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从“数学的知识”走向“知识的数学”
──对“简单的数学课该怎么上”的思考
太原市迎泽区教师进修学校 曹德芳
摘 要：简单的课要上出“数学味”，关键要立在“数学”的角度而不仅仅是“知识”的角度，引导学生从学习“数学的知识”走向体验“知识的数学”。教师应该从学科本质出发，开发显性知识背后的数学价值，引导学生经历丰富的数学活动，体验思想方法，从而发展数学素养。
关键词：思维 过程 技能 算理 意识 
平常教学中，我们都有这样的感受：有些数学课，思维容量比较大，教师设计和教学时有很多创新的空间，容易“出彩”；而有些课，内容很简单，大多数学生不学也会，教学不容易“出彩”。那么，这样的课仅仅满足于学生学得轻松，教学效果好就够了吗？到底内容简单的课该怎么上？
笔者认为，内容简单的课要上出“数学味”，关键要立在“数学”的角度而不仅仅是“知识”的角度，引导学生从学习“数学的知识”走向体验“知识的数学”。“数学的知识”与“知识的数学”是两种不同的理念。“数学的知识”侧重于“知识”，重视“教教材”，教师考虑的是采用什么样的教学方法能让学生获得知识，重在对具体教学方法的选择；而“知识的数学”侧重于“数学”，重视“用教材教”，即通过知识这个载体，探究知识背后的数学价值，培养学生的数学意识、数学思维，发展学生的数学素养。
一、发展“知识”背后的“思维”
不少教师在研读教材时，往往只从知识的角度来分析和设计教学，重视知识的教学，而忽视知识背后思维价值的开发，这样，内容简单的数学课也就上不出“数学味”，不利于学生思维的发展。
例如，苏教版六年级上册《倒数》一课，仅从数学知识的角度来看，只要让学生掌握倒数的意义，会找一个数的倒数，这对于六年级的学生来说是非常简单的。那么，学习“倒数”仅仅是为以后的数学学习奠定知识基础吗？我觉得还不够，应该努力挖掘倒数知识更丰富的教学价值，在学习数学知识的同时发展数学思维。
“倒数”的知识，研究的是两个数之间乘积的关系。在小学数学中，很多内容都是研究事物之间关系的，如“平行”和“垂直”是研究同一平面内两条直线的位置关系，“因数”和“倍数”是研究两个自然数之间的关系，“加法”和“减法”是研究两个数量之间和与差的关系。因此，“倒数”的教学，要站在整体的高度，把握这一知识点及相关知识之间的结构，引导学生能够主动联系已学的知识，贯通相关知识之间的联系，体会两个数之间的特殊关系，实现知识的自主建构。
课始，我启发学生：同学们，我们之前学过了很多有关数的知识，其实数与数之间有着很多特殊的关系，你能说说学过的哪些数学知识研究的是两个数之间的关系？学生交流后，教师举例：比如“（ ）×（ ）=0”，（ ）里可以填哪两个数啊……那么，两个数相乘等于1的关系是怎样的呢？今天我们一起来研究。这样，联系学生已有的知识经验，通过“两个数相乘等于0的关系”引入到对于“两个数相乘等于1的关系”的探究，深化了学生对于两个数之间关系的体验，也便于学生感悟数学知识之间相互联系的结构化思想。
二、展现“结果”背后的“过程”
数学知识往往是以结果的形式来呈现的。数学教学要让学生经历知识形成的过程，并在这个过程中经历观察、比较、归纳、推理等数学活动。“倒数”一课的教学，要在获得数学知识的同时，让学生经历和体验“从特殊到一般”的归纳过程和“从一般到特殊”的演绎过程，体会数学的“普遍性”和“特殊性”。
1．从特殊到一般：体会“普遍性”。
“倒数”概念的建立，是让学生在对一些具体算式观察比较的基础上，归纳这些算式的共同点：两个乘积是1的数互为倒数，这是“从特殊到一般”的过程。在这一过程中，有一个问题必须明确，那就是“成为倒数的两个数不一定都是分数，整数或小数也可以互为倒数。”平常教学中，由于教师往往先选择分数的例子，容易让学生形成只有两个分数才能互为倒数的错误认识，即使到后面再研究整数的特例，学生已经先入为主地形成了不正确的观念。
教学中，我出示：（ ）×（ ）=1，引导学生独立探究、合作交流，学生的思考有四种情况：（1）小数和整数相乘的情况：0.5×2=1， 0.25×4=1 ，0.125×8=1；（2）整数与整数相乘的情况：1×1=1；（3）分数与分数相乘的情况：2/3×3/2，3/5×5/3；（4整数与分数相乘的情况：2×1/2……引导学生概括这些算式的共同点：两个数的乘积都等于1；进而揭示“倒数”的概念：乘积是1的两个数互为倒数。这样，从特殊到一般，突出了“乘积是1的关系”特殊性的探究，拓展了思维的空间，避免使学生产生“只有两个分数才互为倒数”的错误认识。
2．从一般到特殊：体会“特殊性”。
在形成“一般方法”后，再应用到对“特殊现象”的研究，有利于巩固“普遍性”知识，完善学生的认知结构。“倒数”本就是研究两个数的特殊关系，即“两个数相乘等于1”的关系。在学习倒数的意义，掌握求倒数的方法后，要研究一些特殊数的倒数，如整数和小数的倒数，包括1的倒数、0的倒数等。那么，能不能把找整数、小数倒数的方法纳入找分数倒数方法“交换分子分母的位置”这一知识结构中呢？
教学中，我首先引导学生研究互为倒数的两个分数之间的关系，小结得出：找一个分数的倒数，只要交换分子分母的位置。然后，沟通整数、小数和分数倒数之间的联系，引导学生观察：0.25×4=1，1×1=1……0.25的倒数是4，4的倒数是0.25；1的倒数是1。讨论：小数的倒数，整数的倒数，能不能也能像求分数的倒数一样，把分子和分母倒过来呢？这样，从最基本的求分数倒数“把分子分母倒过来”的方法出发，沟通求整数、小数倒数方法与这一方法的联系，体现数学知识“普遍性”的特点，体会“普遍性”与“特殊性”的统一。
三、追问“方法”背后的“算理”
新课程理念下的计算教学，强调算法与算理的结合，重视算法的形成过程，引导学生在探索算理的基础上掌握算法。而问题是，对于简单的计算知识，学生已经能够顺利迁移原有的算法形成了新的算法，这样的课，如何重视算理的教学？
例如，苏教版三年级上册“整百数乘一位数的口算”一课，由于学生有了整十数乘一位数口算的基础，因此像300×2这样的口算，学生都会算了。学生已经会的，教师如何教？
1．提炼核心问题。
本课中，对于“400×2怎么算”的问题，学生可以顺利迁移“整十数乘一位数”的口算方法：先算4×2，再在后面添两个0。在学生口算答案后提出两个问题：怎么证明800一定是对的呢？为什么能先算4×2，再在后面添两个0呢？第一个问题解释了乘法的意义：2个400就是800；第二个问题解决了算理问题。教师在学生讨论交流后小结：学习数学，不仅要掌握方法，而且要知道这样算的道理，并板书“方法—道理”。这两个核心问题的提出和解决，让本来简单的数学知识“厚实”了起来，“算理”教学的重点得到了有效突破。
2．体验数学思想。
对于“为什么可以这样算”的算理，教师并不只是让学生简单说道理，而是利用数形结合的思想方法，选择了“计数器”这个有效的载体。教师结合“计数器”的拨珠，引导学生联系已经学过的“一位数乘一位数的口算”“整十数乘一位数的口算”来理解“整百数乘一位数口算”的算理：4×2，就是在个位上拨2个4，得8；40×2，就是在十位上拨2个4，得4个十，所以在4后面添一个0；400×2，就要在百位上拨2个4，得8个百，所以在8后面添两个0……这样，算理的理解和拨珠的过程相结合，学生直观、清楚、深刻地理解了算理，这是其他教学形式都不能替代的。在此基础上，教师再作延伸：如果再写下去，4000×2应该怎样拨，怎样算呢？既促使学生将已有的知识经验进一步加以拓展，又启发学生逐步体会了位置思想和无限的思想。
四、培养“知识”背后的“意识”
发展学生的数学素养，不仅要让学生掌握数学知识，体验数学思想和方法，还要注重培养学生的数学意识，即能够主动应用数学知识解决实际问题的意识。就“整百数乘一位数的口算一课来说，仅仅让学生掌握正确计算的方法，还只是停留于知识教学的层面。因为在实际生活中， “整百数乘一位数”的口算应用并不多，更多的是接近整百数的数乘一位数的口算，如商场里一件衣服往往标价299元、396元等。因此，如何让学生体会到“整百数乘一位数口算”与生活的联系，提高学生解决实际问题的能力，显得相当重要。
本课中，教师创设了丰富的生活情境，培养学生的应用意识和估计意识，引导学生掌握估计估算的方法，从而解决实际问题。如：

这是公园景点的地形图，小明要绕景点一圈，大约要走多少米？让学生利用“整百数乘一位数的口算”的知识进行估算和交流。教师还引导学生思考：别人的答案是怎样估计出来的？怎样估计得到的结果会更准确一些？
总之，简单的数学课要上出“厚度”，更需要教师深厚的学科功底。教师应该要从学科本质出发，开发显性知识背后的数学价值，引导学生经历丰富的数学活动，体验数学思想方法，从而发展数学素养。

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