1、7.8 7.8 有理数域上不可约多项式有理数域上不可约多项式第七章第七章 多项式环多项式环1/15 本节讨论有理数域上多项式可约性，以及怎样求Q上多项式有理根，因为与 在 上可约性相同。所以讨论在Q上可约性可转化为求整系数多项式在Q上可约性。一、整系数多项式可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式系数互素，则称是一个本原多项式。比如：本原多项式加、减运算所得未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。是本原多项式。2/15引理（高斯定理）：两个本原多项式乘积仍是本原多项式。证：设都是本原多项式若 不是本原多项式，则存在素数p，使因为都是本原多项式，故系数不能都被p整除，系数 也不能被p整除，
2、3/15可设但 但 现考虑除了这一项外，p能整除其余各项，所以这是一个矛盾，故 是本原多项式。定理 1：一个整系数n（n0）次多项式在有理数域上可约充要条件是它在整数环上可约。4/15证：充分性显然。下证必要性。设可分解成中两个次数都小于n多项式与 乘积，即有设 系数公分母为m，则一个整系数多项式，把是系数公因式n提出来，是本原多项式，即 同理，存在有理数S，使也是本原多项式，5/15于是下证是一个整数，设（p,q互素且p0），因为是整系数多项式，故p能整除q与每一系数乘积，而p,q互素，故p能整除每一系数，但由引理1知，是本原多项式，故p=1，从而rs是一个整数。6/15 C上不可约多项式只
3、能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根二次多项式，Q上不可约多项式特征是什么？下面Eisenstein判别法回答了这个问题。问题定理 2（Eisenstein判别法）：设是整系数多项式，若存在素数p，使 则 在Q上不可约。7/15证（反证法）：若在Q上可约在Z上可约，即存在：使 其中故 或 但二者不能同时成立。8/15不妨设但 。因为 ，由 知 系数不能都被p即但 现考虑但p能整除其它项，故与已知矛盾。假设是第一个不能被p整除系数，整除，在 中不可约在 中不可约。9/15 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。例1 是Q上不可约多项式，p是素数。例2 判断在
4、Q上是否可约？解：分别取p=2,p=3即知。解：取素数p即知。10/15Eisenstein是判别多项式在Q上不可约充分条件，但不是必要条件。注意：例：不可约，但找不到素数p。系数多项式。尤其地，若是本原，则也是本原。推论：设若 都是整系数多项式，且是本原，则必是整全部系数。）（若不是11/15二、整系数多项式有理根定理 3：设是一个整系数多项式，若有理数是整系数多项式一个根，这里u，v是互素整数，则证：（1）是 根，有一次因式12/15即 因为是本原多项式是整系数多项式，故是整系数多项式。（2）设是整数。比较两边n次项与常数项系数得：13/15 由定理 3，要求整系数多项式有理根，只要求出最高次项系数因数以及常数项因数。然后对形如有理数用综合除法来检验，假如最高次系数为1，则整系数多项式f有理根只能是整根。这么例 3 求有理根。解：2因数是因数是故 可能有理根只能是对 用综合除法逐一检验知：有理根只能是 。14/15定理 4：设是互素整数，且是整系数多项式根，则证：由把 代入得：15/15
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