3、赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．
(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；
(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－＝.
比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，
则P2＝C···＝.
(2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.
则P(ξ＝2)＝2＋2＝，
P(ξ＝4)＝C·2＋C·2＝，
P(ξ＝6)＝2＝.
所以随机变量ξ
4、的分布列为
ξ
2
4
6
P
则E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.
3． 如图，几何体ABCD－B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝
60°，AB＝a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，
且BB1＝a，E为CC1的中点，F为AB的中点．
(1)求证：△DEB1为等腰直角三角形；
(2)求二面角B1－DE－F的余弦值．
(1)证明 连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以BD＝a，
因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，
所以BB1∥CC1，
又面B1C1D1∥面ABCD，
所
5、以BC∥B1C1.
所以四边形BCC1B1为平行四边形，
则B1C1＝BC＝a，
因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，
所以DB1＝＝＝a，
DE＝＝＝，
B1E＝＝＝，
所以DE2＋B1E2＝＝3a2＝DB，
所以△DEB1为等腰直角三角形．
(2)解 取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所
以OH∥BB1.
以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D，E，B1，
F，
所以＝(0，a，a)，＝，＝.
设面DB1E的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则n1·1＝0，n·＝0，
即ay1＋az1＝0且－ax1＋
6、y1＋az1＝0，
令z1＝1，则n1＝(0，－，1)
设面DFE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则n2·＝0，n2·＝0即ax2＋ay2＝0
且－ax2＋y2＋az2＝0，
令x2＝1，则n2＝，
则cos〈n1，n2〉＝＝，
则二面角B1－DE－F的余弦值为.
4． 已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{bn}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b＝b.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项，……删去后，剩余的项按从小到大
7、的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2 013项和．
解 方法一 (1)∵dn＝，
∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n.
＝＝3n.
又由题知：令m＝1，则b2＝b＝22，b3＝b＝23，…，bn＝b＝2n.
若bn＝2n，则b＝2nm，b＝2mn，
∴b＝b恒成立．
若bn≠2n，当m＝1，b＝b不成立，
∴bn＝2n.
(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝1，b2＝4，公比均是8，
T2 013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 012)
＝＋＝.
方法二 (1)an＝d1＋d2＋…＋d2n＝×2n＝3n.
由b＝b及b1＝2>0知bn>0，
对b＝b两边取对数得，mlg bn＝nlg bm，
令m＝1，得lg bn＝nlg b1＝nlg 2＝lg 2n，
∴bn＝2n.
(2)T2 013＝c1＋c2＋…＋c2 013
＝b1＋b2＋b4＋b5＋b7＋b8＋…＋b3 018＋b3 019
＝(b1＋b2＋…＋b3 019)－(b3＋b6＋…＋b3 018)
＝－
＝.
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