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4.2 一维单原子链一维单原子链 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 一维无限原子链一维无限原子链 每个原子质量每个原子质量m，平衡时原子间距，平衡时原子间距a 原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开个原子离开平衡位置的位移平衡位置的位移第第n个原子和第个原子和第n1个个原子间的相对位移原子间的相对位移第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原子间的距离平衡位置时，两个原子间的互作用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移发生相对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能 常数常数简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 平衡条件平衡条件原子的运动方程原子的运动方程 只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力第第n个原子的运动方程个原子的运动方程 每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似 方程的数目和原子数相同方程的数目和原子数相同方程解和振动频率方程解和振动频率 设方程组的解设方程组的解naq 第第n个原子振动位相因子个原子振动位相因子得到得到格波的波速格波的波速 波长的函数波长的函数 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱格波的意义格波的意义连续介质波连续介质波波数波数 格波和连续介质波具有完全类似的形式格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有原子同时做频率为一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动的振动格波方程格波方程 格波的波形图格波的波形图 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波 向向上上的的箭箭头头代代表表原子沿原子沿X轴向右振动轴向右振动 向向下下的的箭箭头头代代表表原子沿原子沿X轴向左振动轴向左振动格波波长格波波长格波波矢格波波矢格波相速度格波相速度不同原子间位相差不同原子间位相差格波方程格波方程相邻原子的位相差相邻原子的位相差波矢的取值和波矢的取值和布里渊区布里渊区格波格波相邻原子位相差相邻原子位相差 原子的振动状态相同原子的振动状态相同格波格波2(Green)波矢波矢格波格波1(Red)波矢波矢相邻原子位相差相邻原子位相差相邻原子的位相差相邻原子的位相差 两种波矢的格波中，两种波矢的格波中，原子的振动完全相同原子的振动完全相同波矢的取值波矢的取值相邻原子的位相差相邻原子的位相差 第一布里渊区第一布里渊区 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 其它区域不能提供新的物理内容其它区域不能提供新的物理内容玻恩卡门（玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件）周期性边界条件:q的取值的取值!一一维维单单原原子子晶晶格格看看作作无无限限长长，所所有有原原子子是是等等价价的的，每每个个原子的振动形式都一样原子的振动形式都一样 实实际际的的晶晶体体为为有有限限，形形成成的的链链不不是是无无穷穷长长，链链两两头头的的原原子不能用中间原子的运动方程来描述子不能用中间原子的运动方程来描述 N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点处理问题时要考虑到处理问题时要考虑到环链的循环性环链的循环性N很大，原子运动近似很大，原子运动近似为直线运动为直线运动设第设第n个原子的位移个原子的位移再增加再增加N个原子之后，第个原子之后，第N+n个原子的位移个原子的位移则有则有要求要求 h为整数为整数波矢的取值范围波矢的取值范围h N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值 第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状态个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数第一布里渊区状态数波矢波矢格波的色散关系格波的色散关系频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性色散关系曲线具有周期性 q空间的周期空间的周期频率极小值频率极小值频率极大值频率极大值只有频率在只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减其它频率的格波被强烈衰减 一维单原子晶格看作成低通滤波器一维单原子晶格看作成低通滤波器色散关系色散关系讨论讨论:A)格波传播频率和速度格波传播频率和速度:当当 一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致色散关系一致1)格波格波 长波极限情况长波极限情况:连续介质的伸长弹性模量连续介质的伸长弹性模量连续介质介质密度连续介质介质密度 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质B)长波极限下长波极限下,相邻两个原子之间的位相差相邻两个原子之间的位相差2)格波格波 短波极限情况短波极限情况:物理意义物理意义:1)相邻两个原子振动的位相相邻两个原子振动的位相相反相反;2)此时格波形成驻波此时格波形成驻波;B)相邻两个原子之间的位相差相邻两个原子之间的位相差:=A)格波传播频率和速度格波传播频率和速度:3)布里渊区布里渊区!&原子位移和简正坐标的关系原子位移和简正坐标的关系:第第q个格波引起第个格波引起第n个原子位移个原子位移第第n个原子总的位移个原子总的位移令令原子坐标和简正坐标的线性变换原子坐标和简正坐标的线性变换 线性变换为么正变换线性变换为么正变换则则:Q简正坐标简正坐标:动能和势能的形式都有平方和的形式动能和势能的形式都有平方和的形式.N项独立的模式，具有正交性项独立的模式，具有正交性原子位移原子位移 为实数为实数,则则:(2)正交性正交性(1)(1)证明证明1):原子位移为实数原子位移为实数,则则:同时可写为同时可写为:(2)证明证明2):A)当当q=q时时:(2)显然成立显然成立.B)当当q-q=s时时证明完毕证明完毕.下面证明下面证明:动能和势能的形式都有平方和的形式动能和势能的形式都有平方和的形式.动能的正则坐标表示动能的正则坐标表示:(2)(1)动能具有平方和的形式动能具有平方和的形式.势能势能将将 代入得到代入得到哈密顿量哈密顿量 系统复数形式的简正坐标系统复数形式的简正坐标系统势能系统势能实数形式的简正坐标实数形式的简正坐标令令哈密顿量哈密顿量能量本征值能量本征值声子声子 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为当这种振动模处于当这种振动模处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子本征态函数本征态函数 由由N个原子组成的一维单原子链个原子组成的一维单原子链,其振动模式为其振动模式为N个相互独立个相互独立的的(正交正交)格波格波,格波的振幅对应着简正坐标格波的振幅对应着简正坐标,一个简正坐标对应一一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数,振振动能级是量子化的动能级是量子化的.1)声子是晶格振动的能量量子声子是晶格振动的能量量子 声子的概念：声子的概念：2)一一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成个原子组成的一维单原子链，有的一维单原子链，有N个格波，即有个格波，即有N种声子种声子,nj：声子数：声子数 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式振动称为一种振动模式能量本征值：能量本征值：3)当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为为 单元交换能量单元交换能量;5)声子的作用过程遵从能量守恒和准动守恒声子的作用过程遵从能量守恒和准动守恒 6)由由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：为：4)声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，但声子只是，但声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子体而单独存在，它并不是一种真实的粒子,只是一种准只是一种准粒子粒子4.3 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M:(M m)构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1，2n+1，2n+3 m原子位于原子位于2n，2n+2，2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a:晶格常数晶格常数 系统有系统有N个个原胞原胞 N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子两种原子振动的振幅振动的振幅A和和B一般来说一般来说是不同的是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式 A、B有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波 与与q之间存在着两之间存在着两种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波两种格波的振幅两种格波的振幅:光学波光学波 声学波声学波相邻原胞之间位相差相邻原胞之间位相差 M和和m原子振动方程原子振动方程q的取值的取值:波矢波矢q的值的值 第一布里渊区第一布里渊区采用周期性边界条件采用周期性边界条件布里渊区大小布里渊区大小 h为整数为整数每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支有两支格波：一支声学波声学波和一支和一支光学波光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N：原子的数目原子的数目:2Nq的取值的取值:A)长波极限长波极限1)声学波声学波:应用应用 声学波的色散关系与声学波的色散关系与一维布喇菲格子形式相同一维布喇菲格子形式相同色散关系的特点色散关系的特点:长波极限下长波极限下 声学波中相邻原子的振动声学波中相邻原子的振动:原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动2)光学波光学波 长波极限长波极限 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动色散关系的特点色散关系的特点:B)短波极限短波极限两种格波的频率两种格波的频率因为因为 Mm 不存在格波不存在格波频率间隙频率间隙 一维双原子晶格一维双原子晶格叫做带通滤波器叫做带通滤波器短波极限短波极限1)声学波声学波说明说明:A0!质量小的原子不动质量小的原子不动!短波极限短波极限1)光学波光学波说明说明:B0!质量大的原子不动质量大的原子不动!例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算计算1)光光学学波波频频率率的的最最大大值值 和和最最小小值值 ，声声学学波波频频率率的最大值的最大值 ；2)相应声子的能量相应声子的能量 ,和和 ；3)在在 下，三种声子数目各为多少？下，三种声子数目各为多少？4)如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？波长在什么波段？1)声学波的最大频率声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率光学波的最小频率2）相应声子的能量）相应声子的能量 3)认为声子是独立的，形成无相互作用的声子气体，不认为声子是独立的，形成无相互作用的声子气体，不受泡利原理的限制，属于玻色子系统。声子数不守恒。受泡利原理的限制，属于玻色子系统。声子数不守恒。当系统处于热平衡状态时，频率为当系统处于热平衡状态时，频率为 的格波的平均声的格波的平均声子数由玻色统计给出：子数由玻色统计给出：而其平均能量为：而其平均能量为：光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目4）如如果果用用电电磁磁波波激激发发光光学学波波，要要激激发发 的的声声子子所所用用的的电电磁磁波波长在什么波段？波波长在什么波段？对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长要激发的声子所用的电磁波波长在远红外线波段要激发的声子所用的电磁波波长在远红外线波段近红外光区（近红外光区（0.75 2.5m）中红外光区（中红外光区（2.5 25m）远红外光区（远红外光区（25 1000m）4.4 三维晶格的振动三维晶格的振动 三维复式格子三维复式格子各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子第第k个原子运动方程个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个长波极限长波极限3个个 趋于一致趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波3n3支光学波：支光学波：描述一个原胞中各原子间的相对运动描述一个原胞中各原子间的相对运动结结论论：晶晶体体中中一一个个原原胞胞中中有有n个个原原子子组组成成，对对每每一一个个q,有有3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波.波矢波矢 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢三维晶格中的波矢三维晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 3个系数个系数采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件:波矢波矢q:波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状态密度状态密度波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振动波函数原子振动波函数波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间位相联系不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样原子振动状态一样q的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区 个取值个取值对应于一个波矢对应于一个波矢q:3支声学波支声学波和和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目 晶体中原子的坐标数目晶体中原子的坐标数目晶格振动总的能量晶格振动总的能量 晶格振动能量量子晶格振动能量量子 声子声子_Phonon此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！