1、高三理科数学加试题高考冲刺九
1、（矩阵与变换）已知a，b，矩阵所对应的变换TA将直线变换为自身．
（1）求实数a，b的值； （2）计算．
B．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．
解：（1）设变换T：，则，（2分）
因为点在已知直线上，所以，
故，整理得，（4分）
所以解得．（6分）
（2）由（1）得矩阵，
所以，
故．（10分）
3.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，
极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程
2、为
（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
3.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，为半径的圆，…………………………3′
直线方程的普通方程为，…………………………6′
圆C的圆心到直线l的距离，
故直线被曲线截得的线段长度为．…………………………10′
4.解法一：=…………………………5′
…………………………9′
（当且仅当时取等号）…………………………10′
解法二：∵， ∴…………………………3′
∵ ∴…………………………6′
3、 ∴
∴…………………………9′
∴的最大值为2. …………………………10′
注：评讲是复习一下直线参数方程的几何意义
7、 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，,
.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若动点在底面三角形上，二面角的余弦值为，
求的最小值.
5.解：取AC中点O,因为AB=BC，所以,
∵平面⊥平面
平面平面=AC,
∴平面PAC
∴…………………………1′
以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为
x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AB=BC=PA=,所以O
4、B=OC=OP=1
从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),
C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′
∴
设平面PBC的法向量，
由得方程组
，取…………………………3′
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′
（2）由题意平面PAC的法向量，…………………………5′
设平面PAM的法向量为
∵又因为
∴ 取，…………………………7′
∴
∴
∴ 或 （舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′
23．（本小题满分10分）
已知数列中，，．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．
23．本题主要考查数学归纳法的原理及简单应用．
解：（1）因为，所以……………… 2分
故………………………………… 4分
（2）当时，，又，
所以，即………………………………… 6分
假设当时，
则当时，………………… 8分
…………………………………10分
即时结论成立
综上所述，当时，．
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