1、二面角”教学设计
一、教学内容解析
“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主
2、要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置
在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何
3、的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：
（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析
在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很
4、自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
不过这其中的矛盾就在于角是能够观察出图形，关键在于怎样去计算“二面角”的大小，它的大小又是用哪个角去代替，两面中有很多的线，哪个线更直接，更方便，教学的难点就在这里，是要让学生达成共识，对二面角的平面角的“代表性”进行认同。
四、教学问题诊断分析
学生对“二面角”学习的必然性能够水到渠成，但在其中的确切定义的理解会出现差异，从名称可以看出应是两个平面组成的角，但实际是两个半
5、平面，而且在寻找到二面角平面角后，对平面角的认同也会存在着一定的误区，就是忽略两个半平面内的射线需垂直于棱。本节知识没有理解的难点，因为有具体的空间为想象的基础，只是在其中有需要去具体细化的概念。
五、教学过程
1．课题引入
首先让学生一起来回顾一下前面刚学习的直线与平面垂直的判定定理，再让学生去回顾直线与平面垂直的定义，直线与直线垂直的定义，在两直线垂直的定义中可以发现是从90º角去定义的，再唤起学生对直线与平面所成角定义的印象，即直线与平面垂直是可以从90º的线面角去描述的，从而引出新课题从哪个角度去定义两平面垂直。
2．探究二面角的定义
先展示两个平面相交的图形，如图①，从图中
6、就可以感受到有四个角的形式，而且从大小的方面也可以体会到有对顶角相等的情况，借此机会教师提出疑问，什么时候才能够说对顶角，当然是在两直线相交的情况，所以教师通过软件从不同的角度去观察两个平面相交的情形，就会有如图②的情况。
图②
图①
面缩成了直线，线变成了点，那就会有角的真实存在了，既然换一个观察角度可以把两个平面所成的角变成平面角，那么“二面角”的定义就可以类比到平面角的定义，借此教师引导学生回忆平面中的角的定义从而自然得到“二面角”的定义。
再类比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。
3．探究二面角平面角的定义
平面中的角是有大小
7、的，而且两个平面的展开形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也应该有大小。问题就来了，“二面角”的大小该用哪个角去表示呢？用一点时间让学生像刚才一样利用身边的工具——课本，打开课本就可以形成一个“二面角”，然后从不同的角度去观察变化过程中有哪个平面角与之相对应。
图③
教师就利用软件展示一个动态的过程，形成统一的认识，如图③。
再让二面角的其中一个半平面绕着棱进行旋转变化，观察“二面角”与∠POQ的变化对应关系可以发现它们的对应关系，后引导学生观察∠POQ的特征，故而给出“二面角”平面角的具体概念。
4．对比其他空间角的度量形式
异面直线所成的角是学生进入立体几何的第一类空间角，它的定义是通过平移让直线相交后所形成的角为异面直线的角，在空间中从不同角度观察两异面直线，便可得到如图④。
图④
从图中可以观察出，“二面角”平面角的找寻实际也是自然的。
5．完善点、直线、平面垂直关系
有了描述两个平面角度形式的“二面角”后，那么就可以从90º去定义两个平面的垂直，同时也就完善了整个关系体系，即每种垂直关系都可以从各种形式的角为90º去描述，对比直线与直线平行。直线与平面平行，平面与平面平行一样都可以从无交点去描述。
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