集合与简易逻辑复习与小结.doc

　 集合与简易逻辑　
一、基础知识总结
基础知识框图表解

二、重点知识归纳、总结
1、集合部分
　　解决集合问题时，首先要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素组成，需要对集合的文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化．其次，由于集合知识概念多、符号多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符号的表示的特殊性．三是注意知识间的内在联系，注意集合思想与函数思想的联系，集合与不等式、解析几何、三角函数等知识的联系．
　　（1）集合中元素的三大特征
　　（2）集合的分类
　　（3）集合的三种表示方法
　　（4）集合的运算
①n元集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集；
②A∩B={x|x∈A且x∈B}
③A∪B={x|x∈A或x∈B}
④A={x|x∈S且xA}，其中AS.
2、不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式的解法
①|x|0)－aa(a>0) x>a，或x<－a.
②|f(x)|g(x) f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
③|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]<0.
④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：|x＋3|－|2x－1|<3x＋2.
（2）一元二次不等式的解法
　　任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2＋bx＋c>0（a>0），或ax2＋bx＋c＜0（a>0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式△≤0，则利用配方法求解较方便）．
　　详细解集见下表：
判别式
△=b2－4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数
y=ax2＋bx＋c
（a>0）的图象
y=ax2＋bx＋c

y=ax2＋bx＋c

y=ax2＋bx＋c

一元二次方程
ax2＋bx＋c=0
（a>0）的根
有两相异实根
x1,x2(x10
（a>0）的解集
{x|xx2}

R
ax2＋bx＋c<0
（a>0）的解集
{x|x1题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤．
　　（1）命题
①简单命题：不含逻辑联结词的命题
②复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题
　　（2）复合命题的真值表
　　　　 非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p
非p
真
假
假
真
　　　　 p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
　　　　 p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
　　（3）四种命题及其相互之间的关系

　　　　　一个命题与它的逆否命题是等价的．
　　（4）充分、必要条件的判定
①若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；
②若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；
③若pq且qp，则p是q的充要条件；
④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
　三、学法指导
（一）要注意理解、正确运用集合概念
例1、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（　）
　　 A．P　　　　　　B．Q　　　　　　C．　　　　D．不知道
例2、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（　）
　　 A．P∩Q=　　B．P Q C．P=Q　　　 D．PQ
（二）要充分注意集合元素的互异性
例3、若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－(a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，试求实数a的值．
例4、已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________．

（三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
　　集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．
　　反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例5、设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：AB．
（四）要注意空集的特殊性和特殊作用
　　空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例6、已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是__．
例7、已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p
的取值范围．

（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
例8、已知集合有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A．
（六）要注意数形结合解集合问题
　　集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例9、设A={x|－21}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1的值．
例10、若关于x的不等式|x＋2|－|1－x|