必修五-余弦定理(课堂PPT).ppt

1直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：CBAabc1 1、角的关系：、角的关系：A+B+C=180A+B=C=90 2 2、边的关系：、边的关系：a2+b2=c23 3、边角关系：、边角关系：sinA=cosBsinB=cosAacbc复习复习2CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2看一看想一想看一看想一想 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变，不变，角角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2=a2+b23是寻找解题思路的最佳途径是寻找解题思路的最佳途径 c=AcbCBa AB c2=AB 2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！算一算试试！联想联想4证明：证明：向量法向量法若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCa证明证明5同理可证同理可证：格式二：逆用公式格式二：逆用公式证明证明6bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点点垂直于垂直于CB的直线为的直线为y轴，建立如图所轴，建立如图所示的坐标系，则示的坐标系，则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：xy解析法解析法证明证明7ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。来证明余弦定理。证明证明8证明：在三角形证明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,作作CDAB，则，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：同理有：当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后类似，课后 自己完成。自己完成。D9余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。归纳归纳10变一变乐在其中变一变乐在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形归纳归纳11想一想：想一想：余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2 2cacosA=cos B=acbc12问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）剖析剖析13思考：思考：已知两边及一边的对角时，已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？理来解这个三角形？如：已知如：已知b=b=4 4,c=,C=,c=,C=6060求边求边a.a.14（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？剖剖 析析 定定 理理剖析剖析P P1414例例3 3P P1515练习练习2,32,315剖剖 析析 定定 理理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析分析：剖析剖析16（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用：余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.剖剖 析析 定定 理理剖析剖析P P1414例例1 1、例、例2 21718会用才是真的掌握了会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？中能解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理运用运用19练一练：练一练：P P1515练习练习1 1，4 4 1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120变一变：变一变：若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？又怎么求？20再练：再练：2、已知、已知ABC中中AB=2、AC=3、A=，求，求BC的长。的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=21思考：思考：（1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三判定三角形角形ABC的形状的形状分析：三角形分析：三角形ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角B决决定的。定的。（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形ABC的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。222.2.余弦定理余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定理证明定理:课堂小结课堂小结向量法、解析法、几何法23（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形24作业布置作业布置 P16-17 1,5,6,1025例例4 4 在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以5km/h5km/h速度向东流。一渡速度向东流。一渡船在江南岸的船在江南岸的A A码头出发，预定要在码头出发，预定要在0.1h0.1h后到达江北后到达江北岸码头（如图）。设岸码头（如图）。设ANAN为正北方向，已知为正北方向，已知B B码头在码头在A A码头的北偏东码头的北偏东1515o o，并与并与A A码头相距码头相距1.2km.1.2km.该渡船应按该渡船应按什么方向航行？速度是多少什么方向航行？速度是多少 千米千米/小时？（角度精确小时？（角度精确到到0.10.1o o，速度精确到，速度精确到0.1km/h)0.1km/h)26P P1616练习练习1,21,227练习练习:P:P1616练习练习3,43,428练习练习:P:P17177,137,1329作业：作业：P P17 17 2 2，8 8，11 11，12123031提高性训练：提高性训练：1 1、在、在ABCABC中，求证：中，求证：c=acosB+bcosAc=acosB+bcosA2 2、在、在ABCABC中，若中，若CB=7CB=7，AC=8AC=8，AB=9AB=9，求，求ABAB边边的中线长。的中线长。32 例例2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）分析：已知两边和两边的夹角分析：已知两边和两边的夹角解：解：33例 2：在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.解：由 c2=a2b22abcosC,得 c4.297.b2c2a22bc cosA 0.7767，A392,B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299，A=39或141(舍).()34ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.解法一：AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73,BC(-2-4)2+(8-1)2 =85,AC(6-4)2+(5-1)2=25,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.35ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.解法二：A84.cosA .ABACAB AC(8)(2)3(4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).36ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.分析三：A=+,tan=?tan=?tan(+)=37解：在AOB中，|a b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos120 61,|a b|61.例 4：已知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a的夹角.ababBbACa120O38 ab 21.COA即ab与a的夹角约为49.cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：已知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a的夹角.ababBbACa120O在OAC中，|a+b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos60 21,39例5 已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30,求C.解:BD2=AB2+AD2 2ABADcosA 2.60,cosC=0.30,DC2+BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思考思考：若A=,怎样用表示四边形ABCD的面积？40练习ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；1314.6（2）a=2,b=3,c=4,则C=_.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.41研究题 总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？424、练习与思考：、练习与思考：4344在在 中，以下的三角关系式，在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：要记熟并灵活地加以运用：45在在 中中，在 中，已知（a+b+c)(a+b-c)=3ab 求角C=在在 中中，且且 的面积的面积为为 ，则，则BC的长为的长为 46