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高中数学必修——第一章集合与函数 测试题
一、选择题（每小题4分，共32分）
U
1、图中阴影部分表示的集合是 ( )

B
A
A. B.
C. D.

2、下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是 （ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
3、已知集合A={≤2，}，B={x≥a}，且，则实数a的取值范围是　 ）
（A）a≥－２ （B）a≤－２ （C）a≥２ （D）a≤２
4、设全集，若，，
，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5、设P=，则P、Q的关系是 （ ）
（A）PÍQ （B）PÊQ （C）P=Q （D）PÇQ=
6、下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）
（A）f (x)＝, g(x)＝x （B） f (x)＝x, g(x)＝
（C）f (x)＝, g(x)＝ （D）f (x)＝|x＋1|, g(x)＝
7、函数的图象是图中的 （ ）

8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h与时间t的函数关系式是，则炮弹在发射几秒后最高呢？ （ ）
A. 1.3秒 B. 1.4秒 C. 1.5秒 D 1.6秒
二、填空题（每小题4分,共16分）
9、已知集合，则集合A的非空真子集的个数是
10、已知集合M={0，1，2}，N={}，则集合= ，= 。
11、A={－２＜x＜5}，B={x≤3或x≥8}，则（）（）＝
12、设f(x)＝，则f[f()]＝
三、解答题（每大题13分，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
13、已知集合，.
（1）当m=3时，求集合，； （2）若，求实数m的取值范围。

14、设集合,
（1）若，求a的值组成的集合C。 （2）若，求a的值。

15、求下列函数的值域：
⑴ ； ⑵ ；
⑶,x{0,1,2,3,4}； ⑷ （x[0,3]）

16、某市场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下表所示的关系。
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
（1）根据表中提供的数据，确定y与x的一个函数关系式y=f（x）；
（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

参考答案：
1—4：ADBB 5—8：DDCC
9.6 10. 11. 12.
13.① ②
14. ① ②
15.① ②
③ ④
16. ①
② 当x=40时，y有最大值300

高中数学必修一第二章基本初等函数 测试题
一、选择题：
1．已知p>q>1,02 时恒有>1，则a的取值范围是 （ A ）
A． B．0 C． D．
4．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( B )
A．10% B．16．4% C．16．8% D．20%
5． 设g(x)为R上不恒等于0的奇函数，(a＞0且a≠1)为偶函数，则常数b的值为 （ C ）
A．2 B．1 C． D．与a有关的值
6．当时，函数和的图象只可能是 （ A ）

7、设，则 （ C ）
A、 B、 C、 D、
8．设f(x)=ax，g(x)=x，h(x)=logax，a满足loga(1－a2)＞0，那么当x＞1时必有 ( B ）
A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．h(x)＜f(x)＜g(x) C．f(x)＜g(x)＜h(x) D．f(x)＜h(x)＜g(x)

9、某商品价格前两年每年递增，后两年每年递减，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ A ）
A、减少 B、增加 C、减少 D、不增不减
10． 对于幂函数，若，则，大小关系是（ A ）
A． B．
C． D． 无法确定
二、填空题
11．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 (0,1) .
12．我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M .
16．函数y= 的单调递增区间是.
17．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 0
三、解答题：
18、判断函数的奇偶性单调性。
奇函数，函数是减函数。
解：∵，
∴
即，∴函数是奇函数。
设，设，
则
且

∵，∴
∴，即，∴函数在定义域内是减函数。

19．已知函数(a、b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有ymax=3，
ymin=，试求a和b的值.
解：令u=x2+2x=(x+1)2－1 x∈[－，0] ∴当x=－1时，umin=－1 当x=0时，umax=0

20．已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1)
（1）若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围及f(x)的值域；
（2）若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围及f(x)的定义域.
解：（1）因为f(x)的定义域为R，所以ax2+2x+1>0对一切xR成立．
由此得解得a>1. 又因为ax2+2x+1=a(x+)+1－>0，
所以f(x)=lg(a x2+2x+1) lg(1－)，所以实数a的取值范围是(1,+ ) ,
f(x)的值域是
( 2 ) 因为f(x)的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域(0, +).
当a=0时，u=2x+1的值域为R(0 +)；
当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域(0, +)等价于
解之得00得x>－,
f (x)的定义域是(－,+)； 当00
解得
f (x)的定义域是

21．（14分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

解：设日销售金额为y（元），则y=pQ．

当，t=10时，(元)；
当，t=25时，（元）．
由1125>900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大.
22．如图，A，B，C为函数的图象

上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1).
(1)设ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.

解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.

（2）因为v=在上是增函数,且v5,
上是减函数，且1x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
2．函数的模型及其应用
（1）几类不同增长的函数模型
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2) 函数模型及其应用
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
二、考点阐述
考点1函数的零点与方程根的联系(A )
1、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A．函数在或内有零点 B．函数在内无零点
C．函数在内有零点 D．函数在内不一定有零点
解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在
2、．如果二次函数有两个不同的零点则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：D 或
3、 求零点的个数为 （ ）
A． B． C． D．
解析：C
，显然有两个实数根，共三个；
4、函数的零点个数为 。
解析： 分别作出的图象；
考点2 用二分法求方程的近似解( C关注探究过程)
5．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
解析： 令
6．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
解析：B 。
考点3 函数的模型及其应用( D关注实践应用)
7、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
 解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得
95+0.2x－0.6(x－5)=90，
解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷
三、解题方法分析
1．函数零点的求法
【方法点拨】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的
点， 对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起
壹点， 来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根。
例1求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
【解析】：对求简单的三次函数的零点：一般原则是进行分解因式，再转化为求方程的根将零点求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函数的零点为－1、1、2．
【点评】：本题主要考查考生对函数零点概念的理解，函数零点与方程的关系．
2．二分法求方程近似解
【方法点拨】对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，
通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值．
例2借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间（1，2）内的近似解
（精确到0.1）。
【解析】：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数、的对应值表（如下表）和图象（如下图）。

-2
-1
0
1
2

2.5820
3.0530
2.7918
1.0794
-4.6974

　　观察图或上表可知，说明这个函数在区间（1，2）内有零点。
　　取区间（1，2）的中点，用计算器可得。因为，所以。
　　再取1，1.5）的中点，用计算器可算得。因为，所以。
　　同理，可得，。
　　由于|1.3125-1.25|＝0.0625＜0.1，此时区间的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原方程精确到0.1的近似值为1.3。
【点评】：一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）＝0来说，我们用二分法求出
方程的近似解．
3．利用给定函数模型解决实际问题
【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处
理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来
确定之后，才能使问题本身获解．
例3有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
【解析】： 设投入甲产品资金为x万元（，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．则= 当时， 答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元。
【点评】：本题是给定函数求二次函数最值的应用问题，解答这类的问题关键是通过配方
求二次函数的最值。
4．建立确定的函数模型解决实际问题
【方法点拨】通过观察图表，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机对数据进
行处理，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题。
例4 2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地
震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震级（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量
(1)画出震级（）随地震强度（）变化的散点图；
（2）根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级（）随地震强度（）变化关系：，
（3）四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）
【解析】：（1）散点图如下图：

（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：

当时， （J）
【点评】：函数模型的选择一方面要分析题中的实际意义，另一方面，要考虑函数的本身特点。
四、课堂练习
1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A B C D 不能确定
4．函数在区间（1，2）内的函数值为（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式为________．
9．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
10．老师今年用7200元买一台笔记本。电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一。三年后老师这台笔记本还值
11．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：

－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2

－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
12．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
13．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点。
14．有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？
15．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
参考答案
1-6 C B B D C A 6提示：作出图象，发现当时，函数与函数有个交点。7.2 8. y=av2+（v＞0） 9. 10.
11.解：因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，
，，所以函数在区间（－2，－1.5），
（－0.5，0）以及（0，0.5）内有零点。
12.解：设成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：y1=100+（a+100）×2．4%
若月末售出，可获利y2=120－5=115（元），y1－y2=0．024a－12．6=0．024（a－525）
故当成本大于525元时，月初售出好；成本小于525元时，月末售出好．
13. 证明：函数的定义域为R，函数f(x)的图像在区间(2,3)上是连续的。
，，f(2)f(3)<0,函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点。
14.解：（1）设增长率为x，由题意得28400=7100（1+x）20,∴（1+x）20=4，
20lg（1+x）=2lg2，lg（1+x）≈0．03010，∴1+x≈1．072，∴x≈0．072=7．2%
（2）设y年可以翻两番，则28400=7100（1+0．08）y，即1．08y=4，∴y=，故18年后可翻两番。
15.解：根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式设为常数，且，，根据已知，得或 ，
显然更接近于1.37，故选用作为模拟函数较好

新思路教育 2011.1