让学生学会“数学地思考”.doc

让学生学会“数学地思考”──以《认识面积》教学为例

叶圣陶先生曾指出：教是为了不教。数学教学要达到“不教”的境界，关键是让学生学会“数学地思考”。 “数学地思考”又称为数学地思维，认为数学地思考意味着：（1）用数学家的眼光看世界，即具有构造模型、符号化、抽象化等数学化倾向；（2）具有成功地实行数学化的能力。［1］
美国学者Crows认为，学会数学思考就是形成数学化和抽象化的数学观点、运用数学进行预测以及运用数学工具解决问题的能力。还有人认为数学地思考是在面临各种问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度思考解决问题的途径。［2］
我国的数学课程标准将“数学思考”作为数学课程的目标之一。美国的数学教育文件《人人关注数学教育的未来》中指出：“……美国人比过去任何时候都需要数学地思考。”英国的国家数学课程标准中也提出“使学生有机会运用一系列思考策略进行活动，以巩固和发展相关的知识和技能，发展数学思考能力。”
 “数学地思考”，其本质是让学生在面临各种问题情境时从数学的角度去观察分析问题，发现其中所存在的数学信息，并运用数学知识与方法解决问题的思考方式与能力。可见，数学地思考，首先要解决“思考什么”的问题；在抽象出数学问题后，能对相关数学信息进行分析、研究，展开思考的过程；最后应该是在反思与回顾中提升原有认识，积累思考的经验、策略。现以《认识面积》的教学为例，探讨如何引导学生学会数学地思考。
一、明确观察角度，让“思考”有方向
（一）从数与形的角度观察
思考的前提是学生要知道思考什么，知道问题是怎样产生的。否则学生只能按图索骥。因为“体”对于学生而言更加直观，所以教学时，我引导学生经历了“体—面—面有大小—揭示面积的含义”这一认知过程。
【片段1】
1.摸一摸，认识“物体的表面”。
师 生活中有许多物体，每个物体都有它的表面。你能摸摸这个纸巾盒的表面吗？
师 谁能摸摸这个球的表面？（这是个曲面的物体）
师 数学书有几个面？这是数学书的封面，我们一起来摸一摸。
要求：请你找一些物体，摸一摸它的面，边摸边思考，它们有什么不同。
2.比一比，认识“物体表面”的大小。
师 你摸了哪些面？展示给大家看看（3个人说，其中一个是曲面）你摸的这些面， 有什么不同？
生 平平的、滑滑的，有的弯曲，有的平，形状不同，有大有小。
师 从数学的角度观察，它们有什么不同？（板书：大小）
师 我们摸的这些面都是物体的表面。（板书：物体表面）
3.说一说。
师 比比黑板的表面和数学书的封面，说说哪一个面比较大，哪一个面比较小？
师 物体表面有大有小，我们把“物体表面的大小叫作它们的面积”。（板书：物体表面的大小叫作它们的面积）你能说说谁的面积比谁的面积大或小吗？
现实生活中，我们会看到很多物体，但观察的时候角度是多样的。如果从数学的角度看，关注其表面的“形状”与“大小”，这样就能帮助学生明确不论是物体的面还是图形的面，不论是平面还是曲面，都可以讲面的大小归在一起作为对象加以研究，很自然地概括面积的含义。
（二）从概念外延与反例进行思考
我们期待学生拥有一双“数学的眼睛”，不仅能从“数与形”的角度观察，还能善于沟通相关知识之间的联系，延续有价值的思考。
【片段2】
1.画出实物图形的一个面，抽象出平面图形。
师  如果我们沿着作业本的封面边框画出来，画出来的是什么图形？它与原来的封面有什么关系呢？
生 周长一样、长一样，宽一样，面积一样。（重合）
2.辨析，明确封闭图形的面积。
师 你们说它的面积与这个封面的面积相等，其实你们想说的是这个长方形有面积。聪明的同学自然会想：其他图形会有面积吗？
出示各种图形，让学生先说一说。然后在画图工具中演示。

交流：明确哪些是封闭图形（课件中隐去后两个图形），封闭图形的大小是它们的面积。（板书）
一句“其他平面图形都有它们的面积吗”，迅速将学生的思考扩展开来，由特殊的长方形过渡到一般的平面图形。在猜测、争论时借助画图工具演示，让学生直观地看到不封闭的图形没有“面积”。值得一提的是，用画图工具演示时，学生们竟然自发地欢呼起来，这是数学思考被证实后最热切的温度。
二、经历数学活动，让“思考”有过程
要教会学生思考，必须要让学生经历思考的过程。所以创设一个内涵丰富、颇有研究价值的数学活动，让学生实实在在地经历思考过程，积累思考经验尤为重要。
（一）聚焦矛盾，让思考有抓手
课堂时空有限，常常需要教师集中矛盾，引导学生在争辩、反思与碰撞中明确研究的问题，提升思维品质。
【片段3】
师  下图中涂色部分表示的是这三个图形的面积吗？

     学生独立思考。
师 你们认为谁准确地表示了面积？你还想说些什么？
第一幅图让学生明白红色部分再加上白色部分的面积就是原大长方形的面积。（揭示了面积的可加性）
第二幅图让学生明确周长与面积的区别。在用手势表示的过程中直观又深刻地加以理解。
第三幅图让学生明确不规则的平面图形，只要是封闭的就有面积，丰富面积的外延。
（二）回到源头，让思考有根基
如果说“聚焦矛盾”更多是从与新知相关连或易混淆旧知的矛盾处入手，让思考有抓手，那么能回到生活的源头，采撷那些不被注意或是学生的认识盲区，能使学生的思考更有根基。
在认识“面”的时候，我们往往关注的是“实”的面，而没有关注“虚”的面，如玻璃杯口的面积，因为杯口是空的，会让学生有错觉，以为杯口没有面积。
比较面积大小时，较小的面积可以直接看和量，而较大的面积根本看不到整体，怎样比呢？这类实际问题，会使学生置身于真实的问题状态，超越对教材中相关数学结论的认识，思考的基础更加厚实。
（三）关注差异，让思考有层次
一个成功的数学活动，应在最大程度上吸引孩子们参与，尽可能让全班同学都动起来，使得不同的人在数学上得到不同的发展。因而活动要尽可能考虑不同学生的思考特质，同时具有一定的挑战性，满足他们探索成功的心理需求。
【片段4】
通过刚才的学习，同学们已经知道了面积的含义，也知道面积有大小之分。下面图形中任选2个比一比，看看哪个面积大，说说你是怎么比的？出示4幅图形。（分别为图1是6厘米×4厘米的黄色长方形，图2是6厘米×4厘米的橘色长方形，图3是10厘米×2厘米的绿色长方形，图4是边长2厘米的红色正方形，以及每个方格边长是1厘米的透明方格纸。）
1.比较明显差异的大小（观察法）。
学生很快就比出图1和图4，图2和图4，图3和图4。（学生刚解决完第一个问题就有学生问怎么比较图1和图3的面积）
四人小组分组合作解决问题，教师提示：信封中还有一件礼物（特指方格纸），不到万不得已，请不要用。
2.比较差不多的面积大小（重叠法、剪拼法）。
教学中有学生受一维长度比较的负迁移，以为只要比较两个长方形的一条边就可以。学生再反驳，调整，必须要让一个直角重叠，就是做到两个维度同时比较。有学生将图1对折变成2个6厘米×2厘米的长方形，再量10厘米×2厘米的长方形，发现只够摆一个6厘米×2厘米的长方形，其实这种方法就是用同一标准“6厘米×2厘米的长方形”来量；有学生都将图形对折，变成6厘米×2厘米与5厘米×2厘米的对比，其实这也是在找一个标准，因为对折后的图形宽一样，只要比长就可以了，这样就将二维问题转化为一维问题；有的用最小的图形边长2厘米的正方形来直接摆图1和图3；当然还有的直接用信封中的透明方格纸度量，得出结论。其间，还有学生说知道了长方形和正方形面积计算的方法。
3.比较差不多，却不能重叠的图形大小，必须用相同的标准（印章、橡皮等）。
4.比较不规则的多边形，明确用同样大的方格最方便。
5．争论：4个格子的长方形面积是否大于8个格子的长方形。强化必须要统一标准。
在上面的数学活动中，学生表现得很兴奋，每个人都很激动地交流自己的想法，其中既有粗糙的、不够完善的，也有相当精辟的见解，还有意外的收获。引导学生思考，不仅在乎思考的结果，更应在乎思考的过程。要关注是否激发了学生思考的内需，是否在思维上具有一定的挑战性，是否能尽可能让每个学生都能主动参与。只有让学生经历了思考的过程，学生才能积累丰富的思考经验，同时成功的探索经验也会激励学生进一步思考未知旅程。
三、理清思考脉络，让“思考”有经验
（一）“退远一些”，理清认知路径
曾经我们以为，成功的数学教学要使学生走出课堂后不再有任何“问题”。其实，数学思考是连续性的活动，好的数学教学应是认知从不平衡走向平衡，随之又走向更高层次的不平衡的螺旋上升的过程，那么学生走出课堂时产生新的感悟甚至新的疑问，反而应该成为我们的追求。为此，教师需要“退远一些”，就像制作板报一样，从远处感受局部与整体之间是否和谐。
这节课旨在由关注“不同物体的表面或封闭图形的形状与大小”揭示面积的含义，然后由“观察”知道面积有大有小，而“观察”不能解决问题时就需要采用重叠等方法进行比较，而重叠的本质是寻找同一个标准进行比较，这就孕伏了用面积单位计量面积的思维方法。而有学生想到的“测量”的方式既是把二维的“面积问题”转化成已知的一维“长度问题”，又为以后学习面积的计算公式（间接计量）奠定了基础。
在学生经历了思考的过程之后，我们需要引导学生“退远一些”，把认知的路径重新梳理一遍，以感悟其中所蕴含的思维方法，为后续的学习积累经验。
(二)“看远一些”，提炼数学本质
有人说，要学会做一个“懒老师”。是的，一个“懒老师”不是教一个知识点，而是教一类问题的思考方式，甚至把相关问题串起来，教学生以“滚雪球”的方式进行学习。教学《认知面积》的思路其实与长度的认识、体积的认识有很多内在的相似性，将一维、二维、三维的概念形成一个整体。比如对于比较的方法，一维的线只要起点一致；二维的面要角重叠，兼顾两个维度，或者使其中一个维度一样，比较另一个维度，其本质是向一维转化；三维的体自然要比较三个维度。虽然维度增加了，但比较的思维方法却是一脉相承的。最简单的办法是，选择一个“单位”进行直接计量。这是计量长度、面积和体积的内在逻辑关联。
如果我们这样思考课堂，并愿意付出探索性的努力，那么学生可能会不断发现数学学习的乐趣，会觉得数学并不那么难。慢慢地，他们也就能逐步学会“数学地思考”。