偏微分方程分类与标准型.ppt

第第第第2 22 2章章章章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型二阶线性偏微分方程的分类与标准型二阶线性偏微分方程的分类与标准型二阶线性偏微分方程的分类与标准型 2.1 2.1 2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解常微分方程的解常微分方程的解(复习复习复习复习)2.2 2.2 2.2 2.2 二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类 2.3 2.3 2.3 2.3 二阶线性偏微分方程简化二阶线性偏微分方程简化二阶线性偏微分方程简化二阶线性偏微分方程简化 2.4 2.4 2.4 2.4 三类方程的简化形式三类方程的简化形式三类方程的简化形式三类方程的简化形式2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解(复习复习)一一.二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式二二.二阶常系数线性齐次微分方程的解二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：特征根：(1)(1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：齐次方程的通解为：齐次方程的通解为：特解为：特解为：(3)(3)有一对共轭复根时有一对共轭复根时齐次方程的通解为齐次方程的通解为特征根为：特征根为：特解为：特解为：(2)(2)有两个相等的实根时有两个相等的实根时小结：二阶常系数线性齐次微分方程解小结：二阶常系数线性齐次微分方程解特征根：特征根：齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：利用了欧拉公式利用了欧拉公式例例:求下列方程的通解求下列方程的通解解解 (1)(1)特征方程为特征方程为所以方程的通解所以方程的通解为解得解得所以方程的通解所以方程的通解为解得解得(2)(2)特征方程为特征方程为所以方程的通解所以方程的通解为 (3)(3)特征方程为特征方程为解得解得解解 特征方程为特征方程为即即特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得例例:求求 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解.将将 、代入以上二式代入以上二式,得得解此方程组，得解此方程组，得所以所求特解为所以所求特解为(2)(2)对应齐次方程为：对应齐次方程为：(3)(3)通解结构通解结构:三三.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程(1)(1)非齐次线性方程通式：非齐次线性方程通式：2.二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类1.1.一般形式及分类判别一般形式及分类判别其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。2.2.二阶主部为：二阶主部为：3.3.判别式及分类：判别式及分类：双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型判断下列方程的类型判断下列方程的类型思考：思考：3 3.方程简化方程简化1.1.线性二阶偏微分方程的一般形式线性二阶偏微分方程的一般形式(2(2个自变量个自变量)其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。n个自变量：个自变量：其中其中 是自变量是自变量 的函数的函数2.变量替换与变量替换与方程转型方程转型(1)变量代换：变量代换：(2)一般式转为：一般式转为：系数为：系数为：变量替换是研究偏微分方变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。换，可简化方程、易求解。注：变量替换必须为注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换非奇异变换：雅克比非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点行列式在点(x0,y0)不等于零，即：不等于零，即：则：在点则：在点(x0,y0)附近变换是可逆的。附近变换是可逆的。3.方程简化方程简化4.求特解求特解构造一阶偏微分方程：构造一阶偏微分方程：求一个特解求一个特解 ，则：，则：再求另一个特解再求另一个特解 ，则，则A22=0偏微分方程转偏微分方程转为常微分方程为常微分方程5 5.特征方程与特征曲线特征方程与特征曲线1.1.特征方程：特征方程：2.2.解：解：3.3.特征曲线：特征曲线：例例2.1.12.1.1 判断偏微分方程类型并化简：判断偏微分方程类型并化简：解：解：特征方程特征方程特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：令：令：双曲型方程双曲型方程例例2.1.32.1.3 设常数设常数A,B,C满足满足m1、m2是如下方程的两个根是如下方程的两个根的通解为：的通解为：证明二阶线性偏微分方程证明二阶线性偏微分方程证明：设证明：设则：则：4 三类方程的简化形式三类方程的简化形式当当 时，给出一族实的特征曲线时，给出一族实的特征曲线取取 则则方程变为方程变为若再作若再作 则上述方程变为：则上述方程变为：1.1.双曲方程型方程：双曲方程型方程：当当 时，只有一个解时，只有一个解 它只能给出一个实的特征线，它只能给出一个实的特征线，。取与。取与 函数无关的函数无关的 作为另一个新的变量作为另一个新的变量则有：则有：2.2.抛物型方程：抛物型方程：当当 时，给出一族复特征线时，给出一族复特征线在该变换下：在该变换下：且方程化为：且方程化为：令令 则有：则有：3.3.椭圆型方程：椭圆型方程：小结：三种方程的标准型式：小结：三种方程的标准型式：例题例题1 1：分类并标准化方程：分类并标准化方程：解：该方程的解：该方程的故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。特征方程：特征方程：从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：自变量代换自变量代换(由于由于和和必须函数无关必须函数无关,所以所以宜取最宜取最简单的函数形式简单的函数形式,即即=x 或或=y)原方程化简后的标准形式为：原方程化简后的标准形式为：特征的解：特征的解：例例2 2.判断偏微分方程类型并化简：判断偏微分方程类型并化简：解：解：故故 故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程故有故有 或或 取新变量取新变量 则则或或 解为解为例例2(续续)，代入原方程得：代入原方程得：即：即：例例3 3.判断偏微分方程的类型并化简：判断偏微分方程的类型并化简：解：解：特征方程特征方程特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：令：令：双曲型方程双曲型方程第二章：第二章：复习思考题与作业复习思考题与作业一写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特 征根。征根。二二.简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。三三.写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。四四.解释何谓自变量非奇异变换。解释何谓自变量非奇异变换。五五.简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。六六.书习题书习题2：1（1）（）（2）；）；2（2）（）（3）；）；7七七.课堂练习：课堂练习：P41:2（1）感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！