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初中数学教学中的思维方法

教学是一门艺术，也是一门科学。
　 数学教学就是：不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法去解决实际问题，从而提高学生的数学能力。因此教师在教学中要注重向学生进行思维方法的教学。
数学教学中的思维方法有哪些呢？
根据认知规律有：
一、直观、概括与抽象
所为直观，主要指具体事物的表象。再通俗一点，即眼睛直接能看到的整体。直观应用在教学上就叫直观教学，其作用是借助直观让学生理解和掌握数学知识。比如：在讲授柱体和锥体时，可在学生面前直接呈现柱体和锥体物件，柱体和锥体的特点就一目了然。在讲授平面图形与立体图形的关系时，可拿一个能展开的多面体盒子作教具进行演示，使学生在盒子的一开一合中掌握平面图形与立体图形的关系。在研究函数的图象和性质时，可利用几何画板等软件通过多媒体演示，让学生直接观察并发现图象的变化规律和变量间的对应变化规律。直观教学主要是靠形象思维，同时促进抽象思维。当然为了达到教学直观，方法还有很多，如：自制教具，模仿和创设情境等。根据中学生的心理特征和认知水平，数学内容适合采用直观教学的要尽量采用。
概括分感性的概括和理性的概括。感性的概括是以直观为基础的，如：在黑板上画出数轴并标出数，根据数轴上表示的数左边的总小于右边的，由直观的图象很快概括出：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。理性的概括是在感性的基础上对事物一般、本质的特征和联系进行比较与分析的过程。如：菱形的面积的计算方法除了“传统”的底乘高除2外，还有一种方法是菱形的两条对角线长的积的一半。因为菱形的对角线互相垂直，利用三角形的面积计算公式对两条对角线长不等的各种菱形面积的计算，通过比较就可概括得到后一种方法。
抽象，这里指数学抽象，是把大量生动的空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。例如：“大漠孤烟直”在语文里追求的意象美，而在数学里却被“抽”成了“美”线条，“大漠”和“孤烟”是互相垂直的两条直线。又如：在中世纪，印度著名数学家婆什迦罗在其著作中提出的关于勾股定理的“荷花问题”：（王建磐，《义务教育课程标准实验教科书——数学》，八年级下，华东师范大学出版社）
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平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒荷花平水齐。
湖面之上不复见，入秋渔翁乃发现。
残花离根二尺远，试问水深尺若干？
？
？

2
你看，这浓浓诗意。其中却蕴含着数学问题，此境一“抽象”便是这一幅模样：

这里所说的“抽象”，不是“某个问题很抽象，学生不易理解、弄懂。”之类的意思，而是一种认识方法，是从表象中发现实质，从皮和肉里发现骨头。
当然这些思维方法并不是孤立使用的，在数学教学中往往是一起应用它们。比如：对“平行线”的教学。第一给出具体实例让学生观察和想象：黑板相对的两条边；立在路边的两根电线杆：横格练习本中的两条横线；音乐五线谱中的五条线等。第二抽象出这些实例的共同属性：两条直线，在同一个平面内，两条直线间的距离处处相等，两条直线向两边无限延伸永不相交，第三抽象并概括出本质属性得到定义：在同一个平面内，不相交的直线叫做平行线。第四进一步抽象成为符号语言：用符号“∥”表示平行线或两条直线平行。
直观、概括与抽象，在教学中一起使用时，并不是并重的，而是有所侧重的。比如：利用几何画板等软件通过多媒体演示进行研究函数的图象和性质时，从教学形式上讲着重直观，从教学内容上讲着重抽象与概括。又如在图形的全等及其性质的教学中，我们可以提供甚至自己制作很多直观对象去观察，如果只停留在感性认识上是很不经济的，这节课重点是了解图形全等的定义和得出并能简单应用全等图形的性质，那么难点和关键在于抽象与概括。
这类思维方法主要研究的是感性与理性、特殊与一般、实际与理论的关系。这些方法的使用能够训练学生的形象与抽象思维、发散与收敛思维。
二、观察、比较与归纳
观察是人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官有目的、有计划地考察、描述各种事物的一种方法。通过观察，人们可以获得大量丰富的感性材料。心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，80%—90%是通过视觉和听觉得来的。因此，在数学教学中，老师要充分调动学生勤于观察，不断提高观察力，达到善于观察。当然纯粹的观察是很少的，她常常和其它思维结合起来。如：
1=12
1+3=2×2=22
1+3+5=3×3=32
1+3+5+7=4×4=42
1+3+5+7+9=5×5=52
1+3+5+7+9+11=6×6=62
观察上述算式的结构特征，可以猜想：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2，即从1开始的n个连续奇数之和等于n2。
有比较才能进行鉴别，“在比较中认识一切。”这些说明了比较在认识中是有很大作用的。比较是要确定所研究的对象的相同点和不同点的一种判断性的思维活动。比较有类比、对比之分。
对比重在“比”，在“比”中找到异同点。对比细分又有①正反对比。如加与减、乘与除、乘方与开方等。②同类对比。几种特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质之间的对比；关于条形统计图、扇形统计图、拆线统计图优点的对比；正比例函数与反比例函数的对比，等等。③同义对比。同义对比是指对象虽然不同，但两者之一是另一个的扩张。如代数是算术的扩张，讲代数就应多多与算术对比。④一般与特殊的对比。⑤局部与整体的对比。⑥错误与正确的对比。如在辨别有理数时可写出错误例子，使正确与错误对比，加深印象，加强理解。
类比即类比推理，又称类比法，它是根据两个或两类对象有部分属性相同 ，从而推出它们的其他属性也相同的推理。通俗一点讲，就是以已有的相同或相似为基础，推出更多的相同或相似。类比有从特殊到特殊的推理，如，研究三角形的性质是从线与角两方面进行的，类比对三角形的研究，四边形也可以从线与角两方面进行研究。类比也有从特殊到一般的推理，如在教学一次函数时，发现一次函数的图象和正比例函数的图象相同，都是一条直线，于是用类比法可以猜测一次函数图象的位置特点及两个变量间的对应变化规律。再如：代数中的分式与算术中的分数具有很多的相似，如定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面。由算术中分数的基本性质“分数的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个数，分数的值不变。”用类比法可以猜想得到分式的基本性质分式的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个代数式，分式的值不变。
归纳,是一种推理方法，又叫归纳法。根据归纳对象是否完备，可分为完全归纳法和不完全归纳法。归纳是一种由特殊到一般的推理方法。
完全归纳法是根据某类事物中每一个对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。如：对于整数指数幂的运算性质，分别在第十五章《整式》中讨论正整数指数幂的运算性质和第十六章《分式》中讨论零、负整数指数幂的运算性质后自然的得出来的。这里就采用的完全归纳法。又如：圆周角定理的证明，分别证明了圆心在角的边上、在角的内部、在角的外部三种情况后，用完全归纳法得到圆周角定理。
不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。由于列举的是对象中的一小部分，所以经推理得到的结论不一定可靠。尽管如此，她仍是强有力的“发现”的方法，也就是说，她是发现新真理的有效方法。教材中很多公式、法则、定理就是用不完全归纳法得到的。如负数的偶次方是正数、解分式方程的步骤、一次函数的图象特点及其性质、多边形的内角和公式、角的平分线的性质定理和判定定理等等。
观察、比较、与归纳往往是综合在一起使用的。如我们在认识一次函数的图象和性质时，可先观察画出的图象或多媒体演示，分K>0和K<0作对比，与正比例函数的图象和性质作类比，最后归纳出一次函数的图象特点及其性质。又如在进行《12.1.1 条形图与扇形图》的教学时，可先利用材料提供的数据分别画出条形图和扇形图，然后通过观察进行比较，指出各自的优点和缺点，最后归纳出各自的特点。
观察、比较、与归纳都可得出猜想，因此，她们是获得直觉思维的有力工具，也是培养学生发现能力很好的方法。
根据数学内容的教与学有：
一、重视数形结合的研究方法
数学来源于生活实际，反过来她又是我们认识世界变化的有力工具。但很多人都认为数学是枯燥的，仿佛是前人吃过的，就无味了。其实那是我们学习数学研究数学的方法太单一，方式太单调了。数形结合是学习数学的有效方法。恩格斯说：“笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学。”数形结合的方法是把较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来的一种方法。她使抽象的概念、关系得以直观化、形象化，有利于分析、发现和理解它们。比如，乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2可用下图阐明其中关系：
a+b
a+b
a
a
a2
b2
a×b
a×b
b2
(a-b)2

数形结合的方法在初中数学中还有很多的应用，如实数的绝对值、数据的描述、用坐标表示地理位置和平移、用数轴表示不等式（组）的解集、在数学问题中使用的数形结合的分析手段等等。最典型的是用数形结合的方法去研究函数，这里以一个一次函数应用的例子来说明数形结合的方法：
例：A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元。现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？（林群，《义务教育课程标准实验教科书——数学》，八年级上，人民教育出版社）
由A——C，A——D，B——C，B——D运肥料共涉及4个数量。一方面，它们是影响总运费的变量；另一方面，它们互相联系，其中一个量确定后另外三个量随之确定，设A城运往C乡的肥料量为x吨，则题意如下图：
A城
200吨
B城
300吨
C乡需
240吨
D乡需
260吨
x吨

（200-x）吨
（240-x）吨
[260-（200-x）]吨
或[300-（240-x）吨
即（60+x）吨
20元/吨
25元/吨
15元/吨
24元/吨

设总运费为y元，由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间关系的函数为：
y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x).
化简得： y=4x+10040 (0≤x≤200).
这时，从“数”的方面看，因为k=4>0,由一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”可得：当x=0时，y最小值=10040
画出函数图象如右图，从“形”的方面看，当x=0时，y最小值=10040
于是可回答出调运方案：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C线240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元。
x
0
y
10040
10840
200

可见，对于一些复杂、抽象的问题采用数形结合的方法进行研究是是很有效的。
二、灵活运用分类思想进行教学
物以类聚。我们为了认识一个事物往往从几个方面要对它进行细分，实质就是分类。“分类”讨论的是整体与部分的关系，它在教学上表现为化整为零或归零为整。如在认识有理数时，先分别认识正整数、零、负整数到整数，正分数、负分数到分数，最后归整数、分数为有理数。又如在化简︱x-2︱=2时就要分x-2>0或x-2<0两种情况进行。“分类”在数学中应用的例子还有很多，如不等式的基本性质的表述；把对特殊四边形的研究分成平行四边形和梯形两类依次进行；代数式的运算分整式和分式两类；对函数的研究分图象和性质两个方面；与圆的位置关系分点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系三类；等等。运用好分类思想有利于理清教学思路，有利于学习数学内容，更有利于我们解答问题。
灵活运用分类思想，可以培养学生的发散思维和集中思维，也可促进立体思维。
三、适时引入转化思想
事物在矛盾中发展，在矛盾中永生。矛盾的实质是转化。所以，我们在数学中遇到“矛盾”马上就应想到“转化”。转化主要指化难为易、化繁为简、化未知为已知，总之“化险为夷”。
在代数中，如，在学习解二元一次方程组时，可启发学生转化为一元一次方程来解，从而想到“消元”，以至想到“三元”转化为“二元”、“多元”转化为“少元”；解分式方程转化为整式方程后再解；无理方程转化为有理方程后再解。
在几何中，如，在研究平行四边形时，通过连接对角线，把平行四边形分割成两个全等三角形，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质；对于梯形的问题，则是常常通过“平移”梯形的一个腰或一条对角线，把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题。
四、注重数学语言的教与学
㈠、注意培养学生的“符号感”（吕世虎、石永生《初中数学新课程教学法》，首都师范大学出版社，2004年5月第一版）
培养学生的“符号感”，主要的是引进字母表示，这是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的基础。字母作为数学符号有两种作用。一是字母可作为专用名词，如Z、N、Q等。二是字母可作为不确定的名词，来表示具体情境中的数量关系，就像普通的语言一样。
从研究特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃。培养学生的“符号感”主要从以下几个方面进行：
⒈用字母表示运算法则、运算律和计算公式。
⒉用字母表示现实世界中的各种数量关系。如，桔子每千克a元，则b千克桔子的价格是ab 元。
⒊从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用字母确切地表示出来。例如，用字母表示实际问题中的未知量，根据问题中的相等关系列出方程；用字母（如x，y）表示某一变化过程中相关联的两个变量，根据给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。
⒋理解符号所代表的数量关系和变化规律。如，代数式可以表示什么？学生可以解释为：当表示一件衣服的价钱，可以7件衣服的价钱；当表示正七边形的边长时，就表示正七边形的周长；也可表示一只羊的体重的7倍，等等。又如，和分别表示长方形的长和宽，表示长方形的面积，那么，=ab表示计算长方形面积的公式，也可认为是长方形面积随长和宽的变化而变化的关系。
㈡、注重数学专业术语的教与学
教师在进行教学时，注意使用专业术语，注意对专业术语的阐释，甚至要花一定的功夫让学生识记它，理解它。学生在学习上感到困难以至掉队，一部分原因是记不住专业术语、不理解专业术语造成的。要让学生记住并理解专业术语，老师可采用让学生读背、辨真假、举一反三等方式方法。
数学课堂上，是教师与学生用数学语言进行交流的过程。如果说学生对数学符号的意义搞不清，对专业术语记不住、不理解，那么师生间的交流就困难，这样势必会影响到教师的教学情感和教学进度，也同样会影响到学生的学习情感和学习效率。因此，教师应注意数学语言的教与学。

“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”（李淑文，《中学数学教学概论》 中央广播电视大学出版社 2002年12月第一版）学生只有学到数学思想方法，才能进行数学思考，才能亲历数学知识的“发现”过程，才能学到更多有用的数学知识，才能在生活中应用数学。学到数学思想方法，绝非一日之功，教师在教学过程中用到的思维方法，也就是学生要学的思想方法，教师除了在教学过程中潜移默化外，有的甚至可以经常挂在嘴边，明明告知学生。
让数学思想方法不断发扬光大吧！