题的方法；另一方面又启发我们将这种方法迁移到同类的问题上,推广它的应用。现代数学教学研究强调知识的发生、发展过程,那么就要求教师在教学中要善于引导学生进行联想、类比、猜想、探究。 数学教学的一个重要任务就是要还原数学思维活动的过程。在教学中,发展学生的联想能力,不仅有利于学生一般能力的发展,更有利于发展学生的创造思维能力。
一、数学思维中的联想
1、数学联想的内涵
所谓数学联想，是以观察为基础,根据所研究的对象或问题的特点,联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。它是一种再现性现象,是进行类比、模拟、归纳、猜想等似真推理的基础。针对具体数学问题,根据联想的方向、方位、角度的不同,我们可以联想有关定义、公理、定理、公式、性质、法则等数学事实,可以联想到已经解决的熟悉问题,可以将一般问题联想到特殊情况,可以将特殊问题联想到一般情况,可以将数的问题联想到形的问题,又可以将形的问题联想到数的问题,可以用高等数学的观点、思想、方法解决初等数学问题。又可以将初等数学的观点、思想、方法移植到高等数学中去等等。研究联想的目的在于使人们能自觉地强化联想意识，遵循联想规律思考问题，从而提高思维的效率与质量。这里,著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中拟定的解题策略,是运用数学联想的高度概括,成为世人的典范。
2、数学联想在数学解题思维中的作用
（1） 数学联想是探索数学解题途径的向导
不论什么问题,只要有路可循,即使复杂、曲折,总可沿路逐步地走向欲达的目标,最伤脑筋的则是面对问题茫茫然不知从何下手,其原因不外是,遇到的题目,其面貌与我们学过的知识、会做的题型,相差悬殊；或者是与我们所掌握的解题方法联系不上。解题之难,也就在于没有一个普遍又行之有效的办法,去打破这无从下手的窘况。处于山重水复疑无路的时候,不妨跳出原来局限的范围,联想到与之相近的知识或类似的问题,并着力去发掘它们内在的联系,由此及彼,以收他山之石,可以攻玉的效果。甚至联想到与它的反面进行对比,以从中受到有益的启示,如此这般地进行联想,就有可能出现柳暗花明的局面。因此,当我们面临难题,百思不得其解的时候,广泛地进行联想,倒是值得一试的法宝。
（2） 数学联想是将数学题设向结论转化的桥梁
在数学中,转化是最常用的手段.因为通过适宜的转化,费解的可以变得易懂,生疏的能够换成熟悉的,从而收到以简驭繁、化难为易的效果,因此,恰当的转化在解题中能发挥巨大的威力.但是,怎样去转化,特别是朝哪个方向去转化,常常是实现转化的关键,对此,广泛地联想就可引导我们去作转化的尝试，设法沟通联想的对象。
（3）数学联想是寻求数学习题巧思妙解的摇篮
在数学中,我们常常赞赏某些解法巧妙,其原因是因为它没有墨守常规,而是针对题目的特点出人意料地联想到与之相似的问题,因而给人以新鲜、巧妙之感。
（4）数学联想是提升数学解题思维层次的阶梯
演算、论证的技能虽是学习数学很重要的基本功,然而对数学的发展来说,更重要的还在于发现,除了从实际中发现数学问题以外,解题过程中,也常常存在着发现问题的机遇,关键在于我们是否有心,如果不满足于解出题来,就会进而考虑,题目的条件是否可以减弱,结论是否还可以加强?这样就有可能将原题改进行推广.一般说来,原题产生的过程中,就曾力求做到条件最少、结论最强.然而,这种努力也因局限于当时所处的时间和范围,未必达到尽善美.如果我们有意地进行多方面的联想,那就有可能打破原来所处的局限,受到联想之物的启示,使题目能够改进,问题得以发展。
二、数学联想法在解题中的应用
1、数学联想是解决数学问题的一个有力的工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数学联想可将抽象的数学语言与直观图形相结合，是抽象思维与形象思维相结合，缩短思维链，简化思维过程。
所谓数学联想方法,就是以联想为中介,进行数学发现,探求解题思路, 由此及彼地思考问题的一种方法。数学解题的思考过程实质上是已知和未知之间一系列的联想过程。在解题时,通过仔细的观察、分析,由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式（或其等价形式),联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想、解题方法、解题技巧以及熟知的相关问题的结论和解法,由此连续化简条件和结论,建立条件与求解目标间的联系,从而就找到解题的思路和方法。数学中的定义、公式、定理和性质,是解决数学问题的工具, 当我们要解决一个新问题时,首先联想到的是与之有关的定义、定理、公式和性质,这是最基本的联想对象。一些结构不太复杂的数学问题,往往经过简单的联想和与之相关概念的定义、有关定理、公式和性质就可以解决。对于复杂的问题,则需反复联想。
例1：，，求的值。
直接求出和再求值是复杂的。通过观察已知，是方程的两根，联想到韦达定理有+=—，，从而==4。
2、联想常用的数学方法
当我们解决一个数学问题时,联想到与它有关的定义、公式、定理和性质与问题相距较远时,可通过一定的数学方法把它们联接起来。因此在联想到有关的定义、定理、公式和性质以后,还要联想到与它有关的数学方法。这些常用的数学方法是配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法、解析法、反证法、数学归纳法等等。
例2：求方程的一切实数根。
分析：问题是与二次三项式有关，又与实根有关，因而又联想到配方法。将方程配方为： 因为有联想到非负实数和为0时，各项均为0的性质，列出两个等式，便可求出实根。
例3：已知且求z的值。
分析：用消元法来解很麻烦,由（2）（3）的形式结构联想到余弦定理,将（2）（3） 变形为

于是数形联想构造图形。利用，便可求出 z来。数形结合是一种很重要的数学方法,常常使我们能够达到事半功倍的效果。
3、数学联想的类型
（1）相似联想
相似联想，就是从问题的条件或结论出发，在寻找与题目接近或很相似的公式或结论，联想有关知识，探求解题途径。巴甫洛夫说:“解题时的联想,就是找出与题目某些特点很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题来,变通使用这些知识和方法,观察能否解决或趋于解决问题。”在解决组合等式问题时,通过仔细的观察、分析,由问题的条件、求解目标的结构形式( 或其等价式)联想到与其有关的公式、定理、法则、性质、思想、方法、技巧以及熟知的相关问题的解法,由此连续地化简条件和结论,建立条件与求解目标间的逻辑联系,从而找到解题的思路和方法。相似性联想又称类似性联想,是对当前事物或问题进行表征后产生相似直感而回忆起另一具有图形相似、图式相似或方法类似的事物或问题的联想，就是指事物中某种属性的相似性。由于事物之间具有相同或相似的属性,我们可以由一个事物已知的特殊性质联想到另一事物的特殊性质。
例4：若，则成等差数列。
分析：常规解法先把左边的代数式展开,然后再利用因式分解来证明。 但若仔细观察条件发现它与一元二次方程的根的判别式类似,于是联想到将已知条件看作是关于t的二次方程有等根的条件。
不难发现,方程左边各项系数之和为0 ,即故知方程有两个等根,均为1,于是可利用韦达定理,其两根之积为即故成等差数列。
相似联想反映事物间的相似性和共性,在教学中运用类似联想便于识记和回忆,有利于由类似联想而提高学习效率。
（2）接近联想
接近联想是指对当前事物或问题感知时,形成表征或产生直感以后,对过去的在时间上、空间上或关系、性质方面很接近的事物或问题的回忆,是相互接近的事物之间形成的联想,是从已知探索未知的有力武器。解题中要学会观察问题的条件和结论,联想到与之内容相近的有关知识,从而发现解决问题的思路。在数学解题中表现为观察问题的条件和结论,联想到与之内容相接近的有关知识,例如,算术根与绝对值,二次函数的图像与一元二次不等式的解集、条件相同结论相异的命题等都是接近联想的对象。
例5： 例求证
分析：不等式左边根式的被开方数都是平方和的形式,这使我们联想到复数模的表达式,由此得到启发,通过构造函数证题。
设
则左边

接近联想是最普遍的联想,也是最常用的联想方法，运用接近联想还能启发创造性思维和想象
（3）数形联想
数形结合思想反映了客观事物深层次的内在联系，数形结合能启迪联想，进而产生灵感，使向问题转化或者找到数学模型，或者回到基本概念，使问题变成原来我们熟悉的类型，就可以找到解题的关键，探寻到解题的正确途径。数形结合是中学数学里的一种重要的思想方法，善于进行数与形之间的联想，往往使我们在解题时得到新颖、简洁的方法。
例6： 若满足，满足，则 ( )
A B 3 C D 4
解析：将所给两个条件变形处理，利用函数图像的对称性求解。
将已知条件变形为：，，构造函数，，，作出以上3个函数以及图像，如图：由题意知，函数与关于直线对称，又直线与垂直且图像交点横坐标为，根据图像对称性知，。
（4）意愿联想
意愿联想，即由推理的意愿引发的联想。推理的意愿可以引起联想，这是因为推理的意愿可以激发主观能动性，而思维活动是受主观能动性控制的。有了推理的主观要求，就有可能出现有关内容的联想。在人们思考研究问题时，研究对象对感官的刺激是外因，而思维的自我追寻则成为内因。如自我追寻有时表现为自言自语，有时是沉默在心中的默问，有时仅仅是下意识，即自己不曾感到有问的迹象而实际是在自问自寻的推理意愿激励下产生联想逐步前进的。
例7：一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成且地板的两条对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色。如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少呢？
A121 B625 C676 D252 E2601
解：由于两条对角线上黑色瓷砖共101块，又发现中心处的一块公用的，说明对角线上有51块黑色瓷砖。正方形有51列又说明正方形每边有51块瓷砖，显然瓷砖总数是=2601（块）
从上例分析可以看出，人们对所求的问题，在意愿的驱动下，一层层地展开联想，一步一步地解决了问题。
（5）程式联想
所谓程式联想，指的是对于归类的问题（如有确定解法或者有确定解题思路），由问题本身的归属而触发与问题解决有关的若干联想。程式联想往往与意愿联想、相似联想紧密相连，甚至是你中有我，我中有你。
例8：解不等式
分析：由数的问题联想到数形结合的数学思想方法进一步联想到利用函数式与函数图像。于是设原不等式化成。
在这个联想的过程中，就其总体来说，属于程式联想，就其内容来说却与关系联想、意愿联想、相似联想难舍难分。在这些联想下，思维内容逐步具体化，便的解集
程式联想揭示了定势思维的思维机制，它对于问题解决具有不可低估的作用。
联想是数学研究的一种基本思维方法,作为一种思维形式,在数学解题中有着极其重要的作用。从上面的例子可以看出,不少的数学问题,通过精心联想,容易找到解题的简捷方法,对于结构复杂的问题,一般要联合运用多种联想方法,巧妙地利用联想突破思维的局限性,拓宽思维的深度和广度,增强思维的灵活性,才能探明解题的线索。可以这样说:数学联想是探索数学解题途径的向导,是将数学题设向结论转化的桥梁,是寻求数学问题巧思妙解的摇篮,是提升解题思维层次的阶梯。
参考文献：
[1]刘来福、曾文艺著《问题解决的数学模型方法》（M）北京：北京师范大学出版社1999.8； （01）
[2]钱佩芳 主编，《中学数学思想方法》 （M）北京：北京师范大学出版社2001.9； (07)
[3]邓小荣，高中数学的体验教学法〔J〕桂林：广西师范学院学报2003.8； (21)
[4]黄红，浅谈高中数学概念的教学方法〔J〕广西：广西右江民族师专学报 2003.6；（09）
[5]胡中双，浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养〔J〕湖南：湖南教育学院学报2001.7；(01)
[6]竺仕芳 激发兴趣，走出误区——综合高中数学教学探索〔J〕宁波：宁波教育学院学报 2003 ；(03)
[7]杨培谊、于鸿著，《高中数学解题方法与技巧》〔M〕．北京：北京学院出版社
1993 ；(04) 100~103
[8]曾晓新 著，《中学数学的思维与解题方法》〔M〕重庆：科学技术文献出版社
重庆分社 1985.8；(05)
[9]王林全主编 林国泰副主编 ，《中学数学思想方法概论》〔M〕广州：暨南大学出版社 2000.8； (04)
[10]钱佩玲、邵光华著，《数学思想方法与中学数学》〔M〕北京：北京师范大学出版社1997.7；(02)
[11]章士藻著 《中学数学教育学》（M）北京：高等教育出版社，2007.5（85~91）