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高中数学复习笔记一、 函数图象1、对称：y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，例如：与 （ ）关于y轴对称y=f（x）与y= f（x）关于x轴对称，例如：与 关于x轴对称y=f（x）与y= f（-x）关于原点对称，例如：与 关于原点对称y=f（x）与y=f （x）关于y=x对称，例如：y=10 与y=lgx关于y=x对称y=f（x）与y= f （x）关于y= x对称，如：y=10 与y= lg（x）关于y= x对称注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：图象本身就会关于y轴对称， 的图象本身就会关于原点对称。y=f（x）与y=f（ax）关于x= 对称（ ）注：求y=f（x）关于直线 x y c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x y+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=02、平移：y=f（x） y= f（ x+ ）先向左（ 0）或向右（ 0）或向左（ 0）或向右（ 时，则f（x）在a，+）上单调递增fmin=f（a）=a2+1（2）当xa时，f（x）=x2x+a+1=（x ）2+a+ 若a 时，则f（x）在（， 单调递减，fmin=f（a）=a2+1当a 时，则f（x）在（， 上最小值为f（ ）= +a综上所述，当a 时，f（x）的最小值为 a当 a 时，f（x）的最小值为a2+1当a 时，f（x）的最小值为 +a2、 利用均值不等式典例：已知x、y为正数，且x =1，求x 的最大值分析：x = = （即设法构造定值x =1）= = 故最大值为 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos ， =sin 求解，（解略）3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。4、 利用函数的单调性典例：求t 的最小值（分析：利用函数y= 在（1，+ ）的单调性求解，解略）5、 三角换元法（略）6、 数形结合例：已知x、y满足x ，求 的最值5、抽象函数的周期问题已知函数y=f（x）满足f（x+1）= f（x），求证：f（x）为周期函数证明：由已知得f（x）= f（x 1），所以f（x+1）= f（x）= （f（x 1）= f（x 1）即f（t）=f（t 2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解二、圆锥曲线1、 离心率圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0e1）。2、 焦半径椭圆：PF =a+ex 、PF =a-ex （左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F 为椭圆左焦点、F 为椭圆右焦点）注：椭圆焦点到其相应准线的距离为 双曲线：PF = |ex +a|、PF =| ex -a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F 为双曲线左焦点、F 为双曲线右焦点）注：双曲线焦点到其相应准线的距离为 抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）圆锥曲线中的面积公式：（F 、F 为焦点）设P为椭圆上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b 注：|PF | |PF |cos =b 为定值设P为双曲线上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b 注：|PF | |PF |sin =b 为定值附：三角形面积公式：S= 底 高= absinC= = r（a+b+c）=（R为外接圆半径，r为内切圆半径）= （这就是著名的海伦公式）三、数列求和裂项法：若 是等差数列，公差为d（ ）则求 时可用裂项法求解，即 = （ ）= 求导法： （典例见高三练习册p86例9）倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4构造新数列 即可四、向量与直线向量（a，b），（c，d）垂直的充要条件是ac+bd=0向量（a，b），（c，d）平行的充要条件是adbc=0附：直线A x+B y+C =0与直线A x+B y+C =0垂直的充要条件是A A + B B =0直线A x+B y+C =0与直线A x+B y+C =0平行的充要条件是A B -A B =0向量的夹角公式：cos = 注1：直线的“到角”公式： 到 的角为tan = ；“夹角”公式为tan =| |（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为 之间的角）注2：异面直线所成角的范围：（0， 注3：直线倾斜角范围0， ）注4：直线和平面所成的角0， 注5：二面角范围：0， 注6：锐角：（0， ）注7：0到 的角表示（0， 注8：第一象限角（2k ，2k + ）附：三角和差化积及积化和差公式简记S + S = S CS + S = C SC + C = C CC C = S S五、集合1、集合元素个数的计算card（A ）=card（A）+ card（B）+ card（C）card（A ）card（ ）card（C A）+card（A B C）（结合图形进行判断可更为迅速）2、从集合角度来理解充要条件：若A B，则称A为B的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B为A的必要不充分条件，若A=B，则称A为B的充要条件 经纬度六、二项展开式系数：C +C +C +C =2 （其中C + C + C +=2 ；C +C + C +=2 ）例：求（2+3x） 展开式中1、所有项的系数和2、奇数项系数的和3、偶数项系数的和方法：只要令x为1或1即可七、离散型随机变量的期望与方差E（a +b）=aE +b；E（b）=bD（a +b）=a D ；D（b）=0D =E （E ） 特殊分布的期望与方差（0、1） 分布：期望：E =p；方差D =pq二项分布： 期望E =np；方差D =npq注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。八、圆系、直线系方程经过某个定点（ ）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k为参数）一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b为参数）经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：f（x、y）+ g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或 f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表f（x、y）=0）附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为 bxa，则b a b