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初三数学提高练习
学校_____________班级_____________姓名_______________学号________
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分. 以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分)
1．如果，那么代数式m是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．在平面直角坐标系中，点A（，）在第四象限，那么点
B（，）在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心 ，正
O
-1
1
A
2
方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，点A表示数x，则x2的平方
根是（ ）
（A） （B） （C） （D）2
4．如果，那么等于 ( )
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．考虑下列4个命题：其中正确命题的序号是( )
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④对角线相等的梯形是等腰梯形．
(A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④
1
1
A
B
D
C
6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是 ( )
（A）大于1 （B）等于1
（C）小于1 （D）小于或等于1
7． 已知梯形的两条对角线分别为m与n，两对角线的夹角为60 0. 那么，该梯
形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．已知，正整数n，k满足不等式，那么当n与k取最小值时，n+k
的值为（ ）
（A）29 （B）30 （C）31 （D）32

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．已知⊙O的直径AB=2cm，过点A有两条弦AC=2cm，AD=cm，那
么劣弧CD 的度数为_________.
10． 已知，关于x的一元二次方程与只有一个公共
的根，那么方程所有的根的和是 .
11． 在写有整式 ，，，，，，，的卡片中，任意
选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是 .
x
y
B/
A
C
B
O
12．如图，直线与x轴、
y轴分别交于A点和B点，C是OB上的一
点，若将DABC沿AC翻折得到DAB/C，B/
落在x轴上，则过A，C两点的直线的解析
A
F
B
E
C
D
式是 .
13．若，则= .
14．如图，在DABC中，ÐC=90°，D、E分别是
BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，
且交AB于点F，此时CF恰好与⊙D相切于点F.
如果AC=，那么⊙D的半径= .

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）
15．已知，一次函数（是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为（即k=1时，得，k=2时，得，┅）.试求+++的值.

16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售. 已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 根据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?

17．已知，∆ABC和∆A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1中点均为D，如图1.
(1)当∆A1B1C1绕点D旋转到∆A2B2C2时，试判断AA2与CC2的位置关系，并证明你的结论.
(2)如果当∆A1B1C1绕点D旋转一周，顶点A1和AC仅有一个交点，设该交点为A3，如图3. 当AB=4时，求多边形ABDC3C的面积.
C
A
B
D
B1
C1
A1
C
A
B
D
B2
C2
A2
A
B
C
D
B3
C3
A3
图1
图2
图3

18．给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.

《初三数学提高练习》参考答案和评分意见

一、选择题(每小题5分，共40分)
1—8：ACAD BCBC
二、填空题(每小题5分，共30分)
9． 30°或150° 10． 0 11． 12． 13．1 14．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）
15．一次函数的图象与两坐标轴的交点为（，0）、（0，），
所围成的图形的面积为. …………4分
∴+++
= …………8分
=
=
=
=. …………12分
16．设该商店每天批进这种食品x千克，每月获得的利润为y元．
（1）当时，由题意，30天中批进这种食品的成本为元，销售收入为元，退货所得为元，
于是可得

即 …………4分
∵是一次函数，且y随x的增大而增大，
∴当时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元． …………8分
（2）当时，由题意，

化简得
∵是一次函数，且y随x的增大而减小，
∴当时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元． …………12分

C
A
B
D
B2
C2
A2
F
E
17．AA2⊥CC2. …………2分
（1）在图2中，连接AD、A2D、延长AA2
交BC于E，交CC2于F，
∵ÐADA2=90°-ÐA2DC=ÐCDC2，
（等边三角形都相似，相似三角形对应高的比等于相似比）
∴DAA2D∽DCC2D，于是得ÐA2AD=ÐC2CD …………5分
又因为ÐAED=ÐCEF，∴ÐADE=ÐCFE=90°
∴AA2⊥CC2. …………8分
（2）在图3中，连接A3D，过C3作C3G⊥BC于G，由（1）得AC⊥CC3，
A
B
C
D
B3
C3
A3
G
由题意又得A3D⊥AC，
四边形A3CC3D是矩形.
∴C3C=A3D=，
C3G=，
∴多边形ABDC3C的面积=
==. …………12分
18．经过2007步后得到495或0. …………2分
不妨设选定的三位数中的最大数字为，最小数字为，还有一个数字为，则， …………4分
现讨论如下：
（1），，第一步结果0.
（2）第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792 ,第四步结果693，第五步结果954,第六步结果495.
（3），，第一步结果198，第二步结果792，第三步结果692，第四步结果954，第五步结果495.
（4），，第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954 ,第四步结果495.
（5），，第一步结果396,第二步结果594,第三步结果495.
（6），，第一步结果495.
（7），，第一步结果594,第二步结果495.
（8），，第一步结果693，第二步结果594，第三步结果495.
（9），，第一步结果792 ,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495.
（10），，第一步结果891,第二步结果792 ,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495.
由以上讨论可知至多6步可将一个三位数变为495或0，然后就进入循环，所以经过2007步后将得到495或0.
当时，得到0；当时，得到495. …………14分（讨论一种情况给1分）

初中数学竞赛试卷 第6页(共6页)

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