数学思想方法（方程思想、函数思想、数形结合思想）（二）.doc

专题知识突破六 数学思想方法（二）
（方程思想、函数思想、数形结合思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点四：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例4 （2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=r（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．
思路分析：（1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC= =
=
（3）如图2，连结OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r－x，根据勾股定理，在Rt△OAH中有 ；在Rt△EAH中由 ，
利用等式的性质得 ，即得x=r，则HE=r－r= r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH= ，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可计算出EF=r，然后利用（2）中的结论可计算出EC．
考点五：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例5 （2014•仙桃）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场与相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场
乙林场
 购树苗数量
 销售单价
 购树苗数量

销售单价
 不超过1000棵时
 4元/棵
 不超过2000棵时
 4元/棵
 超过1000棵的部分
 3.8元/棵
 超过2000棵的部分
 3.6元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．
（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；
（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
思路分析：（1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；
（2）根据分段函数的表示法，分别当0≤x≤1000，或x＞1000.0≤x≤2000，或x＞2000，由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）分类讨论，当0≤x≤1000，1000＜x≤2000时，x＞2000时，表示出y甲、y乙的关系式，就可以求出结论．
考点六：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例6 （2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有 个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．（5，0）

思路分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
四、中考真题训练
一、选择题
1．（2014•南昌）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
2．（2014•仙桃）如图所示，几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（2014•德阳）已知0≤x≤，那么函数 的最大值是（　　）
A．－10.5 B．2 C．－2.5 D．－6
4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数 的图象大致为（　　）
A． B．C． D．

5．（2014•台州）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．2014•仙桃）如图，正比例函数 和反比例函数 =的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
① ；
②当x＜－1时， ；
③当时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
7．（2014•台湾）如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）

A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确

二、填空题
8．（2014•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－1，2），点C的坐标为（－3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为 （2，2）
．

9．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 ．

10．（2014•鄂州）如图，直线y=kx+b过A（－1，2）、B（－2，0）两点，则0≤kx+b≤－2x的解集为 （4，2
．

11．（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 米

12．（2014•淮安）如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为 ．

13．（2014•临沂）如图，在▱ABCD中，BC=10，sinB=，AC=BC，则▱ABCD的面积是 3cm．

14．（2014•吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 1
．

15．（2014•临沂）如图，反比例函数y=的图象经过直角三角形OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为 ．

16．（2014•德阳）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为 4
．

三、解答题
17．（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天）
1
2
3
…
50
p（件）
118
116
114
…
20
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
18．（2014•广州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

19．（2014•吉林）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有
48
，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

20．（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若，求cos∠DAB．

21．（2014•北京）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费 27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
22．（2014•安顺）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m－1）是反比例函数y＝ （x＞0）与一次函数y=ax+b的交点．求：

（1）反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．
23．（2014•南宁）考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．

24．（2014•山西）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

25．（2014•白银）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点（x，y）在函数y=－x+5图象上的概率．

专题六 数学思想方法（二）
（方程思想、函数思想、数形结合思想）
【重点考点例析】
考点四：方程思想
例4.
解答：（1）
证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，
∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
而OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；
2）解：连结BC，
∵E是弧AB的中点，
∴弧AE=弧BE，
∴∠ABE=∠BCE，
而∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC= ==;
（3）解：如图2，连结OA，

∵弧AE=弧BE，
∴AE=BE=r，
设OH=x，则HE=r－x，
在Rt△OAH中， ，即，
在Rt△EAH中， ，即，
∴
，即得x=r，
∴HE=r－r=r，
在Rt△OAH中，AH=
==
，
∵OE⊥AB，
∴AH=BH，
而F是AB的四等分点，
∴HF=AH=，
在Rt△EFH中，EF= r，
∵EF•EC=，
∴r•EC=，
∴EC=r．
考点五：函数思想
例5.
解：（1）由题意，得．
=4×1000+3.8（1500－1000）=5900元，
=4×1500=6000元；
故答案为：5900，6000；
（2）当0≤x≤1000时，
y甲=4x，
x＞1000时．
=4000+3.8（x－1000）=3.8x+200，
∴ = ；
当0≤x≤2000时，
=4x
当x＞2000时，
=8000+3.6（x－2000）=3.6x+800
∴ = ；
（3）由题意，得
当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，
∴到两家林场购买所需要的费用一样．
当1000＜x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，
∴当1000＜x≤2000时，到甲林场优惠；
当x＞2000时，y甲=3.8x+200，y乙=3.6x+800，
当 时
3.8x+200=3.6x+800，
解得：x=3000．
∴当x=3000时，到两家林场购买的费用一样；
当 时，
3.8x+200=3.6x+800，
x＜3000．
∴2000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当 时，
3.8x+200＞3.6x+800，
解得：x＞3000．
∴当x＞3000时，到乙林场购买合算．
综上所述，当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，
当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当x＞3000时，到乙林场购买合算．
考点六：数形结合思想
例6
解：
（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，
则∠APB=∠ACB=×60°=30°．
∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴AG=BG=AB=2．
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴CG=
= ．
∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，
∵点C的坐标为（3，2），
∴CD=3，OD=2．
∵ 是⊙C与y轴的交点，
∴ =30°．
∵ =CA=4，CD=3，
∴DP2= ．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2，
∴=．
∴ （0，2－）． （0，2+）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得： （0，－2－）． （0，－2+）．
综上所述：满足条件的点P的坐标有：
（0，2+）；
（0，2－）；
（0，－2－）；
（0，－2+）.
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
∴EH=
=
=
∴OP=
∴P（0，）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，－）．
理由：
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，）和（0，－）．
【备考真题过关】
一、选择题
1．答案：A
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：C
7．答案：B
二、填空题
8．答案：（1，－3）
9．答案：
10．答案：－2≤x≤－1
11．答案：50
12．答案：3
13．答案：
14．答案：（－1，2）
15．答案：
16．答案：65°
三、解答题
17. 答案：解：（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得

解得
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=－2x+120；
（2）当1≤x＜25时，
y=（60+x－40）（－2x+120）
= ，
当25≤x≤50时，
y=（40+－40）（－2x+120）
= －2250；
（3）当1≤x＜25时， ，
∵－2＜0，
∴当x=20时，y有最大值y1，且y1=3200；
当25≤x≤50时，
y=－2250；
∵135000＞0，
∴随x的增大而减小，
当x=25时，最大，
于是，x=25时，y=－2250有最大值y2，且y2=5400－2250=3150．
∵
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元．
18. 答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）
19. 答案：解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），
则抽取了120份作品；
（2）等级B的人数为120－（36+30+6）=48（份），
补全统计图，如图所示：

故答案为：48；
（3）根据题意得：800×=240（份），
则估计等级为A的作品约有240份．

20. 答案：（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ ，
∴ ，
解得AE= ，
∴cos∠DAB== ．
21．答案：解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，由题意得

解得：x=0.18
经检验x=0.18为原方程的解
答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
22．答案：解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m－1）．
解，得m=3．（
∴A（3，4），B（6，2）；
∴k=4×3=12，
∴y＝ ．
∵A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴
∴
∴y=x+6．
（2）根据图象得x的取值范围：0＜x＜3或x＞6．
23．答案：解：（1）一共抽查的学生：8÷16%=50人；
（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，
补全统计图如图所示：

（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°× =72°；
（4）九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500×=120人．
24．答案：解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x ，
根据题意得：
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20－3x）（8－2x）=56
解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
25．答案：解：列表得：

y

x
（x，y）
1
2
3
4
1

（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）

（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）

（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）

（1）点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；   
        （2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=－x+5图象上的有4种，
即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
∴点P（x，y）在函数y=－x+5图象上的概率为：P= ．