1、一、微分概念一、微分概念 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中应用三、微分在近似计算中应用四、微分在估计误差中应用四、微分在估计误差中应用 第二章 10/10/1第1页 恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一种形象解释：硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立即减少容器内温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板一对相邻两边和两面均被某种不能附着硫磺物质遮盖，再设另一对相邻两边那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点一种硫磺分子。由于两条直线上分子诸多，误差这一种分子和它们相比，是微局限性道。10/10/2第2页边长由一、微分概念一、微分概念 引例引例
2、一块正方形金属薄片受温度变化影响一块正方形金属薄片受温度变化影响,问此薄片面积变化了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积增量为有关有关x 线线性主部性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故称为函数在 微分当 x 在取得增量时,变到其10/10/3第3页微分微分,定义定义:若函数在点 增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 常数常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,注注1：注注2：10/10/4第4页定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 可导,且在点 可微充要条件充要条件是在点 处可导,且即10/10/5第5页定理定理:函数在点 可微充要条件充要条件是在点 处可
3、导,且即“充足性充足性”已知即在点 可导,则10/10/6第6页注注1：函数变化率问题函数增量问题微分微分:导数导数:注注3：导数与微分辨别：导数与微分辨别10/10/7第7页注注4：时,因此时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当10/10/8第8页微分几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标增量自变量微分自变量微分,记作记10/10/9第9页例如例如,基本初等函数微分公式(见 P115表)又如又如,10/10/10第10页二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,微分为微分形式不变性微分形式不变性5.复合函数微分则复合函数10/1
4、0/11第11页例例1.求 解解:例例2.设求 解解:运用一阶微分形式不变性运用一阶微分形式不变性,有有10/10/12第12页例例2.在如下括号中填入合适函数使等式成立在如下括号中填入合适函数使等式成立:阐明阐明:上述微分反问题是不定积分要研究内容上述微分反问题是不定积分要研究内容.注意注意:数学中反问题往往出现多值性数学中反问题往往出现多值性.例如例如10/10/13第13页三、三、微分在近似计算中应用微分在近似计算中应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:10/10/14第14页尤其当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得10/10/15第15页近似值.解解:设取则例
5、例4.求10/10/16第16页近似值.解解:例例5.计算10/10/17第17页例例6.有一批半径为1cm 球,为了提高球面光洁度,解解:已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,10/10/18第18页四、微分在估计误差中应用四、微分在估计误差中应用某量精确值为 A,其近似值为 a,称为a 绝对误差绝对误差称为a 相对误差相对误差若称为测量 A 绝对误差限绝对误差限称为测量 A 相对误差限相对误差限10/10/19第19页误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时误差故 y 绝
6、对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,10/10/20第20页例例7.设测得圆钢截面直径 测量D 绝对误差限欲运用公式圆钢截面积,解解:计算 A 绝对误差限约为 A 相对误差限约为试估计面积误差.计算(mm)10/10/21第21页内容小结内容小结1.微分概念 微分定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分应用近似计算估计误差10/10/22第22页思索与练习思索与练习1.设函数图形如下,试在图中标出点处及并阐明其正负.10/10/23第23页2.5.设由方程确定,解解:方程两边求微分,当时由上式得求得10/10/24第24页6.设 且则作业作业 P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);1210/10/25第25页基本初等函数微分公式基本初等函数微分公式 先先计算函数导计算函数导数数,再再 乘以自变乘以自变量微分量微分.10/10/26第26页解法解法2另例另例解解法法1另例另例解解10/10/27第27页另例另例解法解法1解法解法210/10/28第28页
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