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初中数学开放性探究性试题及解题策略
随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进，近几年在初中数学教学中和各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。
一、数学开放题的概述
1、关于数学开放题的几种论述：
什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；（3）有多处正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；（5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题。
数学开放题，通俗地说就是给学生以较大认知空间的题目。
E
A D

B C

图1

一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如：对n个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习《组合》知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。
2、数学开放题的基本类型：大概包括以下几种：
（1）条件开放型这类问题一般是由给定的结论，反思，探索应具备
的条件，而满足结论的条件并不唯一
A D

C E
B
1 2
例1、如图1，要得到AD//BC，只需满足条件 （只填一个）。
再如：如图2，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使
图2
△ABC≌△DBE，则需添加的条件是 。
（2）结论开放型
这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在。它有结论存在和结论不存在两种情况。其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断。
D
B
C
A
例2、如图，⊙O的直径AB为6，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD=m∠ACD，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，请求出m的值；如果不存在请说明理由。
简析：假设存在正实数m，使弦CD最短，则有CD⊥AB于P，从而cos∠POD=OP:OD，
因为，AB=6，所以cos∠POD=30°。于是∠ACD=15º，∠BCD=75º，故m=5。
（3）简略开放型
例3、计算：，学生可能出现以下几种方法。
方法1：直接通分，相加后再约分。
方法2：原式=。
方法3：原式=.
方法1是常规方法；方法2体现的是一种化归思想，但也不简单；方法3转化为一些互为相反数的和来计算，显然新颖、简便。
此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型（限于篇幅不举例子）。还有综合开放型、情境开放型……等。这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐蔽多余，有的结论多样，有的解法丰富等。

二、开放题具有不同于封闭题的显著特点
（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。
（2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述。
（3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向。
（4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求。
三、开放探索性试题备考策略：
（一）数与式的开放题
此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳所提供的材料，猜想其结论。
例题：观察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ……
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： 。
策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。
（二）方程开放题
此类问题主要以方程知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数的值。
例题：是否存在k，使关于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的两个实数根x1、x2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。
（三）函数开放题
x
y

O

-1
此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等。
例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，问由此图像中所
显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数a、b、c的哪些关系和结论。
分析：①a>0；②即2a+3b=0；③c= -1；……
策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此
类题的重要数学思想方法。
（四）几何开放题
此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系
D
O
A
F B C
O
A D
E B C
F
例题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。
（1）求证：AB·DA=CD·BE
（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图2注明条件，不要求证明）
分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其解法是“执果索因”，要得到AB·DA=CD·BE，即要得△ABE～△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加条件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等。

策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。
（五）综合性开放题
此类问题是以几何、代数综合知识为背景，考查分析，推理能力，综合运用知识解题能力。
例题：如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3。
（1）现有一动点P，由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当t=时，过点C作CH⊥PD垂足为H；求证：关于x的二次函数y= -x+2-（10k—）x+2k的图像与x轴的两个交点关于原点对称；
3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=CD，如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。分析：（1）（2）略。
（4）假设存在实数根t，使得CH=CD，则∠CDH=30º可推得∠BPD=90º，则BP=BD=2.5>AB，这与P在AB边上矛盾，故这样的P点不存在。
策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破。
常见的开放题举例：
例1：在多项式4x2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 （只写出一个即可）。
分析：要使多项式4x2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。
解：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2
（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12
例2：已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 （写出满足
条件的一个k的值即可）分析：对于反比例函数（是常数，≠0）。当它的图象在第一、第三象限时有>0，所以本题中应该是-2>0，即>2。

解：-2>0 ∴>2 即只要的值大于2就可以满足题目要求。
例3：已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，如图，AB为直径，要使得EF
是⊙O的切线，还需添加的条件是：（只须写出三种情况）
（1） （2） （3）
分析：根据题目所给条件，要使得EF是⊙O的切线，关键是找到AB⊥EF的条件
即可解决问题。
解：（1）∠CAE=∠B （2）AB⊥EF （3）∠BAC+∠CAE=90º
（4）∠C=∠FAB （5）∠EAB=∠BAF
例4：已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）
分析：如果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决。
例5：有这样一个分式，字母x的取值范围是x≠-2，若分子为x+1，你能写出一个符合上面条件的分式吗？
分析：由题目给出的已知条件x≠-2知此分式分母中x的取值不能为-2，否则分式会无意义。
解：满足条件的分式可以是：、……

教材例习题改编与开放探索试题举例：
1、八年级《四边形》一章曾有一道经典题，多年来多次被各个省市搬上中考试卷，关于它的变式也相当的多，题目是这样的“两个相同的正方形如图叠合，其边长为4，请问阴影部分的面积为多少？”
图1 图2 图3 图4
图5 图6

2、（九年级教材）已知：如图，AB为⊙O直径，C、D是半圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F，①AD=CD，③DE⊥AB③AF=DF
C
D
B O E A
（1）写出以①②③中的任意两个条件，推出第三个（结论）的一个正确命题，并加以证明。
（2）“以①②③”中的任意两个为条件，推出第三个（结论）的一个正确命题，
并加以证明。
答案：可以组成3组正确的命题，即若①②则③，若①③则②，若②③则①。
3、典型范例重开放：体现师生解题智慧。
（例如基本题）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30º，
求证：DC是⊙O的切线。
探究1：如图，已知弦AB与半径相等，连接
OB，并延长使BC=OB。
（1）问AC是⊙O有什么关系,并证明你的结论。
（2）请你在⊙O上找出一点D，使AD=AC。（自己完成作图，并证明你的结论）
探究2：如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB的延长线上的一点，过P点
作⊙O的切线，切点为C，连接AC。
（1）若∠CPA=30º，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA平分线交AC于点M，你认为∠CMP
的大小是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，求出∠CMP的值。

探究3：求阴影部分的面积。

探究4：OA=OB=BC,△DOB是正三角形，∠C=30°
（1）经过A、B、D画外接圆。
（2）判断CD与外接圆的关系，并证明你的结论。

总之，开放性问题变化无穷、生动活泼、灵活多样、一改学生死搬硬套的解题模式，消除学生模仿死记解题的习惯，从不同角度对问题的深思熟虑，寻求多样性的解题方法，以上仅仅是笔者几年来教学的心结，有不完善的地方还需要今后的教学中不断探索、实践，但我们的目标是坚定的，为培养开放型、创造型人才而努力工作。

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