1、3.2.3.2.2 2立体几何中向量方法立体几何中向量方法空间距离问题空间距离问题第1页一、复习引入一、复习引入用空间向量处理立体几何问题用空间向量处理立体几何问题“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量联络，用空间向量）建立立体图形与空间向量联络，用空间向量表示问题中包括点、直线、平面，把立体几何问题表示问题中包括点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）经过向量运算，研究点、直线、平面之间位）经过向量运算，研究点、直线、平面之间位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量运算结果）把向量运算结果“翻译翻译”成对应几何
2、意义。成对应几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）第2页空间空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间距离空间两点之间距离 依据两向量数量积性质和坐标运算，依据两向量数量积性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题第3页 例例1：如图如图1：一个结晶体形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点三为端点三条棱长都相等，且它们彼此夹角都是条棱长都相等，且它们彼此夹角都是60，那么以这个顶点为端点，那么以这个顶点为端点晶体对角
3、线长与棱长有什么关系？晶体对角线长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设化为向量问题化为向量问题依据向量加法法则，依据向量加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体对角线这个晶体对角线 长是棱长长是棱长 倍。倍。第4页2、向量法求点到平面距离、向量法求点到平面距离：第5页DABCGFExyz第6页DABCGFExyz第7页2.(2.(书本第书本第107107页练习页练习2)2)如图，如图，6060二面角棱上有二面角棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角两
4、个半平面内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD长长.BACD第8页当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”=-（或（或），），第9页abCDABCD为为a,b公垂线公垂线则则A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为a a法法向量向量3.异面直线间距离异面直线间距离 即即 间距离可转化为向量间距离可转化为向量 在在n上射影长，上射影长，第10页 小结小结 1、E为平面为平面外一点外一点,F为为内任意一内任意一 点点,为平面为平面法向量法向量,则点则点E到平面到平面 距离为距离为:2、a,b是异面直线是异面直线,E,F分别是直线分别是直线a,b上点上点,是是a,b公垂线方向向量公垂线方向向量,则则a,b间距离为间距离为第11页
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