一次函数模型.doc

数学基础模块 上册

3.2.2 一次函数模型
【教学目标】
1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．
2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．
3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．
【教学重点】
一次函数的性质．
【教学难点】
对正比例函数和直线的关系的理解．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图

导
入
1. 一次函数的概念：
函数 y＝ (k，b 为常数，k )叫做一次函数．
当 b＝ 时，函数y＝k 叫做正比例函数．
2. 在直角坐标系中作出 y＝3 x 的图象．
教师屏幕显示内容，学生合作完成．
结论：正比例函数是特殊的一次函数．
师：函数 y＝3 x 的图象是一条直线吗？
教师引导学生在复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力．

新

课

新

课

新

课

新

课

一、正比例函数 y＝k x 的图象是什么形状？
以具体函数 y＝3 x 为例，
令x＝0，则 y＝0，所以函数y＝3 x的图象过点O(0，0)．又 x＝1，y＝3是方程的另一个解，作点 A(1，3)，过这两个点 O，A 作直线 OA．
-2
-4
-3
O
2
-1
y=3x
P
A
1
x
- 2
-1
1
2
3
4
y

我们来说明直线OA是正比例函数y＝3 x的图象．
(1) 设点 P(x，y) 为直线 OA 任一点，用相似三角形的知识说明点 P(x，y)也满足函数关系式 y＝3 x．
(2) 以方程 y＝3 x 的解为坐标的点 P(x，y)一定在直线 OA 上．
直线OA
正比例函数y＝3 x

方程y＝3 x的解（x,y）
点P（x,y）

二、一次函数与正比例函数图象关系
例1 在同一直角坐标系内作出下列函数 y＝x，y＝x＋2，y＝x－2的图象．
-4
-1
y=x+2
1
2
x
O
- 2
-1
1
2
-2
-3
3
4
y=x
y=x-2
y
步骤：列表、描点、连线．

观察与比较 正比例函数 y＝x 与一次函数 y＝x＋2，y＝x－2图象有什么异同？
填空 这 三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ，函数y＝x的图象经过原点，函数 y＝x＋2的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y＝x
向 平移 个单位长度而得到．函数 y＝x－2的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y＝x 向 平移 个单位长度而得到．

讨论
(1) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与
正比例函数 y＝k x 图象有什么关系？
(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与x，y 轴的交点坐标是什么？
结论
(1) 一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝k x 图象的关系：
一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b， 它可以看作由直线 y＝kx 沿y轴平移 |b 个单位长度得到．(当 b＞0时，向上平移；当 b＜0时，向下平移．)
(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，b)，(－，0)的一条直线．
练习1 指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标．
(1)直线 y＝5 x＋1；
(2)直线 y＝5x－3；
(3)直线 y＝x＋5；
(4)直线 y＝x－3．
三、一次函数的单调性
当 k＞0时，函数 f(x)＝kx＋b是增函数．当 k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函数．

例2 证明 一次函数f(x)＝kx＋b (k＞0)在(－∞，＋∞)上是增函数．

证明 设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，因为 Δ x＝x2－x1，而且
Δy＝k x2＋b－k x1－b
＝k(x2－x1)＝k Δx，
所以 ＝＝k＞0．
所以当 k＞0时，函数 f (x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是增函数．
同理我们可以证明：当 k＜0 时，函数 f(x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是减函数．
因为 Dy 是函数值的改变量，Dx 是自变量的改变量，所以由 Dy＝k Dx 还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

四、总结一次函数的性质
1．一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，b)，(－，0)的一条直线．
2．当 k＞0时，函数 f (x)＝kx＋b是增函数．
当 k＜0时，函数 f (x)＝k x＋b是减函数．
3．函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．
练习2 说出下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，以及函数的增减性．
(1) y＝x＋2；
(2) y＝－2 x－1；
(3) y＝3 x＋1；
(4) y＝8 x．

师：你是怎么做出y＝3 x的图象的？
生：列表，描了两个点，连线．
师：由方程 y＝3 x 的两个解我们做出了直线 OA，那么方程 y＝3 x 的所有解都在直线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都满足 y＝3 x 吗？
即方程 y＝3 x 的解与直线 OA 上的点是一一对应的吗？

这一部分，教师结合图示，用简洁明了的语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不宜过多强调．

师：正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系呢?一次函数又有什么性质呢？

师：出示观察与比较，提示学生，相同点可从图象形状和倾斜度上分析．不同点可从三条直线的位置关系等方面．
生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．

师：动画演示．

学生讨论，得出结论．

学生抢答练习1．

师生交流练习1后，教师提出问题：一次函数是由正比例函数平移得到的，从图象上看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结论吗？

师生共同解决例2，教师板书详细的解题过程．

教师引导学生归纳得出：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

师生共同总结得出一次函数的性质．

学生口答，师生共同点评．

由学生的作图过程引发学生思考，然后在教师的问题引导下，从曲线与方程的角度来描述正比例函数 y＝3x与直线OA的关系；

画出示意图使学生更容易明确正比例函数y＝3x与直线OA上的点的一一对应关系．

从更高的层次上审视初中所学的一次函数，培养学生的理性思维以及思维的严密性．

通过例1，让学生进一步掌握利用列表描点，连线画函数的图象，并且根据图象来分析一次函数和正比例函数的关系，从而提高学生的读图能力，及文字语言转化为数学语言的能力．并与前面学过的知识结合，对学过的这两个函数有更新的认识．

教师扮演组织者的角色，鼓励学生大胆的猜测和探究，以培养学生的观察、归纳能力，让学生从中体验独立获取知识的愉悦感和成就感．

通过动画演示，可调动学生学习的兴趣和正确理解直线平移变换的过程．

由练习1的两个问题，从特殊到一般，师生一起总结得出结论．

改变教师直接给出结论的惯例，让学生通过练习，由特殊到一般，自己独立的去获取知识，培养学生的归纳、概括能力．

练习1帮助学生理解知识，形成技能．

培养学生的观察能力和归纳总结能力．

在学生具备函数增减性的知识以后，用单调性的概念重新审视初中所学的一次函数，让学生对函数的直观感知上升到理性分析的层次上，同时加深对函数单调性概念的理解．并且为
引出一次函数的性质作铺垫．

通过练习2，加深对函数性质的理解，理论与实践相辅相成．

小
结
1．一次函数 y＝k x＋b 与正比例函数 y＝k x 的关系．
2．一次函数 y＝k x＋b 的性质．
学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
教材 P 79，练习A组 第1，2题；
练习B组 第3题（选做）．

巩固拓展．

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