2、答案：D
3．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B.
C. D．2
解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.
答案：B
4．函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C．4 D.
解析：作出该分段函数的图象可知S＝(x＋2)dx＋2cosxdx＝(x2＋2x)＋2sinx＝2＋2＝4.
答案：C
5．函数F(
3、x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：F(x)＝t(t－4)dt＝(t2－4t)dt
＝(t3－2t2)＝x3－2x2，
函数F(x)的极值点为x＝0，x＝4，F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－，
故F(x)有最大值0，最小值－.
答案：B
6．已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于( )
A．2 B．1
C．3 D．4
解析：由消去y得x2－kx＝0，
所以x＝
4、0或x＝k，则阴影部分的面积为
(kx－x2)dx＝(kx2－x3)＝.
即k3－k3＝，解得k＝3.
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知t>1，若(2x＋1)dx＝t2，则t＝________.
解析：(2x＋1)dx＝(x2＋x)＝t2＋t－2，
从而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.
答案：2
8．一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为________．
解析：由定积分的物理意义有：
s＝(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)
＝7890(m)．
∴＝＝＝263(m/s)．
答
5、案：263 m/s
9．设n＝(3x2－2)dx，则(x－)n展开式中含x2项的系数是________．
解析：∵(x3－2x)′＝3x2－2，
∴n＝(3x2－2)dx＝(x3－2x)
＝(23－2×2)－(1－2)＝5.
∴(x－)5的通项公式为
Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝(－2)rCx，5－＝2，得r＝2，
∴x2项的系数是(－2)2C＝40.
答案：40
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．求下列定积分．
(1)(x－x2＋)dx；(2)(cosx＋ex)dx.
解：(1)(x－x2＋)dx＝xdx－x2dx＋dx
＝－＋lnx＝－＋ln2＝ln2－
6、
(2)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx
＝sinx＋ex＝1－.
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：
直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)．
解：由f(0)＝0得c＝0，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由[－f(x)]dx＝得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2.
12．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得，即.
∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋(2－a)x]＝2－a＝－2，
∴a＝6，∴c＝－4.
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，
所以当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
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