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概率综合训练
1. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．
　　（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；
　　（2）求甲队获得冠军的概率；

3. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．

4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为6的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率；
（3）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)在直线
x－y=3的下方区域的概率

5.
如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为
⑴求和的值；
⑵问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率。

6. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程x2－5x + 6 = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．(1) 求 p1、p2的值；(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

7. 有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为；乙第一次在距离8米处投篮命中率为，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.
2,4,6
（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差；
（Ⅱ）求乙投篮命中的概率.

8. 某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。
（Ⅰ）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；
（Ⅱ）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。

9. 一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球。
(1) 从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；
(2) 从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；
（3）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次4个球都是白球的概率．

10. 甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为和，求：
（1）恰有一人能破译的概率；（2）至多有一人破译的概率；
（3）若要破译出的概率为不小于，至少需要多少甲这样的人？

11. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．

12. 一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？

13. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
(1)求该观众得分ξ为非负的概率；
(2)求ξ的分布列及数学期望．

14. 在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。
（I）求这名大学生先去买火车票的概率；
（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。

15. 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.
（I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；
（II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；
（III）求甲取得比赛胜利的概率.

16.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．
(i)恰好有3次摸到红球的概率；
(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求与.

19. 从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0.7，B班车正点到达乙地的概率为0.75。
（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。
（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）。

20．某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。

21. 规定10条鱼养在一水池中，其中6条鲫鱼，4条鲤鱼，某人每天随机从水中取出3条鱼进行观察。
（I）若此人将3条鱼一次取出，求取出的3条鱼中两种鱼均出现的概率；
（II）若此人将3条鱼分3次取出，每次取出观察后又放回水池中，求第二次、第三次均取到鲤鱼的概率。

22. 现有编号分别为的五个不同的物理题和编号分别为的四个不同的化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．

概率综合训练
1. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为
（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。……4分
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。
因此乙抽到的牌的数字大3的概率为……………………8分
（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种 ………………11分
甲胜的概率p1=，乙获胜的概率为

∴此游戏不公平………………………………12分
2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．
　　（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；
　　（2）求甲队获得冠军的概率；
　　（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,依题意得．
　　（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．
　　∴　．
　　3. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率…………………… 6分
（Ⅱ）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为、、．
， ，
所以，取球次数不超过3次的概率是
＝＋＋=．
答：取球次数不超过3次的概率是．…………………………………………12分
4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为6的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率；
（3）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)在直线
x－y=3的下方区域的概率

（1）两数之和为6的概率为
（2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)==,
答：两数之积是6的倍数的概率为
（3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x－y=3的下方区域”为事件B，则由下列的列表可知，事件B中含有其中3个基本等可能基本事件：∴P(B)==,答：点(x, y)在直线x－y=3的下方区域的概率为
5.
如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为
⑴求和的值；
⑵问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率。

解：⑴，
又，
⑵最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇（如图在三处相遇）
设在三处相遇的概率分别为，则

即所求的概率为
6. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程x2－5x + 6 = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．(1) 求 p1、p2的值；(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
解析：(1) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1)，∴ Dx甲 = 5p1 (1－p1) = Þ p12－p1 + = 0 Þ p1 = ．2分；又 ·= 6，∴ p2 = ． 3分
(2) 两类情况：共击中3次概率C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 = ；
共击中4次概率C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 = ． 6分
所求概率为 + = ． 8分
(3) 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相独立（9分），∴ P(`A·`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p1)(1－p2) = ×= （11分），∴ 1－P(`A·`B ) = 为所求概率． 12分
评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明．
7. 有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为；乙第一次在距离8米处投篮命中率为，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.
2,4,6
（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差；
（Ⅱ）求乙投篮命中的概率.
解：（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即，…………2分
则
………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ） 记乙三次投篮依次为事件A、B、C，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a，则由题意得……………………………………7分
…………………………8分
……………………9分
故乙投篮命中的概率为
………………………………12分
8. 某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。
（Ⅰ）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；
（Ⅱ）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。
解：（Ⅰ）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：
（Ⅱ）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，
P（M）= …10分
所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）= 。 …12分
9. 一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球。
(1) 从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；
(2) 从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；
（3）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次4个球都是白球的概率．
解：(1)记从中任摸2个球，摸出的2个球颜色不同为事件A,
则A所含的基本事件数为, 事件总数为
------------------------------4分
(2)记任摸4个球，摸出的4个球中红球数不少于白球数为事件B,
则事件B可分为三类：4个红球，3个红球1个白球，2个红球2个白球，故B包含的基本事件的个数为：
∵基本事件的总数为 ----6分 .-------------------------8分
(3) 每次从中任摸4个球，4个球都是白球的概率,-----------------10分
由独立重复试验可得，三次中恰好有一次4个球都是白球的概率---------------------------12分
10. 甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为和，求：
（1）恰有一人能破译的概率；（2）至多有一人破译的概率；
（3）若要破译出的概率为不小于，至少需要多少甲这样的人？
（1）设A为“甲能译出”，B为“乙能译出”，则A、B互相独立，从而A与、与B、与均相互独立.
“恰有一人能译出”为事件，又与互斥，
则
（2）“至多一人能译出”的事件，且、、互斥，
∴
（3）设至少需要n个甲这样的人，而n个甲这样的人译不出的概率为，
∴n个甲这样的人能译出的概率为，
由
∴至少需4个甲这样的人才能满足题意.
11. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．

解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；
（Ⅱ）显然，随机变量，故
，
12. 一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，
它们等可能，其中两球不同色有种，………………………2分
一次摸奖中奖的概率．………………………4分
（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率,………………………6分
三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
． ………………………8分
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
，， ……………………10分
，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．又,解得．…………12分
答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．
13. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
(1)求该观众得分ξ为非负的概率；
(2)求ξ的分布列及数学期望．
解: (1)的可能取值为． ………………3分
，，．……7分
该同学得分非负的概率为．…………8分
(2) ．………………10分
的分布列为:

………………12分

数学期望．………………14分
14. 在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。
（I）求这名大学生先去买火车票的概率；
（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。
解：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），
则由条件可知
即先去买火车票的概率为0.75. …………4分
（II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为
…………6分
∴该大学生买汽车票的概率为 …………8分
设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ
120
280
P
0.45
0.55
∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为
…………12分
15. 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.
（I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；
（II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；
（III）求甲取得比赛胜利的概率.
（I）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：
…………4分
（II）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：
…………8分
（III）解：甲取得比赛胜利共有三种情形：
若甲胜乙，甲胜丙，则概率为；
若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为；
若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为
所以，甲获胜的概率为 …………13分
16.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．
(i)恰好有3次摸到红球的概率；
(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
解：(Ⅰ)（ⅰ） （ⅱ）.
(Ⅱ)设袋子A中有个球，袋子B中有个球，
由，得
17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.
解: （Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A1）=1- P（）=1-=。
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为
(Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则
，
，
由于甲、乙射击相互独立，
故。
答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，
“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，
由于各事件相互独立，
故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）
=×××（1-×）
=，
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。
或者：分类处理
1. 前三次都击中目标，第四、五次连续两次都未击中目标
2. 第一次未击中目标，第二、三次击中，
3. 第一次击中，第二次未击中，第三次击中，
点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求与.
解：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、
由题意得：
解得：或，∴.
即，一个零件经过检测为合格品的概率为.
（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

（Ⅲ）依题意知～B(4,)，，
19. 从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0.7，B班车正点到达乙地的概率为0.75。
（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。
（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）。
解：（1）坐A班车的三人中恰有2人正点到达的概率为
………………（6分）
（2）记“A班车正点到达”为事件m，“B班车正点到达”为事件n
则两人中至少有一人正点到达的概率为

=0.7×0.75+0.7×0.25+0.3×0.75
=0.525+0.175+0.225=0.925………………（12分）
20．某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。
解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。……4分
（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
；
；
；
，
概率分布表为：

1
2
3
4
P

……10分
的数学期望为。……12分
21. 规定10条鱼养在一水池中，其中6条鲫鱼，4条鲤鱼，某人每天随机从水中取出3条鱼进行观察。
（I）若此人将3条鱼一次取出，求取出的3条鱼中两种鱼均出现的概率；
（II）若此人将3条鱼分3次取出，每次取出观察后又放回水池中，求第二次、第三次均取到鲤鱼的概率。
解：（I）记“一次取出3条鱼，其中两种鱼均出现”为事件A，
则
（II）记“每次取出鱼后被放回，在三次取鱼中，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B，“每次取出鱼后放回，第一次取到鲫鱼，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B1，“每次取出鱼后放回，三次均取到鲤鱼“为事件B2，则：
。
22. 现有编号分别为的五个不同的物理题和编号分别为的四个不同的化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．
解:（Ⅰ）共有个等可能性的基本事件，列举如下：
，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,， ………………6分
（Ⅱ）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于但不小于”为事件.
即事件为“，且，其中”，
由（1）可知事件共含有个基本事件，列举如下：
，,，，,，，，,，，,，, ………………10分
. ………………12分
答：（Ⅰ）共有个基本事件；（Ⅱ）同学所抽取的两题的编号之和不小于且小于的概率为.

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