用灰色模型进行数学建模专题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

数学建模中灰色方法第1页 在数学建模过程中，经常碰到一些诸如：人口模型、全国物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这么模型很困难。现有系统分析方法量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少原因、线性情形。对于多原因、非线性则难以处理。针对这些不足，邓聚龙教授创建了一个就数找数方法，即灰色系统生成法。创建灰色系统学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创建灰预测理论及方法体系。第2页一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约任意种类元素组成含有某种特定功效整体。系统内部存在有物质流、信息流、能量流。系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）第3页（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定解是非唯一；（解非唯一性原理）2.信息是认识依据；（认识依据原理）3.灰色系统理论特点是充分开发利用已占有“最小信息”；（最小信息原理）4.新信息对认识作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统基本单元。第4页1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大约范围而不知其确切值数（只知道部分数学特征，而不知道详细数值参数）。比如：“某人身高约为170cm、体重大致为60kg”，这里“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数，分别记为 、。又如，“那女孩身高在157160cm之间”，则关于身高灰数 。记为灰数白化默认数，简称白化数白化数。在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内改变全部白色数全体。如代购一件价格为100元左右衣服，100可作为预购衣服价格白化值。灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数（属于某一区间）。第5页2.灰色代数方程含有灰色系数代数方程如：灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分方程，如 3.灰色矩阵行列数确知而含有灰元矩阵 若在Am*n个元素中，有N个灰色元素，则能够用d表示这一矩阵灰色度第6页二、灰色生成数列 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功效，所以必定蕴含某种内在规律。关键在于怎样选择适当方式去挖掘和利用它。灰色系统是经过对原始数据整理来寻求其改变规律，这是一个就数据寻求数据现实规律路径，即为灰色序列生成。一切灰色序列都能经过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成惯用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。第7页（1）累加生成 把数列各项（时刻）数据依次累加过程称为累加生成过程（AGO）。由累加生成过程所得数列称为累加生成数列。设原始数列为 ，令称所得到新数列为数列 1次累加生成数列。类似地有称为 r次累加生成数列。第8页（2）累减生成 对于原始数据列依次做前后相邻两个数据相减运算过程称为累减生成过程IAGO。假如原始数据列为令 称所得到数列 为 1次累减生成数列。注：从这里记号也能够看到，从原始数列 ，得到新数列 ，再经过累减生成能够还原出原始数列。实际利用中在数列 基础上预测出 ，经过累减生成得到预测数列 。第9页（3）加权邻值生成设原始数列为称 为数列 邻值。为后邻值，为前邻值，对于常数 ，令 由此得到数列 称为数列 在权 下邻值生成数，权 也称为生成系数。尤其地，当生成系数 时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数。第10页灰色系统理论主要方法关联度分析法最基本方法（一个由众多原因组成系统中哪些原因对系统影响大/中/小？）基于白化权函数灰色统计和灰色聚类法。灰色预测法（如GM（1，1）。灰色决议。灰色优化技术（如灰色规划等）。第11页三、灰色预测模型GM(m,n)灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而利用离散数据列建立微分方程形式动态模型，称为灰色模型（GM）。灰色预测是应用灰色模型GM对灰色系统进行分析、建模、求解、预测过程。因为灰色建模理论应用数据生成伎俩，弱化了系统随机性，使紊乱原始序列展现某种规律，规律不显著变得较为显著，建模后还能进行残差辨识，即使较少历史数据，任意随机分布，也能得到较高预测精度。所以，灰色预测在社会经济、管理决议、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛应用 第12页(一)GM（1，1）模型设 为原始数列，其1次累加生成数列为 ，其中定义 灰导数为令 为数列 邻值生成数列，即于是定义GM（1，1）灰微分方程模型为第13页即或 （1）在式（1）中，称为灰导数，a称为发展系数，称为白化背景值，b称为灰作用量。将时刻表 代入（1）式有引入矩阵向量记号：数据向量 参数向量 数据矩阵第14页于是GM（1，1）模型可表示为现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们预计值为注：实际上回归分析中求预计值是用软件计算，有标准程序求解，如matlab等。GM（1，1）白化型对于GM（1，1）灰微分方程（1），假如将灰导数 时刻 视为连续变量t，则 视为时间t函数 ，于是 对应于导数量级 ，白化背景值 对应于导数 。于是GM（1，1）灰微分方程对应于白微分方程为 （2）第15页（二）GM（1，1）灰色预测步骤1.数据检验与处理 为了确保GM（1，1）建模方法可行性，需要对已知数据做必要检验处理。设原始数据列为了 ，计算数列级比 假如全部级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列 能够建立GM（1，1）模型且能够进行灰色预测。不然，对数据做适当变换处理，如平移变换：取C使得数据列级比都落在可容覆盖内。第16页2.建立GM（1，1）模型 不妨设 满足上面要求，以它为数据列建立GM（1，1）模型用回归分析求得a,b预计值，于是对应白化模型为 解为 （4）于是得到预测值从而对应地得到预测值：第17页3.检验预测值（1）残差检验：计算相对残差假如对全部 ，则认为到达较高要求：不然，若对全部 ，则认为到达普通要求。（2）级比偏差值检验：计算假如对全部 ，则认为到达较高要求；不然若对全部 ，则认为到达普通要求。第18页四、应用举例SARS疫情对一些经济指标影响问题1.问题提出 年SARS疫情对中国部分行业经济发展产生了一定影响，尤其是对部分疫情较严重省市相关行业所造成影响是显著，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响，直接经济影响包括商品零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面难以进行定量地评定，现仅就SARS疫情较严重某市商品零售业、旅游业、综合服务业影响进行定量评定分析。第19页 终究SARS疫情对商品零售业、旅游业、综合服务业影响有多大,已知某市从1997年1月到年12月商品零售额、接待旅游人数、综合服务收入统计数据如图:第20页2.模型分析依据所掌握历史统计数据能够看出，在正常情况下，整年总和（或平均值）很好地反应了相关指标改变规律。从而我们把预测分成两部分：利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997年各年度总和值预测年年度总和值；再经过历史数据计算每个月指标值与整年总和关系，就能够预测出年每个月指标值。假设：(1)假设所给统计数据可靠、准确；(2)假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据改变只与SARS疫情影响相关，不考虑其它随即原因影响。第21页3.建立灰色预测模型GM(1,1)由已知数据，对于1997年某项指标识为矩阵 计算每年总和，记为检验比（都符合要求）。对 作一次累加得数列 ，再作 邻值加权平均，得数列 ，即 为确定参数，得到GM(1,1)白化微分方程模型为其中参数由灰微分方程确定。第22页依据系数可求得白化微分方程解：故对应地能够求出即得到年年度总和值 。再依据历史数据，统计出第个月指标值占整年总和值百分比 ，即于是年每个月指标值(预测值)为 第23页4.模型求解(1)商品零售额由题目所给数据计算得 计算表明 全部级比都再可容覆盖区间内。经计算，当 时，残差检验中相对误差绝对值之和最小，用GM(1,1)模型计算得,年年度商品零售额总和为 。计算得各月百分比为(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)所以年各月商品零售额预测值为(153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 167.2083 177.6347)第24页将预测值与所给03年数据做对比(2)接待海外旅游人数同处理商品零售额方法，各月百分比为(0.0407 0.0732 0.0703 0.0878 0.0907 0.0848 0.0836 0.1022 0.1010 0.1041 0.0914 0.0701)年整年接待海外旅游人数预测值为357.6331（万），各月预测值为(14.5733 26.1742 25.1539 31.4091 32.4516 30.3222 29.9007 36.5552 36.1116 37.2206 32.6734 25.0873)对比所给数据：(3)综合服务收入类似处理(略)第25页5.模型结果分析模型结果分析依据该市统计报表显示,年4,5,6月商品零售额分别为145.2,124,144.1亿元,预测值为151.7618 158.1335 157.9404亿元,三个月损失为54.5亿元,7月还损失6亿元,8月恢复正常.总损失60多亿元,与教授预计差不多.对旅游业,4,5,6,7四个月损失海外游客99.3万,按照当年统计资料,平均每位游客消费1002美元,预计损失达10亿美元之多.整年损失海外游客约160万,约合16亿美元.第26页