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小学数学思想方法的梳理（四）

课程教材研究所 王永春

四、推理思想
1. 推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

(1) 演绎推理。
三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被２整除，(２³＋１)是奇数，所以(２³＋１)不能被２整除。
选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。
假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；这个数的末位是０，所以这个数能被５整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。
关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)传递性关系推理，a>b，b>c，所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。
(2) 合情推理。
归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象，但是根据自然数的性质，相当于考察了所有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理。
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。
2. 推理思想的重要意义。
我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力。传统的数学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的课程标准又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。近年来课程改革的实践证明，二者不可偏废。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。据了解，课程标准修改稿在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。……在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。
数学在当今市场经济和信息化社会有比较广泛的应用，人们在利用数学解决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。
3. 推理思想的具体应用。
推理思想作为数学的一个重要的思想方法，无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法，在小学数学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规范的演绎推理，但是在很多结论的推导过程中间接地应用了演绎推理。如推导出平行四边形的面积公式之后，三角形的面积公式的推导过程是先把两个同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。这个过程实际上应用了演绎推理，如下平行四边形的面积等于底乘高，两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2。
小学数学中推理思想的应用如下表。
思想方法
知识点
应用举例
不完全归纳法
找规律
找数列和图形的规律
整数计算
四则计算法则的总结
运算定律
加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
除法
商不变的规律
分数
分数的基本性质
面积
长方形面积公式的推导
体积
长方体体积公式的推导
圆柱体积公式的推导
圆锥体积公式的推导
完全归纳法
三角形
三角形内角和的推导
类比推理
整数读写法
亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比
整数的运算
四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比
小数的运算
整数的运算法则、顺序和定律推广到小数
分数的运算
整数的运算顺序和运算定律推广到分数
除法、分数和比
除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比
面积
与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式。
长度、面积、体积
线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量
问题解决
数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比
鸡兔同笼
不同素材的鸡兔同笼问题的类比
抽屉原理
不同素材的抽屉原理问题的类比
三段论
多边形
多边形内角和的推导
面积
正方形面积公式的推导
平行四边形面积公式的推导
三角形面积公式的推导
梯形面积公式的推导
圆面积公式的推导
体积
正方体体积公式的推导
选言推理

类似于人教版二年级上册数学广角中的“猜一猜”
假言推理

根据概念、性质等进行判断的一些问题
关系推理

大小比较、恒等变形、等量代换等等
4．推理思想的教学。
就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。……教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。
根据以上课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。
第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。
第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。
第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。
第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。综合现行课程标准及其修改稿关于 “数学思考”分阶段的目标要求，推理能力在小学阶段的要求可参考下表。
学　段
推理能力教学目标
第一学段
初步学会选择有用信息进行简单的归纳和类比
第二学段
在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果
下面再结合案例谈谈几种在小学数学中应用较多的推理思想的教学。
（1）类比思想。无论是学习新知识，还是利用已有知识解决新问题，如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比，进而找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的正迁移。因此，要引导学生在学习数学的过程中善于利用类比思想，提高解决问题的能力。有些类比比较直接，如由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，问题解决中数量关系相近的问题的类比等。而有些类比比较隐蔽，需要在分析的基础上才能实现。如抽屉原理，变式练习有很多，难度较大，解决此类问题的关键就是通过类比找到抽屉。应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。另外，中学数学与小学数学可以类比的知识有很多，如果打好小学数学的知识基础和掌握类比思想，对于初中数学的学习会有较大益处。如在代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。
案例：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？
１＝１²
１＋３＝４＝２²
１＋３＋５＝９＝３²
１＋３＋５＋７＝
……
１＋３＋５＋７＋…＋99＝
分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，１是一个奇数，等于１的平方；（１＋３）是前２个奇数相加，等于２的平方；（１＋３＋５）是前３个奇数相加，等于３的平方；（１＋３＋５＋７）是前４个奇数相加，通过与前面算式进行类比，猜想应该等于４的平方；（１＋３＋５＋７）＝１６，４²＝１６，猜想正确。那么最后的算式是前５０个奇数相加，等于５０的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。
（2）归纳思想。不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则、公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几个有限的例子，得出加法交换律。数学课程标准特别强调培养学生探索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。
案例：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？
14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121
分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现，每个数都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是11的倍数。再举例验证：57+75=132＝11×12，69+96=165=11×15，初步验证猜想是正确的。那么如何进行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是1～9的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证明了结论的正确。
(3)三段论。在人们的传统观念中，小学几何是实验几何，很难在演绎推理证明方面有所渗透。同时，在初中阶段，培养学生的演绎推理能力是重要的教学目标之一；然而对于部分初中学生而言，这部分知识又是学习中的难点。那么，在小学高年级，能否进行演绎推理思想的渗透，从而使刚升入初中的学生有演绎推理的初步经验呢？下面的案例也许能说明问题。
案例：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明∠2=∠4吗？

分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：
因为∠1和∠2、∠1和∠4分别组成平角，
所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根据加减法各部分间的关系，可得
∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根据等量代换，
可得∠2=∠4。
再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。

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