心理统计学--概率基础.ppt

扩展用概率判生死法庭上的数学证据 计数基本法则计数基本法则有两个试验，其中试验1有m种可能发生的结果，对应于试验1的每一个结果，试验2有n种可能发生的结果，则对这两个试验来说，一共有mn种可能结果。如果有r个试验，一共有n1 n2 nr 种可能结果。排列方式排列方式假设有n个元素，按随意顺序来排列，则一共有n!种不同的排列方式。如a，b，c三个字母随机排列。则有：abc，acb，bac，bca，cab及cba六种。推论统计的作用是以样本数据作为基础来回答关于总体的问题。而样本和总体的关系经常根据概率来定义。例如：例如：假设你从有50个白球、50个黑球的罐子里拿出一个球如果罐子里有90个黑球，10个白球总体体样本本但是推论统计做的恰好相反：是从是从样本本总体体如如：前例中的两个罐子（一个装了90个黑球，一个装了50个黑球。）假设抽取样本的时候把你的眼睛蒙住，你的任务是根据样本确定你是从哪个罐子抽取的。如果你选择了一个n=4个球的样本，并且所有球都是黑色的，那么这个样本来自于哪个罐子？1、确定现象2、随机现象表明随机事件出现可能性大小的客观指标就是概率（probability）一、概率的定义样本空间和事件假设某次试验的结果是不可预测、不可确定的。然而，尽管试验之前无法得知结果，但是假设所有可能的结果的集合是知道的。所有可能的结果构成的集合，称为该试验的样本空本空间。如，1.新生婴儿的性别集合=g,b 2.一共有7批马参加赛马比赛，分别是1,2,3,4,5,6,7号。其比赛结果的集合=（1,2,3,4,5,6,7）的所有7！种排列事件样本空本空间的任一子集称的任一子集称为事件事件。在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：C1=出现出现 1 点点；C2=出现出现 2 点点；C3=出现出现 3 点点；C4=出现出现 4 点点；C5=出现出现 5 点点；C6=出现出现 6 点点；D1=出现的点数不大于出现的点数不大于 1；D2=出现的点数大于出现的点数大于 3；D3=出现的点数小于出现的点数小于 5；E=出现的点数小于出现的点数小于 7;F=出现的点数大于出现的点数大于 6;G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数;H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数;一般地，对于事件一般地，对于事件A与事件与事件B，如果事件，如果事件A发生，则事件发生，则事件B一定发生，这时称一定发生，这时称事件事件B包含事件包含事件A（或称（或称事件事件A包含于事件包含于事件B）,记作记作 。事件的关系和运算：事件的关系和运算：BA如图：如图：例例.事件事件C1=出现出现 1 点点 发生，则事件发生，则事件 H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 也也 一定会发生，所以一定会发生，所以 .注：注：不可能事件记作不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。，任何事件都包括不可能事件。（1）包含包含关系关系事件的关系和运算：事件的关系和运算：（2）相等相等关系关系 一般地，对事件一般地，对事件A与事件与事件B，若，若 ，那么称，那么称事件事件A与事件与事件B相等相等，记作，记作A=B。B A如图：如图：例例.事件事件 C1=出现出现1 点点 发生，则事件发生，则事件 D1=出现的点数不大于出现的点数不大于 1 就一定会发生，反过来也一样，所以就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1。事件的关系和运算：事件的关系和运算：（3）并并事件（事件（和和事件）事件）若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件发生或事件B发生，则称此事件发生则称此事件为事件为事件A和事件和事件B的的并事件并事件（或（或和事件和事件），记作），记作 。B A如图：如图：例例.若事件若事件 J=出现出现 1 点或点或 5 点点 发生，则发生，则 事件事件C1=出现出现 1 点点 与事件与事件 C5=出现出现 5 点点 中至少有一个会发生，则中至少有一个会发生，则 .事件的关系和运算：事件的关系和运算：（4）交交事件（事件（积积事件）事件）若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件发生且事件B发生，则称此事件发生，则称此事件为事件为事件A和事件和事件B的的交事件交事件（或（或积事件积事件），记作），记作 。B A如图：如图：例例.若事件若事件 M=出现出现 1 点且点且 5 点点发生，则发生，则 事件事件 C1=出现出现 1 点点 与事件与事件 C5=出现出现 5 点点 同时发生，则同时发生，则 .事件的关系和运算：事件的关系和运算：即书上说的互不相容事件即书上说的互不相容事件 若若 为不可能事件（为不可能事件（），那么称事件），那么称事件A与事与事件件B互斥互斥，其含义是：，其含义是：事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中都不会同在任何一次试验中都不会同时发生时发生。AB如图：如图：例例.因为事件因为事件 C1=出现出现 1 点点 与事件与事件C2=出现出现 2 点点不可能同时发不可能同时发 生，故这两个事件互斥。生故这两个事件互斥。（5）互斥互斥事件事件事件的关系和运算：事件的关系和运算：（6）互为对立事件）互为对立事件 若若 为不可能事件，为不可能事件，为必然事件，那么称事件为必然事件，那么称事件A与事件与事件B互为对立事件互为对立事件，其含义是：，其含义是：事件事件A与事件与事件B在任何一次试在任何一次试验中有且仅有一个发生验中有且仅有一个发生。AB如图：如图：例例.事件事件G=出现的点数为偶数出现的点数为偶数与事件与事件H=出现的点数为奇数出现的点数为奇数 即为互为对立事件。即为互为对立事件。3、概率的统计定义例如：从一副扑克牌中抽出一张红桃K的概率是多少？硬币朝向试验硬币朝向试验试验者试验者抛掷次数抛掷次数正面朝上次数正面朝上次数 正面朝上比率正面朝上比率德摩根德摩根蒲丰蒲丰皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊20484040120002400010612048601912012.5181.5069.5016.50054、概率的古典定义例如：一副扑克牌是54张不同的牌，即有54个基本事件，红桃k是其中一个基本事件，那么随机抽取抽中红桃k的概率就是1/54(二)概率的基本性质1、概率的公理系统2、概率的加法和乘法定理概率的加法概率的加法(additional rule)在在一一次次试验中中不不可可能能同同时出出现的的事事件件称称为互互不不相相容容的的事事件。件。两两个个互互不不相相容容事事件件和和的的概概率率，等等于于这两两个个事事件件概概率率之之和和。用公式表示用公式表示为：P(A+B)=P(A)+P(B)其推广形式是其推广形式是P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)概率的广概率的广义加法定理加法定理设A、B为任任意意两两个个随随机机事事件件，则它它们的的和和的的概概率率，等等于于事事件件A发生生的的概概率率加加上上事事件件B发生生的的概概率率再再减减去去A、B同同时发生的概率，即生的概率，即P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)例例题一一某大学有某大学有50%的学生喜的学生喜欢看足球比看足球比赛，40%的喜的喜欢看看篮球比球比赛，30%两者都喜两者都喜欢。问，从，从该校任意抽取一名学生，他校任意抽取一名学生，他爱看足看足球比球比赛或或篮球比球比赛的概率是多少？的概率是多少？例例题一解答一解答设喜欢看足球比赛学生比例为P(A)；喜喜欢看看篮球比球比赛学生的比例学生的比例为P(B)；则两者都喜两者都喜欢的比例的比例为P(AB)。爱看足球比看足球比赛或或篮球比球比赛的比例的比例为P(AB)。根据概率的广义加法定义 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)得到得到P(AB)=50%+40%-30%=60%概率的乘法概率的乘法(multiplication rule)A事事件件出出现的的概概率率不不影影响响B事事件件出出现的的概概率率，这两两个个事事件件为独立事件。独立事件。两两个个独独立立事事件件积的的概概率率，等等于于这两两个个事事件件概概率率的的乘乘积。用公式表示用公式表示为：P(A B)=P(A)P(B)其推广形式是其推广形式是P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)练习B1.某人度假时带了两本书。他喜欢第一本书的概率是0.5，喜欢第二本书的概率是0.4，两本书都喜欢的概率是0.2，问两本书都不喜欢的概率是多少？2.一个碗里有6个白球，5个黑球，随机地从里面取出3个球，问恰好有一个白球两个黑球的概率是多少？3.在一副牌中（去除joker），选取5张连续的，但却不是同一花色的牌组（顺子）的概率是多少？条件概率条件概率(conditional probability)如果如果A、B是一定条件是一定条件组下的两个随机事件，且下的两个随机事件，且P(B)0，则称在称在B发生的前提下生的前提下A发生的概率生的概率为条件条件概率概率例二例二老猫为选修法语课还是选修日语课这件事犹豫不决，他估计如果选修日语课，获得“A”等成绩的概率为1/2，而如果选修法语课，则获得“A”等成绩的概率为2/3.如果老猫通过掷硬币来做决定，问他将选修法语课，并获得“A”等成绩的概率是多大？练习某大学的女生占学生某大学的女生占学生总数的数的70%，该校四年校四年级女生占全女生占全校学生校学生总数的数的10%。现在有一女生，在有一女生，问她是四年她是四年级的概的概率是多大？率是多大？解：解：设随机事件随机事件A为“抽到四年抽到四年级学生学生”随机事件随机事件B为“抽到女生抽到女生”则AB表示表示“抽到四年抽到四年级女生女生”，且，且P(AB)=0.10现在在B已已经发生，生，则此此时事件事件A的条件概率的条件概率为P(AB)=P(AB)/P(B)=0.10/0.70=0.1429例例题三三在在一一个个城城市市中中，有有两两个个出出租租车公公司司。甲甲公公司司车辆占占85%，乙乙公公司司占占15。根根据据记录知知道道，两两公公司司司司机机被被投投诉的的比比率率分分别为5%和和4%，现任任意意抽抽取取一一名名司司机机，问他他被被投投诉过的概率是多少？的概率是多少？例例题三解答三解答设事件B为司机被投诉事件A1为抽取的司机属于甲公司事件A2为抽取的司机属于乙公司P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=0.850.05=0.0425P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=0.150.04=0.0060P(B)=P(BA1)+P(BA2)=0.0425+0.0060=0.0485 以上公式推广到一般情况，即全概率公式以上公式推广到一般情况，即全概率公式扩展展全概率与全概率与贝叶斯公式叶斯公式练习有甲乙丙3名被试参加一个心理学测验，测验要求他们合作完成一项任务：制作一批纸品。结果，甲制作了所有纸品的35%，乙制作了40%，丙制作了25%甲的次品率为1%，乙为1.5%，丙为1%。现在抽出一个纸品发现是次品，问这个次品分别是甲乙丙制作的概率是多少？扩展展语音识别、机器翻译的实现 我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题。如果如果 S 表示一连串特定顺序排列的词表示一连串特定顺序排列的词 w1，w2，wn，换句话说，S 可以表示某一个由一连串特定顺序排练的词而组成的一个有意义的句子。现在，机器对语言的识别从某种角度来说，就是想知道 S 在文本中出现的可能性，也就是数学上所说的 S 的概率用 P(S)来表示。利用条件概率的公式利用条件概率的公式，S 这个序列出现的概率等于每一个词出现的概率相乘，于是 P(S)可展开为：P(S)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w1 w2)P(wn|w1 w2wn-1)其中 P(w1)表示第一个词 w1 出现的概率；P(w2|w1)是在已知第一个词的前提下，第二个词出现的概率；以次类推。不难看出，到了词 wn，它的出现概率取决于它前面所有词。从计算上来看，各种可能性太多，无法实现。因此我们假定任假定任意一个词意一个词wi 的出现概率只同它前面的词的出现概率只同它前面的词 wi-1 有关有关(即马尔可夫马尔可夫假设假设），于是问题就变得很简单了。现在，S 出现的概率就变为：P(S)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w2)P(wi|wi-1)(当然，也可以假设一个词又前面 N-1 个词决定，模型稍微复杂些。）接下来的问题就是如何估计 P(wi|wi-1)。现在有了大量机读文本后，这个问题变得很简单，只要数一数这对词（wi-1,wi)在统计的文本中出现了多少次，以及 wi-1 本身在同样的文本中前后相邻出现了多少次，然后用两个数一除就可了,P(wi|wi-1)=P(wi-1,wi)/P(wi-1)。（三）概率分布（概率分布（probability distribution是指是指对随机随机变量取量取值的概率分布情况用数的概率分布情况用数学方法（函数）学方法（函数）进行描述。行描述。1、离散型随机、离散型随机变量量2、连续型随机型随机变量量例4.1N=10,分数值为1，1，2，3，3，4，4，4，5，6如果你从中选择了一个n=1的随机分数，得到的分数大于4的概率是多少？用概率符号表示：p(X4)=?二、二二、二项分布（分布（bionimal distribution）二二项分布是一种离散型随机分布是一种离散型随机变量的概率量的概率分布，是两个分布，是两个对立事件的概率分布。立事件的概率分布。（一）二项实验 第三个条件有时难以保证。（二）二项分布具体定具体定义：设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率是q（等于1-p），则对于某事件出现k次（0,1,2,.,n）的概率分布为：这里为二项式系数，或记为图图4.1 九个二项分布九个二项分布B(5,p)(p0.1到到0.9)的概率分布图的概率分布图（三）二（三）二项分布的性分布的性质（四）二（四）二项分布的分布的应用用三、正态分布它是连续型随机变量中常见的一种概率分布形态，因此也称常态分布。在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。概率密度函数概率密度函数 想想象象连续变量量观测值的的直直方方图；如如果果其其纵坐坐标为相相对频数数，那那么么所所有有这些些矩矩形形条条的的高高度度和和为1；完完全全可可以以重重新新设置置量量纲，使使得得这些些矩矩形形条条的的面面积和和为1。不不断断增增加加观测值及及直直方方图的的矩矩形形条条的的数数目目，直直方方图就就会会越越来来越越像像一一条条光光滑滑曲曲线，其其下下面面的的面面积和和为1。该曲曲线即即所所谓概概率率密密度度函函数数(probability density function，pdf)，简称称密密度度函函数数或或密密度度。下下图为这样形成的密度曲形成的密度曲线。逐渐增加矩形条数目的直方图和一个逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。形状类似的密度曲线。连续变量量落落入入某某个个区区间的的概概率率就就是是概概率率密密度度函函数数的的曲曲线在在这个个区区间上上所所覆覆盖盖的的面面积；因因此此，理理论上上，这个个概概率率就就是是密密度度函函数数在在这个个区区间上的上的积分。分。对于于连续变量量，取取某某个个特特定定值的的概概率率都都是是零零，而而只只有有变量量取取值于于某某个个（或或若若干干个个）区区间的的概率才可能大于概率才可能大于0。连续变量量密密度度函函数数曲曲线（这里里用用f表表示示）下下面面覆盖的覆盖的总面面积为1，即，即（一）正（一）正态分布密度函数分布密度函数（二）正（二）正态分布的特征分布的特征1、对称。2、正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降先向内弯，然后向外弯曲，拐点位于正负一个标准差处。曲线两端向靠近基线处无限延伸，但终不能与基线相交。3、正态曲线下的面积为1，左右各为0.5。正态曲线下的面积可视为概率。4、正态分布是一族分布。5、正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系。图1标准差不同的正准差不同的正态分布形式分布形式图2正正态曲曲线下下单位位标准差面准差面积比例比例当当然然，和和所所有有连续变量量一一样，正正态变量量落落在在某某个个区区间的的概率就等于在概率就等于在这个区个区间上，密度曲上，密度曲线下面的面下面的面积。比比如如，标准准正正态分分布布变量量落落在在区区间(0.51,1.57)中中的的概概率率，就是在就是在标准正准正态密度曲密度曲线下面在下面在0.51和和1.57之之间的面的面积。很很容容易易得得到到这个个面面积等等于于0.24682；也也就就是是说，标准准正正态变量量在在区区间(0.51,1.57)中中的的概概率率等等于于0.24682。如如果果密密度度函数函数为f f(x)，那么，那么这个面个面积为积分分标准正态变量在区间标准正态变量在区间(0.51,1.57)中的概率中的概率（三）正态分布表正正态分布密度函数公式分布密度函数公式NBA2008-2009赛季球员投篮命中率次数多边形图赛季球员投篮命中率次数多边形图资料来源：SOHU NBA数据中心（四）正态分布理论在测验中的应用1、确定分数线2、确定能力分组或等级评定的人数3、等级评定数量化4、确定测验题目的难易度作业一一枚硬一枚硬币投投掷三次，三次，问出出现两次或两次两次或两次以上正面的概率是多少？以上正面的概率是多少？可能出现的结果是：正正正、正正反、正反正、反正正反反正、反正反、正反反、反反反每种结果可能出现的概率：两次或两次以上正面的概率是：作作业二、三二、三2、成人身高形成了一个正态分布，平均数为165cm,，标准差是15cm。随机从这个总体中选择一个个体，身高大于195cm的概率是多少？3、找到正态分布中于下列部分相应的比例：Z+0.80 Z-0.33 Z-0.50作作业4、1个硬币掷个硬币掷6次，次，3次正面向上的概率是多少次正面向上的概率是多少？3次及次及3次以上正面向上的概率是多少？次以上正面向上的概率是多少？5、自一副洗好的纸牌中每次抽取一张，抽取下、自一副洗好的纸牌中每次抽取一张，抽取下列纸牌的概率是多少？列纸牌的概率是多少？一张一张K？一张梅花？一张梅花？一张红桃？一张红桃？一张黑心？一张黑心？一张不是一张不是J、Q、K的黑桃？的黑桃？作作业6、在、在单位正位正态分布中，找出有下列个分布中，找出有下列个案百分数的案百分数的标准准测量量Z的的值。85 55 35 42.3 9.4