金融风险管理第3章-金融风险测度工具与方法.pptx

2019-2025第第3章金融风险测度工具与方法章金融风险测度工具与方法2019-2025统计学基础本章目录本章目录1金融风险测度概述2风险价值VaR计算与应用3极值理论计算VaR4历史模拟法计算VaR5蒙特卡洛法计算VaR6本章要点本章要点v1.金融风险与收益数据的主要分布形式与特征金融风险与收益数据的主要分布形式与特征v2.金融风险度量方法的发展与演变过程金融风险度量方法的发展与演变过程v3.风险价值方法的原理及应用风险价值方法的原理及应用v4.基于极值理论的风险价值计算原理及方法基于极值理论的风险价值计算原理及方法v5.基于历史模拟法的风险价值计算原理及方法基于历史模拟法的风险价值计算原理及方法v6.基于蒙特卡洛法的风险价值计算原理及方法基于蒙特卡洛法的风险价值计算原理及方法2019-20251.1.统计学基础统计学基础v1.1概率工具概率工具n概率与概率分布风险事件落在某个区间的概率可表示为为的概率分布函数或累积分布函数。则可表示为投资收益率等连续变量的概率分布函数可表示为（3-1)其中，称为变量x的概率密度函数，简称概率密度。2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)n期望、方差与协方差期望表示风险损失（或收益）的预期平均数。离散型变量有（3-2）连续型变量有（3-3）方差表示风险结果与期望值的偏离程度（3-4）离散型变量有（3-5）连续型变量有（3-6）称标准差或者均方差2019-20251.1.统计学基础统计学基础常用的期望与方差线性变换规则包括：（3-7）（3-8）（3-9）（3-10）为协方差，表示风险变量与的相关程度。（3-11）定义为变量与的相关系数，有：（3-12）易证，且有越大，与相关程度越高。2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)n正态分布又称高斯分布，是应用最广泛的连续概率分布表示X服从期望为，标准差为的正态分布其概率密度函数f(x)与概率分布函数F(X)分别为(3-13)（3-14）称标准正态分布，其概率密度函数(x)与概率分布函数(X)分别为（3-153-16）若，则有2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)f(x)关于x=对称，呈现出对称的钟摆样式越小，f(x)的图形越尖，X落在附近的可能性越大0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.4512f(x)x0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90=0.5=1=1.5f(x)x图图3.1 正态分布概率密度曲线图正态分布概率密度曲线图2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)正态分布的特征：偏度为0，峰度为3偏度的计算公式为（3-17）负偏态正偏态0，正偏态，右侧长尾2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)峰度的计算公式为（3-18）金融数据通常呈现出厚尾特征正态分布薄尾分布厚尾分布3，厚尾分布2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)n其他常用分布nt分布(学生分布）若，且X,Y 相互独立，则称统计量（3-19）服从自由度为n的t分布，记为t t(n)t(n)分布的概率密度函数为（3-20）自由度n是形状参数，当n非常大时，概率密度函数近似于N(0,1)分布。当n较小时，概率密度函数呈现厚尾形状。t(n)分布的方差为n/(n-2)，峰度为3+6/(n-4)2019-20251.1.统计学基础统计学基础 （10pages)10pages)n广义误差分布(GED）其概率密度函数为（3-21）其中为伽马函数v为形状参数，v=2时，呈正态分布；v2时，呈厚尾分布t分布(n=6)正态分布广义误差分布(v=1.3)参数分布对比图2019-20253.3.时间序列数据时间序列数据v1.2 分位数分位数n定义 对于任意正数00时，用时间的平方根表示的风险增长低估了真实风险；40时，2019-20253.3.风险价值风险价值VaR VaR 计算与应用计算与应用v3.4 回测回测VaR检验实际亏损与以VaR是否一致，测试VaR模型的准确性、有效性。n基本原理观测实际损失超出VaR的特例事件次数是否与置信水平c相对应。特例事件次数过多，表明模型低估了风险水平；特例事件次数过少，表明模型高估了风险水平。n回测方法N次样本观测中，特例事件次数x服从参数为p=1-c,N的二项式分布：(3-67)当N充分大时，有统计量(3-68)若VaR模型正确，则在的显著性水平下，其拒绝域为(3-69)2019-20253.风险价值风险价值VaR 计算与应用计算与应用v3.4 回测回测VaR设某银行2018年中有15个工作日的日亏损大于置信水平为95%时的每日VaR，按一年252个工作日计算，请说明在5%的显著水平下，银行所用的VaR模型是否存在错误？假设银行VaR 模型正确无误，由式（3-69）可知，在5%的显著水平下，该假设的拒绝域为将x=15,p=1-95%=5%,N=252代入上市，得Z=0.690，Frechet分布(x)此时X的分布密度函数较之正态分布有着较厚的尾部n=0，Gumbel分布(x)此时X的分布密度函数的尾部较瘦，类似于正态分布、指数分布n 0时，G,具有厚尾特征；n=0时，G,具有正常的尾部；n u*时，en(u)近似线性。n进行最大似然估计使用的对数似然函数为(3-103)对上式求导，时得到参数,的估计值。2019-20254.4.极值理论计算极值理论计算VaR v4.4基于极值理论基于极值理论的的VaR计算计算基于极值理论计算VaR，可转换为极值分布的分位数计算问题。n广义极值分布分位数计算令H,=p，两侧取对数可得(3-104)解得与概率p相关的分位数为(3-105)由VaR定义可知，在的置信水平下有PXVaR=设Mn=maxX1,X2,Xn为样本损失极端值且Xi独立同分布，令Mn*=VaR，则有(3-106)将n代入式（3-105），有(3-107)2019-20254.4.极值理论计算极值理论计算VaR nPOT极值模型分位数计算由可推：(3-108)又F(u)=PXu，即不超过阀值的观察值在所有观察值中的比例。设观察值总数为n，Nu表示超过阀值的观察值的个数，则有代入式(3-108)中，有(3-109)反解上式，得到置信水平下的VaR为(3-110)2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRv5.1基本原理与计算基本原理与计算步骤步骤n基本原理通过历史数据模拟风险因子未来变化，进而模拟资产组合未来收益的可能分布。n计算步骤n(1)识别风险因子变量设投资组合的价值V受到n个风险因子fi(i=1,2,n)的影响则投资组合在t时刻的价值可表示为：(3-111)n(2)选取历史区间，收集历史数据收集风险因子fi 在-(T+1),-1间的历史数据得到数据序列则风险因子fi在过去时刻的T种变化为(3-113)2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRn(3)模拟风险因子未来变化假定风险因子的未来变化的分布等同于其历史变化分布则fi 在未来时刻的T种可能取值为：(3-114)n(4)计算投资组合未来收益分布根据fi 的T种可能取值，投资组合在未来时刻的T种可能取值为(3-115)投资组合的收益V的T种可能为(3-116)n(5)根据投资组合收益分布计算VaR将V从大（利润）到小（损失）排序。给定置信水平c，根据V的排序结果查找相应的VaR值。2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRv5.2 应用示例应用示例计算2018年7月31日，1000股招商银行股票c=95%的置信水平的日VaR。n获取500个交易日历史数据201607.14-2018.07.31招商银行交易数据（数据来源：上海证券交易所）2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRn模拟未来可能受益取值历史模拟法假设500个历史日收益率以同等概率在8月1日发生。2018年8月1日招商银行的500个可能收益取值95%的置信水平下，第476位的损失值610即为每日VaR2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRv5.3 历史模拟法优点与缺陷历史模拟法优点与缺陷n优点n简便易行、直观易懂，无需专业统计知识即可掌握；n为非参数估计法，无需构建数学模型和拟合变量分布形式及其数字特征，减少模型选择和参数估计风险；n不受收益变量分布形式局限，对非对称分布、厚尾、尖峰等有同样的适用能力；n可以度量期权等非线性收益投资组合的风险；n可用于灵敏度法等VaR以外的风险测度方法。2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRn缺陷n假设风险因子的未来变化完全等同于其历史变化，与实践不符；n假设风险因子的过往变化在未来时刻以相同概率出现，与实践不符；n需收集、处理大量连续的历史数据，成本较高；新兴市场难以收集足够历史数据;n计算结果对历史数据的选择区间、时间长度、数据质量等较为敏感，所得到的VaR 值波动性较大、稳健性较差。2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRv5.4 历史模拟法计算历史模拟法计算VaR的改进思路的改进思路n时间加权历史模拟法风险因子变化fi(-t)(t=1,2,T)在未来发生的概率不再为1/T，而是(3-117)越近的历史变化赋予的概率或权重越大；越远的历史变化赋予的概率越小，即概率随时间往前推移而以的速度衰减。称衰减因子。利用经时间加权的风险因子变化模拟未来收益即可得到VaR时间加权历史模拟法可以得到更好的VaR值，但估计误差可能加大。2019-20255.5.历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaRn波动率加权历史模拟法利用历史数据模拟风险因子未来波动率，比较其与历史波动率差异，调整历史数据权重，降低风险因子不同时期波动差异对模拟结果的影响。设fi(-t)的波动率为-t，根据历史数据模拟的未来时刻波动率为，则使用波动率加权调整后的风险因子变化历史数据为(3-118)利用调整后的历史数据，按前文步骤即可计算VaR。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.1 基本原理与实施步骤基本原理与实施步骤n基本原理反复通过计算机产生随机数生成模拟样本代替实际抽样数据，克服样本数据不足缺陷，得到所求问题符合精度要求的近似解。n实施步骤n描述或构造随机模型将不具备随机性质的问题转化为随机问题。n利用随机数对随机模型进行抽样运用计算机产生符合要求的随机数进行模拟抽样实验。n建立估计量求解问题利用模拟抽样建立各种估计量求解随机变量近似解。随机模型的准确性、模拟抽样的独立性以及模拟次数决定结果优劣。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.2 单个变量随机模拟单个变量随机模拟n模拟步骤以资产价格为例。设资产价格变化服从几何布朗运动(3-119)S为资产价格，,为价格变化的均值和方差，且。n(1)几何布朗运动模型离散化设t为初始时刻，T为到期时刻，将t,T均匀分割为n份当n充分大时，,有(3-120)资产价格的随机变化取决于随机变量的取值。n(2)利用计算机模拟生成的n个取值记为:i=1,2,n，得(3-121)2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn(3)求解ST 令i=0,得到，令i=1得 依次迭代，得到。n(4)重复步骤(2)、(3)重新模拟生成的n个取值,再次得到资产的一个到期时刻价格ST;重复N次，得到ST的数据数列将按大小排序，即可得到ST的变化分布与数值特征。由计算步骤可知，蒙特卡洛法的准确性取决于时间区间分割的份数n以及样本轨道重复模拟的次数N。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn随机数的产生 n(1)使用0,1均匀分布产生随机数x使用掷骰子的点数、转轮盘的结果等物理现象产生真随机数；或使用计算机按照特定计算方法产生伪随机数。n(2)将x转化为服从特定分布的随机数由累积密度函数或分布函数的逆函数，将x转换为特定分布的随机数。假设服从0,1均匀分布的随机变量x的抽样值为0.05,由(1.645)=0.05，可得到服从正态分布的随机数1.645。可利用Stata、Matlab等的随机数生成器得到各种分布形式的随机数。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.3 多个变量随机模拟多个变量随机模拟n模拟原理设投资组合价值在t时刻受N个风险因子的影响，表示为Sj,t(j=1,2,n)设Sj,t、j,t互不相关，服从正态分布，有(3-122)若Sj,t互相关，则Sj,t的随机变动受N维正态向量的影响 的均值向量为0，协方差矩阵为2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.3 多个变量随机模拟多个变量随机模拟假设R为正定的，由Cholesky分解可得(3-123)T为下三角矩阵，为T的转置矩阵。设为N维相互独立的标准正态随机变量，构造随机变量(3-124)则的协方差矩阵为(3-125)由于与有相同的协方差矩阵，二者有相同的联合分布函数，因而可作为的模拟样本。求得T，利用计算机重复产生，即可反复模拟，进而得到投资组合T时刻的模拟价值Sj,T(j=1,2,N)2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn以两个风险因子为例设因子间的相关系数为,则其协方差矩阵。由Cholesky分解得，令，有求解得，得(3-126)利用计算机生成相互独立的标准正态随机向量，构造(3-127)使用模拟抽样，得到Sj,T。重复以上过程，即可求解Sj,T的分布规律。6.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.4 蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRnVaR的计算步骤n(1)识别风险因子变量设投资组合价值,Sj,t(j=1,2,N)为风险因子。n(2)随机模拟风险因子的未来变化产生n个随机变量j,i(i=1,2,n),依次迭代计算。n(3)计算投资组合价值利用Sj,T计算投资组合价值VT，及收益V。n(4)计算投资组合收益的分布重复(2)、(3)K次，得到V1,V2,VK并按大小排列。n(5)计算VaR根据V的分布，计算VaR。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRnVaR计算示例n单风险因子设有一万股价格为100元/股的股票，其价格遵循几何布朗运动，漂移率为0，波动率=10%，请计算投资者在95%的置信水平下未来一天的VaR。解：将未来一天间隔成100份，即n=100，由式（3-121)得使用计算机生成100个值代入上式，股票价格变化轨迹如表3-6所示。表3-6股票价格的样本轨迹表由表3-6，得到股票期末价格为104.3685元，记为。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn单风险因子重复上一步骤100次，将股票价格分别记为根据得到股票收益的100个未来可能取值。将100个未来收益可能取值从大到小排列，如表3-7所示。第37次模拟结果排名96位，损失186452.49元，即为该股票在95%的置信水平下，未来一天的VaR值。表3-7股票收益分布表2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn多风险因子设投资组合包括10元/股的A股票一万股，20元/股的B股票5000股。A、B均遵循=0，=5%的几何布朗运动。A、B的相关系数为=0.2。求解该投资组合在95%的置信水平下，未来一天的VaR值。解：将未来一天分割为100份，即n=100，有由=0.2得协方差矩阵，使用Cholesky分解得到下三角矩阵则有2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn多风险因子利用计算机生成100个1、2，得到100个A,i、B,i，得到投资组合价值变动的一个样本轨迹如表3-8所示。表3-8投资组合价格变动样本轨迹表2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn多风险因子重复上一步骤100次，得到100组股票A、B的期末价格。根据期末价格计算投资组合的100个可能收益如表3-9所示。第10次模拟结果排名95位，损失24751.0元，即为该投资组合在95%的置信水平下，未来一天的VaR值。表3-9投资组合收益分布表2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRv6.5 优势缺陷和改进优势缺陷和改进n优势n是完全估值法，可处理非线性、大幅波动与厚尾问题。n可利用计算机反复生成模拟数据，计算结果更具可靠性和精确性。n可利用风险因子变化的历史数据信息改善和修正随机模拟模型，对风险因子未来变化的模拟更贴近现实。n缺陷n需事先构造随机模型，存在模型与参数估计风险。n收敛速度太慢，计算效率较低，需要重复模拟大量次数。n计算量大，需消耗大量时间。n为减少时间花费，提高计算效率，往往以加大样本方差、计算结果的可靠性与精确性下降为代价。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn提高收敛速度拟蒙特卡洛法按照预先设定的确定性方法生成被称为拟随机数的低偏差点，填补伪随机数非均匀分布造成的数据序列空白，为模拟过程带来更多有用的信息。可使收敛速度由提高至。n提高计算效率情景蒙特卡洛法采用主成分分析法减少风险因子数，将每个主成分的取值范围限定在有限结果或情景之中，对每个结果或情景赋予概率，计算出主成分组合结果的概率分布。由于限定了取值范围，这些组合的可能排列是有限的。此时运用蒙特卡洛法对这些组合进行抽样模拟，能够提高计算速度与效率。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn提高结果精度方差缩减法n(1)对偶变量法设由随机数i模拟得到资产价格f(i)，则由-i可模拟得到f(-i)取二者平均数为最终模拟结果。n(2)控制变量法设要对资产A定价，选择可直接由公式求解的资产B为控制变量用蒙特卡洛法同时模拟A、B价格为和，有B的模拟误差为，因，A的模拟误差与B相近，即有(3-128)此时fA的方差为(3-129)由得，(3-130)A、B相关性越强，越大，调整后的方差越小。2019-20256.6.蒙特卡洛法计算蒙特卡洛法计算VaRVaRn(3)重点抽样法根据抽样的目的调整随机样本的概率测度，以适度增加我们所关心的样本事件在抽样中出现的可能性。如在VaR计算过程中更多抽取尾部区域样本数据。n(4)分层抽样法在样本的取值范围均匀抽样，以避免随机数的随机性造成抽样不均匀。在0,1均匀分布抽取n个样本，记为Ui,i=1,2,n，令有均匀分布于0,1，则随机样本同样均匀分布。n(5)矩匹配法调整模拟数据，使样本的一个或多个矩与被模拟分布的理论矩相匹配。设样本值,样本均值和方差为m和S2，调整样本值为(3-131)的均值与方差与其理论值,2完全匹配，由此计算的VaR精度更高。2019-2025