第二章第四节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝－log2x(x>0) B．y＝x3＋x(x∈R)
C．y＝3x(x∈R) D．y＝－(x∈R，x≠0)
解析：A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中的函数在定义域内不是增函数．
答案：B
2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析：由奇函数的定义验证可知②④正确．
答案：D
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数
D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数
解析：当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在．
答案：C
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.
又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.
∵f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)＞0，
∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)＜0.
又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)＜0.如图．

∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案：D
5．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)
A．y＝x2＋1
B．y＝|x|＋1
C．y＝
D．y＝
解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝在(－2,0)上为增函数，y＝在(－2,0)上为减函数．
答案：C
6．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则<0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－20；x<－2或0则实数a＝________.
解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，
又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，
解得a＝－1或a＝2(舍去)．
答案：－1
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.
解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．
而1≤x≤2时，fx)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.
由上知：f(6.5)＝－0.5.
答案：－0.5
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝
解：(1)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－.
∵f(－x)＝－＝－＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(2)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)
故f(x)为奇函数．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．
解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)
＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，
f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.