第二十二章概率统计.doc

概率统计
22.1

知识清单
1. 离散型随机变量分布列
（1） 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量；所取值可以一一列举的随机变量叫离散型随机变量
（2） 一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,...,xn，且P（X=xi）=pi
i=1,2,,...,n,
则称上式为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列
X
x1
x2
...
xn
P
p1
p2
...
pn
我们将上表称为随机变量X的概率分布表
显然，这里pi （1,2,,...,n）满足条件①______,②______
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值概率之和
2. 超几何分布
若有一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如下表所示
X
0
1
2
...
l
P

...

其中l=min（n，m）
一般的，若一个随机变量X的分布列为，则称X服从超几何分布，记为并将记为H（r；n，M，N）
其中r：样品中不合格品的个数，n样本容量，M，不合格品总数，N总体中的个体总数。
知识清单答案
① ②
突破方法
方法 如何求离散型随机变量的分布列与期望
例 （2013江苏通州中学月考，24,10分）2013年第十二届全运会将在沈阳举行，乒乓球比赛会产生男子个人，女子个人，男子团体，女子团体共四枚金牌，保守估计福建男队获得金牌的概率是3/4，福建女队得金牌的概率是4/5，
（1） 记福建乒乓球男队获得金牌总数为X，求X的分布列，和数学期望
（2） 求福建乒乓球女队比男队多获得一枚金牌的概率
解题思路 （1）求出X取每个值的概率，列出分布列，进而求数学期望，（2）列出所有可能的情况，分别计算概率，再利用互斥事件概率公式进行求解
解析 （1）X的所有可能取值为0,1,2
则
则X的分布列是
X
0
1
2
P
1/16
3/8
9/16

所有X的期望
（2） 设事件A={福建乒乓球男队获得0个金牌，女队1个金牌}，事件B={男队获得1个金牌，女队获得2个金牌}

由事件A，Ｂ为互斥事件，所以
【方法点拨】 求解此类问题的步骤，首先需深刻理解背景，列出X所有可能的取值；其次求出X取每个值时的概率，就可以得到随机变量的概率分布列；再次，利用随机变量数学期望的定义进行计算；最后，利用互斥事件的概率公式求概率，注意在已知随机变量分布的情况下，一般利用随机变量的均值定义求解，对于这些实际问题中的随机变量，如果能判断它服从的典型分布，则随机变量的期望可利用这种分布期望的公式进行计算（如），因此，熟记常见典型分布的期望公式，可加快解题速度。

22.2
知识清单
1. 若P（B）>0则在事件Ｂ已发生的条件下，事件A发生的条件概率是P（A|B）=①______
2. 相互独立事件及同时发生的概率
（1） 若事件A,B满足P（A|B）=P（A），则称事件A，B独立，若A，B独立，那么B，A也独立，因此可称A与B相互独立
（2） 事件A，B是相互独立事件，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生概率的积，即P（AB）=②______
一般地，如果事件相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即③______
3. 独立重复试验
如果在一次试验中，某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为④______
4. 二项分布:如果在一次试验中,某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率是.于是得到随机变量ζ的概率分布如下
ζ
0
1
...
k
...
n
P

...

...

由于恰是二项展开式中的第k+1项（k=0,1,2,3,...,n）的值，故称随机变量ζ服从二项分布，记⑤______
【知识拓展】
1. 解决概率问题的步骤
第一步，确定事件的性质，等可能事件，互斥事件，独立事件，n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种。
第二步，判断事件概率的运算，和事件，积事件，即至少判断一个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理
第三步，运用公式求概率
等可能事件P（A）=m/n
互斥事件
独立事件
n次独立重复试验
条件概率P（B|A）=P（AB）/P(A)
2. 方程思想在概率运算中的运用
在概率运算过程中，会经常遇到求两个或三个事件的概率或确定某个参数值的问题，此时可考虑方程（组）的方法，借助题中条件列出含有该未知量的方程（组），进而求解。
知识清单答案
①P（AB）/P(B) ②P(A)P(B) ③ ④
⑤

突破方法
离散型随机变量的概率应用题解法
例 （2013苏北四市，24,10分）现有4人去参观某娱乐活动，该活动有甲乙两个游戏供选择，为增加趣味性，他们约定每人通过投掷一个均匀的骰子来决定自己去参加哪个游戏，点数1或2的人去参加甲游戏，点数大于2的人去参加乙游戏
（1） 求4个人中恰有两个人去参加甲游戏的概率
（2） 求4个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率
（3） 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲乙游戏的人数，记ζ=|X-Y|，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ
解题思路 （1）利用二项式分布概率公式求出P（X=2）；（2）要求这4个人中去参加甲的人数大于去参加乙的人数的概率，即求P(X=3)+P(X=4)的值（3）先判断ζ的所有可能取值，再分别求出ζ相应取值的概率，即可以列出分布列

解析 依题意，这四个人中每个人去参加甲游戏的概率为1/3去参加乙游戏的概率为2/3
设“4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0,1,2,3,4）
则
（1） 这4个人中有2个人去参加甲游戏的概率为
（2） 设“4个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，，两者互斥，故
所以4个人中去参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为1/9
（3） ζ的所有可能取值为0，2,4
由于A1，A3互斥，A0，A4互斥

所以ζ的分布列是
ζ
0
2
4
P
8/27
40/81
17/81
所以Eζ=148/81
【方法点拨】求离散型随机变量的分布时，要应用随机变量分布的性质进行检验，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够判断它服从的二项分布，则此随机变量的概率可直接用二项分布公式求得，因此熟记二项分布的概率公式，可加快解题速度。

22.3
知识清单
离散型随机变量的均值和方差
（1） 若离散型随机变量Ｘ的概率分布为，则称Ｅ(X)=①_______为随机变量X的数学期望或均值，。
若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，数学期望E(Y)=②_______,E(aX+b)=③_______,若④_______，若⑤_______。
（2） 方差，把，叫做随机变量X的方差，标准差σ=⑥_______其中。
若⑦_______
若
知识清单答案
① ② ③ ④np ⑤ ⑥⑦
突破方法
方法 如何解答离散型随机变量的均值和方差
例 （2013江苏扬州三模，24,10分）某区组织群众性登山健身活动，招募N名师生志愿者，现在将所有志愿者按年龄情况分为15~20,20~25,25~30,30~35,35~40,40~45六个层次，其频率分布直方图如下所示，知30~35间志愿者共8人

（1） 求N和20~30间的志愿者人数N1；
（2） 已知20~25和30~35之间各有2名英语老师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名英语老师的概率；
（3） 组织者从35~40之间的志愿者（其中4名女老师，其余全是男老师）中随机选3名担任后勤工作，其中女老师的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望
解题思路 本题将传统的频率分布直方图背景赋予数学期望，既为频率分布直方图输送新鲜的血液，又为数学期望找到了坚实的着陆点。
解析 （1）设频率分布直方图中6个层次的频率为,
，由题意，而=0.6
所以20~30之间的志愿者人数
（2） 人
设从20~25之间各有2名担任接待工作，其中至少有1名英语老师的时间B，从30~35之间选取2人担任接待工作，其中至少1名英语老师为事件Ｃ，两组的选择互不影响，故为相互独立事件。

Ｂ与C为相互独立事件，同时发生可记作，
（3）35~45之间有人，其中4人为女老师，2人为男老师，从中选3人，则女老师可能的取值为1,2,3

分布列为
ξ
1
2
3
P
1/5
3/5
1/5
所以数学期望Eξ=1/5+6/5+3/5=2
【方法点拨】解离散随机变量的期望与方差的考题主要要过两关：一是事理关，读懂题意，需要一定的审题能力，二是数理关，即构建数学模型（如二项分布，超几何分布，独立事件，古典概型等）构建后还需要有扎实的基础知识和较强的数理能力。