一道数学高考题的分析.doc

一道数学高考题的分析

广东考题：一条双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点．
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值．
说明：
（1）本题有考查知识、思想方法与能力的多项功能，是一道难度较大的综合问题，对考生的数学素养要求较高．
①知识：可以考查双曲线，椭圆，直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识．
②思想方法：可以考查化归与转化、函数与方程、数形结合、分类与整合的数学思想方法；还用到了待定系数法，代入法，消元法（代入消元或整体消元），反证法及设而不求等技巧．
③能力：可以考查推理论证能力，运算求解能力与数学探究能力．
（2）本例有高达52．8%的考生0分，平均得1．47分，难度系数为0．105，这表明本题理论上的潜在功能尚未发挥出来（难度系数低于0．2的考题有“形同虚设”之嫌）．因此，本题还有继续揭示解题思路的必要，为了提高题目的新鲜感和一般性，我们以“推广”的形式来展开，行文中顺便也对题目与解法提出一些商讨性的改变．
如：把题目“只有一个交点”改为“只有一个公共点”．因为直线与圆锥曲线的切点常指两个重合的交点（比如用判别式法时，对应的二次方程是有两个相等的实根、而不是只有一个实根），它与直线交双曲线（或抛物线）于“一个交点”是不同的，此处的“一个交点”有可能给题意带来歧义．
首先给出推广题目．
例：已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点．
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若过点的两条直线、与轨迹都只有一个公共点，且，求的值．
一、第（Ⅰ）问的讲解
分4步作讲解．
1．弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？
我们说条件有5个：
（1）给定一条双曲线．
（2）取已知双曲线的左、右顶点，，这是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是，．
（3）取已知双曲线上不同的两个动点，，其中在“双曲线上”是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是坐标满足，而“不同”也是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是，即．
（4）由条件（2）、（3）保证了，是不同的两个点，可以确定直线，这也是文字语言，不能运算、难以推理，它的一个数学含义为（直线方程的两点式）．
（5）由条件（2）、（3）保证了，是不同的两个点，可以确定直线，而直线的一个数学含义为（直线方程的两点式）．
能够这样理解题意至少可以得2分，并为思路探求奠定良好的基础．可以说52．8%的0分考生尚未真正弄清题意．
2．弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？
表面上，结论是一个：求直线与交点的轨迹的方程，“轨迹”是文字语言，包含完备性与纯粹性两个方面，不妨理解为两个结论．
（1）求两直线交点所满足的方程（得出椭圆），这是本题的重点．
（2）验证方程解为两直线的交点（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆），这是本题的难点．
3．沟通条件与结论的联系（轨迹转移法）
（1）由结论的需要，想到去找直线与交点．
（2）为了找直线与交点，想到建立直线与的方程．
（3）为了建立直线（或）的方程，想到已知点，（或，），选择直线方程两点式（还要想到验证，（或，）不重合）．
（4）有了直线方程，便可用消元法解出交点．
至此，思路基本打通，但还不能算完成，因为结论是求交点的轨迹．
（5）由于交点与，有关，由此想到使用坐标满足双曲线方程的条件，即把的等量关系转移到，的等量关系，得出交点所在的曲线方程（完成必要性，得出椭圆）．
（6）验证充分性（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆
基本结构：理解题目的条件和结论，我们看到，一个已知轨迹方程（双曲线）经过某种运动变化之后（两条动直线相交）形成一个新轨迹方程，其数学结构是轨迹转移：通过解方程沟通新旧轨迹（点）的联系，再通过旧轨迹的转移得出新轨迹．（建立方程组、消元、得出方程．（方程））
4．基本解法
解法1 （轨迹转移法）依题意有，，又由，是双曲线上不同的两点知，有
， ①
即，，，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，），有
直线的方程为
， ②
直线的方程为
． ③
联立②、③，解得交点坐标为
，， ④
但由①知， 代入④得
． ⑤
因为点在已知双曲线上，故把④变为，后，应满足双曲线方程，有
，
计及⑤，整理得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）
且．
若对交点“设而不求”，则有下面的变通解法．
解法2 （整体消参法）依题意有，，又由，是双曲线上不同的两点知，有
， ①
即，，，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，）．
设直线与的交点为，分别由“三点共线”，“三点共线”有
， ②
． ③
下面证明且． ④
若，由②、③、①有
，
矛盾，故有．
若时，由②、③、①有
，
矛盾，故有．
这时，由②×③得与交点所满足的方程
， ⑤
因为点在已知双曲线上，有，即
， ⑥
亦即直线、斜率的乘积为定值．把⑥代入⑤，计及④，得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）
（且）．
二、第（Ⅱ）问的讲解
分4步作讲解．
1．弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？
我们说条件有4个：
（1）第（Ⅰ）问的轨迹成为了第（Ⅱ）问的首要条件，其数学含义是残缺椭圆：且．题目的这种串联式结构使得未完成第（Ⅰ）问的考生无法开始第（Ⅱ）问；而第（Ⅰ）问得出完整椭圆（未去掉4个顶点）的考生则不能完整求解第（Ⅱ）问．
（2）过点作了两条直线、与轨迹都只有一个公共点．其中“一个公共点”的数学含义有两种解释：
①、与轨迹相切，其数学含义可以是相应二次方程的判别式等于0，也可以对函数求导来确定．
②、经过，，并且均与交于一点．
本来还应考虑、经过，的，但由于，，三点共线，这条直线与轨迹无公共点，故予排除．
（3），其数学含义可以是．
（4）由于轨迹是椭圆去掉4个顶点，而、又有2种类型，故有三种情况种可能：
①、均为切线；，或由对称性得．
②、均为割线；，或由对称性的．
③、中一个为切线，另一个为割线，有4种可能：，，，，
2．弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？
结论是一个：求的值．由于有多种可能，也存在多值的可能．
3．沟通条件与结论的联系（方程观点）
（1）为了求的值，我们来确定关于的方程．
（2）为了建立方程，我们以的等价条件作为等量关系．
（3）由等量关系的需要，我们去找的表达式，将它们表示为的函数．
（4）当、均为切线时，可以由相应二次方程的判别式等于0来确定斜率．
（5）当、均为割线时，可以由两点坐标来确定斜率．
至此，思路基本打通．
4．基本解法
设过点的直线为：，与轨迹只有一个公共点存在两种情况，其一，与轨迹相切（记为切线）；其二，经过或（与残缺椭圆相交，记为割线）．下面分三种情况讨论．
（1）当、均为切线且时，由
（要消去）
消去得关于的二次方程（消去）
⑦
有两个相等的实根，其判别式等于0（消去）

得 ，（可两根之积等于，也可以
得出结果，但不利于第（3）种情况）
解得 ，．
这时 ：，
把，代入知均矛盾，故、与相切于，之外的点．（几何意义很明显，但应有所交待）
又由，有，解得（消去）
． ⑧
（2）当、均为割线且时，把，代入：，得
，
得，． ⑨
把⑨（即）代入二次方程⑦的判别式，有
，
故、与均有（，之外的）一个交点．（几何意义很明显，但应有所交待）
又由，有，得
． ⑩
（3）当、中一条为切线、另一条为割线，且时，考虑四种可能
，，，，
即 ，左边大于0、右边小于0，矛盾；
；
；
，左边大于0、右边小于0，矛盾．
得 ．
又 ，
，
即．所以，由⑨、⑩、得符合条件的为三个不同的值：（如图21所示）
，，．

图21
三、得分技术指导
1． 防止“会而不对、对而不全”．
（1）左、右顶点的坐标，不要弄反了，弄反了的考生主要不是知识性错误，而是心理性错误．（存在扣分危险）
（2）要去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆．这既有知识性错误又有逻辑性错误． （“”不全或没有写出扣1分）
（3）两条直线、与轨迹都只有一个公共点存在三种情况，不是两种情况．（标准答案写错了，试评才改）
2． 分段得分．
（1）辅助得分
①把左、右顶点翻译为：，．
②把“直线、”翻译为
， （1分）
． 　　　　　（2分）
　　③把“交点”翻译为“解方程”：，，即
　　　　　　，，　　　　　　（4分）
　　对于绝大多数考生来说，直线方程两点式、解方程求交点应是过关的，得0分只能是考试技术不过关．
算到4分段是“缺步解答”（已经第（Ⅰ）问得分过半），更重要的是，还有机会继续由
“点在双曲线上”（即），（5分）
消去，得
且． （7分）
这就第（Ⅰ）问全题解决了．