数信整合让数学体现“动态美”（谷仁杰、颜洪明）.doc

数信整合，让数学体现“动态美”
《长方体的表面积》的教学设计和评析

谷仁杰 颜洪明

杭州市胜利小学

2015年12月

一、 建设背景（字数要求：500）
“ 数信整合”这一新兴名词正在被越来越多的群体所熟悉或应用，即数学学科知识与信息技术的整合。这样的现象其实早在PPT被应用之时已经存在，但随着社会的不断进步，信息技术的不断更新，教师信息素养的不断提升，数信整合在数学教学上的价值日趋显著。近来，浙江省全面推动的中小学教师信息技术应用能力提升工程也一定程度上体现着信息技术对教育教学的重要价值。在本课例中，笔者充分发挥了几何画板的动态演示功能、交互功能等，使静态的几何图形精确地“运动”起来。从而让学生在欣赏“动态美”的过程中，进一步理解表面积的概念及求表面积的方法，进一步促进空间观念的发展……

二、目标思路（字数要求：1000）
（一）需求分析
学生在认识长方体一课中，已经对长方体的六个面有了充分的感性认识。在本节课概念理解环节，笔者利用几何画板的隐藏与显示功能，即时将学生的摸法同步到大屏幕上。一方面有利于全班学生看清摸的过程，另一方面将摸的过程用图形的形式表征出来，对学生抽象与理解表面积概念都有一定的价值。

（二）建设目标
（1）通过经历摸一摸、想一想等活动，理解表面积的概念；
（2）通过观察几何图形的动态变换，掌握表面积的计算方法；
（3）通过观察与想象，促进自身空间观念的发展。

（三）建设思路
数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、几何直观、空间观念……等十大核心素养。而长方体表面积这样的课型就是培养学生空间观念的载体，因而空间观念的培养，是本节课的重要的教学目标。然而什么是空间观念？空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。结合这样的理解，笔者在充分重视动态直观演示的同时，也十分重视学生的想象能力。例如，在上述三种长方体表面积计算公式的探索环节，笔者并没有简单的逐次呈现，而是安排了一个“运动、想象，感受长、宽、高对表面积大小的影响”的环节，先通过演示让学生感受长、宽的变化对表面积的影响，进而让学生展开想象，“如果高变了呢？表面积会变吗？又是怎么变的？”，最后通过几何动态来进行验证。这样的想象过程不是流于形式、而是基于感受，终于验证。这样的想象有挑战、有乐趣。

三、成果特色（字数要求：3000；图文并茂，图片分辨 率要求在300ppi以上，jpg格式）
（一）建设过程
根据教材特点和学生情况主要安排五个教学板块：（一）开门见山，引出概念；（二）动手体验，理解概念；三）数信整合，探索方法；（四）练习巩固，拓展提高；（五）课堂小结，回顾反思。
（一）开门见山 引出概念
1. 呈现课题：长方体的表面积（板书）
2. 说说什么是长方体的表面积？
3. 呈现概念：长方体六个面的总面积叫做表面积。（板书并齐读）
[评析]这样的设计对两个问题有清醒的认识：
一是学生学习的起点。起点由学生的生活起点与学科起点决定。长方体表面积，从生活角度讲，即长方体表面面积之和。从学科角度讲，学生对面积已经有比较充分的学习经历，此处计算的面积从一个平面的面积延续到六个构成“体”的平面面积之和，且学生对相对的面是有研究的基础的，故“长方体表面积”这一概念是可以直接在简单对话中给出的。
二是教学引入部分的效用。引入部分可以呈现生活情境，问题背景多姿多彩，也可以直面数学问题，单刀直入揭示思考对象。本课的“长方体表面积”，是基于生活中的各色长方体，又抽象于具体的物体，这是一个纯数学的形状，这样处理更富价值。
（二）动手体验 理解概念
1. 出示长方体实物，摸一摸表面积在哪儿？
2. 学生上前操作，并请其他学生说说摸的过程。
（教师根据学生的汇报，在几何画板中呈现相关的面）

3. 还有其他摸法吗？
4. 它们的方法都可以吗？为什么？（因为长方体六个面的总面积叫做表面积）
5. 摸一摸自带的长方体物体的表面积。
[评析]实物的触摸是想象的基石。
体验是有层级的，有基于实物操作的体验、有基于图形绘制与语言描述等次级抽象的体验、有分析数据并借助逻辑研究特征的高级抽象的体验等。在不同层级的体验活动中，初级体验是高级体验的基石，没有清晰、深刻的初级体验，高级体验也将是模糊的，甚至无从发生。
该环节的设计，一方面有利于学生回顾相对的面的特点，用长、宽、高数据对不同的面进行精确的描述。同时，在“摸”表面的过程中，体验“有序”的意义，也为进一步的变化准备观察的基础，为想象的展开提供实物原型。
（三）数信整合 探索方法
在大屏幕中呈现长方体，问要求出这个长方体的表面积，还需要哪些信息？(长、宽、高)
1.普通长方体（长6cm，宽5cm，高4cm）
①出示数据，请你自己试一试，写在练习纸第1题；
②独立尝试，汇报想法，板书算式：(6×4+6×5+4×5)×2=128cm2
③动态呈现，理解算式

④字母表示，呈现公式（s=（ab+ah+bh）×2）
2.运动、想象，感受长、宽、高对表面积大小的影响
①操作：改变长，观察并说说表面积变了吗？哪里变了？

②操作：改变宽，观察并说说表面积变了吗？哪里变了？

③想象：改变高呢？说说，并操作验证。

3.稍特殊长方体（长6cm，6cm，高4cm）
①独立尝试，写在练习纸第2题
②小组讨论，还可以怎么算？
③小组汇报，板书新算法（6×4×4+6×6×2 机动方法：128+6×1×4）
④动态呈现，辨析算法（6×6×4+6×4×2）对吗？
巩固长方体面的特征：长方体正方形的面不可能只有4个。
4.立方体（长6cm，宽6cm，高6cm）
①独立尝试，写在练习纸第3题；
②汇报，动态呈现，并板书算法（6×6×6）

③用字母表示数，板书公式（s=6a2）
④说说三个6表示的意思一样吗？
⑤口头练习：如果棱长变成4呢？
5.辨析方法
我们能用刚才的方法呢？看来特殊的方法有它的便捷性，而一般的方法更具普遍性。
[评析]数信结合，助力思考。
借助于动态图形的想象确实是饶有趣味的。你看，一个一般的长方体，学生亲手操作课件，通过动态图形的展示，学生放佛“看到”了长方体表面积的“一般”算法，知道了算式的各部分的含义，学生对获得的算法是深信不疑的。
然后，在教师的诱导下，学生亲手操作课件，通过长、宽、高参数的渐变，学生放佛“看到”了表面各个长方形的形变，“看到”了因为“特殊”而产生的新的表面积算法，当他们“将特殊进行到底”时，他们就在无意识中发现了正方体表面积的计算方法。
当然，难能可贵的是，在参数改变的过程中，在长方体的形变过程中，学生获得了与“摸实物”相比更高层级的体验，一个灵动的长方体在他们心中生长，特殊的表面积计算方法在他们心中扎根，他们的空间想象力由此得到了升华。
（四）练习巩固 拓展提高
1.一节长方体形状的铁皮通风管高4分米，横截面是长为3分米、宽为2分米的长方形，做这样的一节通风管需要多少铁皮？
①读题，并想象这是一个怎么样的长方体。（两头通，只要算4面）
②出示图形，独立尝试，写在练习纸第4题；
③汇报算法（4×3+4×2）×2
④还可以怎么算？几何动态，侧面展开，引导学生进一步发现（这四个面展开后，其实就是一个大长方形）；

⑤反复动态，进一步观引导与发现：长方形的宽就是长方体的高，长方形的长，就是底面的周长。板书算式：（3+2×2×4=40dm2
2.变式练习
①变式1：一节长方体形状的铁皮通风管高4分米，横截面是周长为10分米的长方形，做这样的一节通风管需要多少铁皮？（动态展开）

②变式2：一节三棱柱形状的铁皮通风管高4分米，横截面周长为10分米的三角形，做这样的一节通风管需要多少铁皮？（动态展开）

③变式3：一节五棱柱形状的铁皮通风管高4分米，横截面周长为10分米的五边形，做这样的一节通风管需要多少铁皮？（动态展开）

④题目还可以怎么变？（六棱柱、七棱柱……圆柱）
⑤变式4：一节圆柱形状的铁皮通风管高4分米，横截面周长为10分米的圆形，做这样的一节通风管需要多少铁皮？（动态展开）

3.方法提炼：这样的题目，我们都是怎么做的？板书：侧面积=底面周长×高
（二）特色亮点
包括系统建设、资源建设、业务应用、队伍建设、体制机制建设等方面的特色亮点。
一堂研究长方体表面积的课，研究的触角伸向了棱柱的侧面积研究，伸向了“无数条棱”的圆柱侧面积的研究，而且，学生可以借助于课件的亲手操作，这样的研究是他们力所能及的，也是他们非常乐意的。
技术成就想象，技术成就研究。如果说在长方体环节的研究过程中，学生所使用的课件或许是我们看到过的，也是我们用实物可以模拟的，那么，在本环节的棱柱侧面积的研究中，这样的课件是闻所未闻的。正所谓技术成就想象，技术成就研究，技术成就课堂。当然，制作这样的课件也绝非易事。首先要有这样的金点子，把学生研究的方向从长方体的侧面积引向棱柱的侧面积、引向圆柱的侧面积。其次，要有制作的平台与制作的技术。
想象的延伸，统一了柱体侧面积的计算方法，为后续学习奠定了基础；想象的延伸，拓展了数学思考了的空间，连结了数与形的关系，提升了学习的高度；想象的延伸，也为学生数学学习点燃了热爱的火种，因为喜欢，他们学习数学……

四、应用效果
（一）在具体与抽象互动中促进概念的理解
学生在认识长方体一课中，已经对长方体的六个面有了充分的感性认识。在本节课概念理解环节，笔者利用几何画板的隐藏与显示功能，即时将学生的摸法同步到大屏幕上。一方面有利于全班学生看清摸的过程，另一方面将摸的过程用图形的形式表征出来，对学生抽象与理解表面积概念都有一定的价值。
（二）在动态展开中促进表面积计算公式的理解
笔者一共安排了3个长方体进行表面积计算的探索，依次是普通长方体（长、宽、高各不相同），稍特殊长方体（长、宽相同，高不同），特殊长方体（正方体，长、宽、高都相同）。在具体探索过程中，都充分尊重了独立思考，且都在方法介绍的时候借助了几何画板进行了直观动态的演示。从立体图形精准地展开到平面图形一直是困扰数学教师的难题，但在本节课中笔者利用几何画板将这样动态展开的过程得以充分的展现。这样动态的数形结合，一方面有利于学生对表面积计算公式的理解，另一方面也有利于在学生脑海中建立几何图形展开过程的表象，进一步发展空间观念。
（三）重复运动中促进思维的发散
在教学中常常会遇到这样的现象，即面对一个难度较大的问题时，常常会出现教学上的“冷场”。面对这样的“冷场”，有时候会有极个别优秀的学生进行“救场”，有时候就是老师直接进行“救场”。在这节课中，要让学生想到“侧面积=底面周长×高”着实不容易。除了开展了小组交流与讨论，笔者更是将侧面的展开过程，进行了多次反复的播放。看着看着有些小手就举起来了，当然肯定有学生看不出来，但通过这样的观察，相信他们对“侧面积=底面周长×高”这一结论会有更深的感受与理解。
（四）系列动画中促进方法的归纳
这一意图主要体现在变式练习环节。我们发现长方体的侧面积可以用“底面周长×高”的方法来求，那么三棱柱可以吗？五棱柱可以吗？通过动态展开，我们同样可以发现它们的侧面开展后同样是一个大长方形，因而也是可以通过“底面周长×高”的方法来计算。进而展开猜想，还可以是什么图形也能用这样的方法来计算侧面积？六棱柱、七棱柱、……圆柱。通过动态验证，同样可以用“底面周长×高”的方法来计算它的侧面积，进而让学生来进一步归纳方法，即柱体侧面积=底面周长×高。
小小技术却能发挥如此多的功效。可见数学与信息技术的深度融合，值得研究、值得实践。相信不久的将来，数信整合将会是数学教学的常态。相信那时，数学之美将更加绚丽多彩！