小学数学应用题类型大全.doc

小学数学应用题类型大全 
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题可分为一般应用题与典型应用题。没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题：
1、归一问题  2、归总问题  3、和差问题   4、和倍问题    5、差倍问题
6、倍比问题  7、相遇问题  8、追及问题   9、植树问题    10、年龄问题11、行船问题   12、列车问题  13、时钟问题  14、盈亏问题     15、工程问题16、正反比例问题 17、按比例分配  18、百分数问题  19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题 21、方阵问题    22、商品利润问题 23、存款利率问题24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 26、幻方问题   27、抽屉原则问题
28、公约公倍问题    29、最值问题     30、列方程问题

1、归一问题
【含义】   在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】   总量÷份数＝1份数量   1份数量×所占份数＝所求几份的数量
               另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】  先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1  买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
          解（1）买1支铅笔多少钱？      0.6÷5＝0.12（元）
             （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
              列成综合算式  0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）   答：需要1.92元。
例2  3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
            （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
     列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）   答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
例3  5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
         （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？  5×7＝35（吨）
         （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）
          列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）    答：需要运3次。

2 、归总问题
【含义】    解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量     总量÷1份数量＝份数    总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1   服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
         解 （1）这批布总共有多少米？   3.2×791＝2531.2（米）
             （2）现在可以做多少套？     2531.2÷2.8＝904（套）
              列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）    答：现在可以做904套。
例2   小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
         解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）
             （2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）
               列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
         答：小明8天可以读完《红岩》。
例3   食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
         解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）
             （2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
              列成综合算式   50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
         答：这批蔬菜可以吃25天。

 3 、和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】   大数＝（和＋差）÷ 2       小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1   甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
           解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
               乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
           答：甲班有52人，乙班有46人。
例2   长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
           解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
               长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）
           答：长方形的面积为80平方厘米。
例3   有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
           解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知   甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
                  丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
                  乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
           答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4   甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
 解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此     甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
                 乙车筐数＝97－64＝33（筐）
           答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

 4、 和倍问题
【含义】   已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数  总和 －较小的数＝较大的数
             较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1   果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
           解 （1杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
               （2）桃树有多少棵？  62×3＝186（棵）
           答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2   东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
           解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
               （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
           答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3   甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
        解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为
   （52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
             所求天数为    （52－28）÷（28－24）＝6（天）
           答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4   甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
           解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
               因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
               又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
               这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
                   甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
                   乙数＝28×2－4＝52
                   丙数＝28×3＋6＝90           答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

 5、差倍问题 
【含义】   已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数 各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】  两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数  
              较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1   果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
           解 （1）杏树有多少棵？   124÷（3－1）＝62（棵）
               （2）桃树有多少棵？   62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2   爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
           解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
               （2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）    答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3   商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
           解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此    
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）                 答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4   粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
           解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此
               剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨
               运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
               运粮的天数＝72÷9＝8（天）   答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

 6、倍比问题
【含义】   有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数   另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1   100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？            40×37＝1480（千克）
列成综合算式   40×（3700÷100）＝1480（千克）     答：可以榨油1480千克。
例2   今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？             400×160＝64000（棵）
列成综合算式   400×（48000÷300）＝64000（棵）        答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3   凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？
解 （1）800亩是4亩的几倍？   800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？     11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？   2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

 7、相遇问题

【含义】   两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】   相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
               总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1   南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
解   392÷（28＋21）＝8（小时）              答：经过8小时两船相遇。
例2   
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解  “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2
      相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）      答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3   甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）           答：两地距离是84千米。

 8、追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】  追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
              追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1   好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？  900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式  75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）    答：好马20天能追上劣马。
例2   小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是
  （500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）      答：小亮的速度是每秒3米。
例3   我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）
                                       答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4   一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为               16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为         （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式  （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
例5  兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为     90×12－180＝900（米）           答：家离学校有900米远。
例6   孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以
步行1千米所用时间为   1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为   15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时       1÷11／60＝1×60／11＝5.5（千米）
                                  答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。