6.4--基变换与坐标变换复习课程.ppt

第六章第六章 线性空间线性空间2 2 线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质与简单性质与简单性质与简单性质3 3 维数维数维数维数 基与坐标基与坐标基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合集合集合 映射映射映射映射5 5 线性子空间线性子空间线性子空间线性子空间7 7 子空间的直和子空间的直和子空间的直和子空间的直和8 8 线性空间的同构线性空间的同构线性空间的同构线性空间的同构6 子空间的交与和子空间的交与和主要内容主要内容基变换基变换基变换基变换第四节第四节 基变换与坐标变换基变换与坐标变换坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式举例举例举例举例向量的形式意义及运算向量的形式意义及运算向量的形式意义及运算向量的形式意义及运算我我们们知知道道，在在n维维线线性性空空间间V中中，任任意意n个个线线性性无无关关的的向向量量都都可可取取作作线线性性空空间间V的的一一组组基基V中中任任一一向向量量在在某某一一组组基基下下的的坐坐标标是是唯唯一一确确定定的的，但但是是在在不不同同基基下下的的坐坐标标一一般般是是不不同同的的因因此此在在处处理理一一些些问问题题是是时时，如如何何选选择择适适当当的的基基使使我我们们所所讨讨论论的的向向量量的的坐坐标标比比较较简简单单是是一一个个实实际际的的问问题题为为此此我我们们首首先先要要知知道道同同一一向向量量在在不不同同基基下下的的坐坐标标之之间间有有什什么么关关系系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.2）一、向量的形式意义及运算一、向量的形式意义及运算3）1 1）若有两组向量）若有两组向量 为为V 中的一组向量，记作中的一组向量，记作 ，称之为称之为向量矩阵向量矩阵,给出定义：给出定义：定义定义定义定义1 1 V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，1.定义定义4 4）V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，为为V 中的一组向量，中的一组向量，若，若 则记作则记作则记作则记作 5 5）V为数域为数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，；为为V中的两组向量，若中的两组向量，若1)1)若若 线性无关，则线性无关，则 2.运算规律运算规律2)2)；为；为V中的两组向量，中的两组向量，矩阵矩阵，则，则；若若 线性无关，则线性无关，则二、基变换二、基变换 为为V 中的一组线性无关向量，而中的一组线性无关向量，而引理引理引理引理 V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，则则 线性无关线性无关1.定义定义定义定义2 设设设设 1 1,2 2,n n 与与与与 1 1 ,2 2 ,n n 是是是是 n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是称称称称(1)(1)为为为为基变换公式基变换公式.2.基变换公式的矩阵形式基变换公式的矩阵形式为了写起来方便，我们引入一种形式的写法为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成一个把基写成一个 1 n 矩阵，于是矩阵，于是(1)可写成如下矩可写成如下矩阵形式：阵形式：矩阵矩阵称为由基称为由基 1,2,n 到到 1 ,2 ,n 的的过渡过渡矩矩阵阵.由于由于 1 ,2 ,n 是线性无关的，所以过渡是线性无关的，所以过渡矩阵矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A是可逆的是可逆的.注意注意:1)1)基变换公式的矩阵形式是基变换公式的矩阵形式是“形式的形式的”.因为因为在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的出毛病的.2)2)过渡矩阵过渡矩阵 A 的第的第 j 列列(a1j,a2j,anj),就是第二组基向量就是第二组基向量 j 在第一组在第一组 1,2,n下的下的坐标坐标.3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵4）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,则由基则由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A-1.5）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为B，则，则由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为AB.3.运算规律运算规律设设 1,2,n 和和 1,2,n 是是 V 中两中两个个向量组，向量组，A=(aij),B=(bij)是两个是两个 n n 矩阵，矩阵，则则1)1)(1,2,n)A)B=(1,2,n)(AB)2)2)(1,2,n)A+(1,2,n)B =(1,2,n)(A+B)；3)3)(1,2,n)A+(1,2,n)A =(1+1,2+2,n+n)A.定理定理2 设设设设 V Vn n 中的元素中的元素中的元素中的元素 ,在基在基在基在基 1 1,2 2,n n 系式系式系式系式(1),(1),则有坐标变换公式则有坐标变换公式则有坐标变换公式则有坐标变换公式下的坐标为下的坐标为下的坐标为下的坐标为(x x1 1 ,x x2 2 ,x xn n )T T.下的坐标为下的坐标为下的坐标为下的坐标为(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T,在基在基在基在基 1 1,2 2,n n若两个基满足关若两个基满足关若两个基满足关若两个基满足关 三三、坐标变换公式、坐标变换公式 证明：证明：因因 由于由于 线性无关线性无关,故即有关系式故即有关系式(2).证毕证毕换公式换公式(1).两种坐标满足坐标变换公式两种坐标满足坐标变换公式(2),则两个基满足变则两个基满足变 这个定理的逆命题也成立这个定理的逆命题也成立.即若任一元素的即若任一元素的过渡矩阵的求法过渡矩阵的求法下坐标，得到下坐标，得到下坐标，得到下坐标，得到A 的第的第 j 列列(a1j,a2j,anj),可得到过渡矩阵可得到过渡矩阵A.方法方法1 1：求出：求出 j （j=1,2,n）在旧基）在旧基 1,2,n如：求基如：求基 1,2,3 在基在基 2,3，1 下的过渡矩阵下的过渡矩阵.方法方法2 2：直接利用矩阵来计算：直接利用矩阵来计算.方法方法3 3：利用矩阵的初等变换计算：利用矩阵的初等变换计算.方法方法4 4：利用单位基计算：利用单位基计算.例例例例 1 1 在在 R 2 中旋转变换中旋转变换四、举例四、举例例例2在在Pn中，求由基中，求由基 到基到基 过渡矩阵其中过渡矩阵其中 解：解：的过渡矩阵及由基的过渡矩阵及由基 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标.而，而，到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 故，由基故，由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为在基下的坐标就是在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为所以在基下的坐标为 例例例例 3 3 在在 P x 4 中取两个基中取两个基及及求由基求由基 1,2,n 到到 1,2,n的过渡矩的过渡矩阵阵和和坐标变换公式坐标变换公式.解解 将将 1,2,3,4 用用 1,2,3,4 表表示示.其中其中由由得得 故过渡矩阵为故过渡矩阵为 A-1B，坐标变换公式为，坐标变换公式为 用矩阵的初等变换求用矩阵的初等变换求 B-1A:行变换行变换行变换行变换中的中的中的中的 B B 变成变成变成变成 E E,则则则则 A A 即变成即变成即变成即变成 B B-1-1A A.计算如下计算如下:把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵(B B|A A)即得即得例例例例 4 4 在在 P 3 中求向量中求向量在基在基下的坐标下的坐标.解解 求向量求向量 在基在基 1,2,3 下的坐标下的坐标,即即阵即得阵即得.矩阵矩阵 A 实施初等行变换实施初等行变换,使之成为行最简形矩使之成为行最简形矩换来求解换来求解:先构造矩阵先构造矩阵 A=(1,2,3,),再对再对用基用基 1,2,3 表示向量表示向量 .用矩阵的初等行变用矩阵的初等行变行变换行变换行变换行变换所以所以则所求坐标为则所求坐标为 小小 结结1.向量形式定义向量形式定义2.基变换基变换3.坐标变换坐标变换 在在P4中，求由基中，求由基 到基到基 的过渡矩阵，其中的过渡矩阵，其中 练练 习习解：设解：设 则有则有 或或，从而有从而有 由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 已知的两组基：已知的两组基：求由基的过渡矩阵，求由基的过渡矩阵，并求矩阵在基下的矩阵并求矩阵在基下的矩阵.思考题思考题解：解：设设A在基下的坐标为在基下的坐标为则则即即A在基下的坐标为在基下的坐标为 P269 9.(1);10 作作 业业