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为“数学化”寻找基点
——“重叠问题”的教学案例与反思
三年级下册数学广角单元的内容“重叠问题”。课前课后颇多感悟，现整理如下：
【课前思考】
重叠问题是三年级新教材新增的内容。这课有两个重要的教学目标，即建立解决重叠问题的解题模型和体会集合思想。拿到这一课，我最初的教学思路是：体验感悟—抽象建模—实际应用，让学生经历“数学化”的过程，从而真正掌握如何解决重叠问题，并获得相应的数学思想和方法。但是如何去操作却给我带来了难题。于是我查阅了很多关于这课的教学案例和设计，发现老师们都注意到了应创设情境，让学生有充分的体验和感悟，大多数的情境创设是表演呼啦圈或接纸条。多数教师的课后反思都认为不理想，情境创设与数学思考造成了脱节，课堂上热闹有余，效果却不如人意，课后一些学生仍旧弄不明白。他们的案例与反思给了我很大的启发。周玉仁老师说：“要让学生动手做科学，而不是用耳朵听科学。” 美国数学家哈尔莫斯也指出：“学习数学的唯一方法是做数学。”是的，因为只有让学生经历“做数学”，有了自己亲身的体验和感悟，才有真正意义上的“数学化”。由此，“做数学”可以看作“数学化”的一个基点，但是把“做数学”等同于动手操作，我认为是有偏颇的。呼啦圈虽好玩，但是作用有多大呢？纸条的重叠问题和集合元素的重叠问题虽然解题方法相同，但实质却是不同的。如何顺利实现这节课的抽象建模，让学生经历“数学化”的过程呢？于是我踏上了为“数学化”寻找基点之旅。
【过程描述】
一、 利用图片初步感知
出示动物图：狮子、熊猫、狗、青蛙、金鱼、乌龟、鲨鱼、鲤鱼和两个集合图。要求学生给这些动物分成两类，在地上生活的一类，在水里生活的一类。师生共同分类，剩下青蛙和乌龟。
师：为什么剩下了青蛙和乌龟？
生：他们即生活在水里，又生活在地上。
师：那怎么做才能使他们即属于地上生活的一类又属于水里生活的一类呢？
学生思考片刻后还不知所措，教师演示：把两个集合图重叠在一起，如图：

生：老师，我知道了，可以把他们放在中间。（很多学生激动的叫了起来，教师根据学生的回答把他们放在了中间。
师：现在它们已经被分在哪里？（学生用即……又……说一说）
师：我们来数一数，生活在陆地上的动物有几种？（5种）生活在水里的动物有几种？（5种）这里一共有几种？（10种，学生脱口而出，又马上改正：应该是8种）
师：5加5等于10为什么是8呢？
生1：因为青蛙和乌龟即生活在水里又生活在地上。
生2：青蛙和乌龟数了两次，要减去。（为了加深体验，我让学生又数了一次，把数过的划出来，结果青蛙和乌龟划了两次）
师：这题应该怎样列式计算？
生: 5+5-2=8（种）（让学生说一说算式里的各数表示的意义，其他计算方法略）
二、利用文字建立模型
出示题目：小明过生日了，来为他祝贺的同学中有4个是幼儿园同学，5个是小学同学，而小明妈妈数了一下却只有7个人？你知道为什么吗？（学生把它当作智力题去猜，也很好奇，但是没有想到重叠现象。教师出示小明同学的名单）
生：我知道了，两个同学重复的要减去。（所有的学生都轻松地笑了）
师：你能像上面一样用图把他们表示出来吗？（学生动手画一画，填一填）
师：画了图后感觉怎样？
生：清楚多了。（列式计算略）
师：像以上两题他们都有重叠现象，我们说它们是重叠问题。解决重叠问题，应该怎么办？
生：把两部分加起来再减去重叠部分的，就是一共有几个。（再引导学生说一说以上两题两部分分别指什么，重叠部分指什么）
三、利用字母进一步抽象
出示题目：文具店昨天进了4种文具，今天进了5种文具，有3种文具昨天和今天都有进，文具店一共进了几种文具？（要求：用字母代表文具，先画图，再列式计算）
生：昨天进的文具：A、B、C、D，今天进的文具：C、D、E、F、G。
师：为什么都有C和D？
生：C和D代表重叠部分（昨天今天都有进的文具）
学生列式计算。
四、模型应用（略）
【课后反思】
课后，老师们对于这节课给了高度的评价，他们认为这节课充满数学味。这节课之所以成功，我认为是我在以下两方面做了有益的尝试。
一、 动手操作不是数学化的唯一基点
马克思哲学告诉我们：真理来源于实践，没有实践的真理只能是无本之木、无源之水。同样，数学作为科学的皇后，高深和极具抽象性，更需要实践作为得到它、理解它的基点，我认为“做数学”就是最好的实践。“做数学”强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调了以学生为主体的学习活动对理解数学的重要性，认为学生的实践、探索与思考数学是学生理解数学的重要条件。显然动手操作不是“做数学”唯一强调的，它更关注的是学生的现实体验、理解与反思；同时“做数学”所指的活动也不仅仅是实践活动，探索与思考数学也是学生理解数学的重要条件。以上案例，我撇去了动手操作这一环节，从充分唤醒学生原有的生活经验入手，引导学生积极参与思考探索，数一数、动手画一画、说一说等，来完成数学化的过程。给动物图分类，学生过生日，文具店购物等情境都是学生非常熟悉的。给出的问题和任务也都能引起学生的认知冲突，激发学生的探究欲望和学习心向。如5加5等于10为什么是8呢、4个是幼儿园同学，5个是小学同学，为什么只有7人呢等问题和把青蛙和乌龟分进两类、用字母表示文具画图等任务。课堂上我看到学生的参与是积极的，因为材料的直观，活动的熟悉，问题和任务的挑战性无不吸引了学生去主动思考和探索。再加上我让学生数一数、动手画一画、说一说，在说的过程中，还引导学生自觉地去反思，如让学生回答算式中的各数表示什么、以上问题我们是怎么解决的等问题，从而进一步加深了学生的体验。由此，不考虑学生与教学内容的实际情况，一味地让学生动手实践，反而会影响学生的思考和主动建构，造成动手实践或情境与数学思考的脱节。课堂教学不是关注学生动手了没有，更是关注学生体验了没有，理解了没有，反思了没有。借直观的材料，引导学生参与观察想象、动手画画、动口说说和思考探索等真实的活动，也能让学生从中获得大量的直接感性认识和深刻体验。当然动手操作对于帮助学生学习数学有它不可估量的价值，但要用的恰当。
二、 数学化是一个逐步抽象的过程
“所谓数学化就是在具体、半具体、半抽象、抽象之间的铺排，是是穿行于实物与算式之间的形式化过度。”“实物到数学形式之间有一条‘鸿沟’，教师的教学活动就是要在这‘两头’之间来回‘穿梭’。”可见“数学化”不是一步到位的，它是一个逐步抽象的过程只有经历一个有效的过程，“数学化”才是扎实有意义的。以上案例，我先让学生从最直观的动物图片开始初步体验，从图象抽象到文字建立模型，最后利用字母进一步抽象，逐步完成了一个“数学化”的过程。当我提出问题5个小学同学4个幼儿园同学为什么只有7个人时，学生没有想到重叠现象，可见学生第一步的体验还是肤浅的。第二环节的情境充分唤醒了学生生活中的原有经验，加深了对重叠问题的理解。通过两个环节对两个问题的思考与探索，再来归纳解题方法，就水到渠成了。但模型的建立还是初步的，需要进一步抽象，字母相对文字就又是一次抽象。最后学生应该不用画图就可以解决问题，而且在学生的脑子里应该有一幅清晰的重叠图象。在应用环节，我发现大部分学生都是可以做到的。由此，有效的课堂教学就是一步一个脚印来的，追求热闹与形式化只能让课堂变得浮躁流于形式。
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