高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系省公开课一等奖新名师优.pptx

2.1.22.1.2空间中直线与直线之间位置关系空间中直线与直线之间位置关系第第1 1页页目标导航目标导航课标要求课标要求1.会判断空间两直线位置关系.2.了解两异面直线定义,会求两异面直线所成角.3.能用公理4和等角定理处理一些简单相关问题.素养达成素养达成经过空间两直线位置关系学习,锻炼了学生逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象等关键素养达成.第第2 2页页新知探求新知探求课堂探究课堂探究第第3 3页页新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情境导学知识探究知识探究1.1.异面直线异面直线(1)(1)定义定义:不一样在不一样在 两条直线叫做异面直线两条直线叫做异面直线.任何一个平面内任何一个平面内(2)(2)画法画法:第第4 4页页2.2.空间两条直线位置关系空间两条直线位置关系位置关系位置关系共面情况共面情况有没有公共点相交相交在同一平面内在同一平面内 .平行平行在同一平面内在同一平面内没有公共点没有公共点异面异面不一样在任何一个平面内没有公共点没有公共点有且只有一个公共点有且只有一个公共点探究探究1:1:若直线若直线a a,b,b,a,a和和b b一定异面吗一定异面吗?答案答案:不一定不一定.当当a a与与b b不一样在任何一个平面内不一样在任何一个平面内,a,b,a,b才异面才异面.第第5 5页页3.3.平行线传递性平行线传递性公理公理4:4:平行于同一条直线两条直线平行于同一条直线两条直线 .符号表示符号表示:ab,bc:ab,bcac.ac.4.4.定理定理空间中假如两个角两边分别对应平行空间中假如两个角两边分别对应平行,那么这两个角那么这两个角 .5.5.异面直线所成角异面直线所成角(1)(1)定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间任一点经过空间任一点O O作直线作直线aa,bb,aa,bb,则则aa与与bb所成所成 (或或 )叫做异面直线叫做异面直线a a与与b b所成角所成角(或夹角或夹角).).(2)(2)异面直线所成角异面直线所成角取值范围取值范围:090.:090.(3)(3)假如两条异面直线假如两条异面直线a,ba,b所成角是直角所成角是直角,就说这两条直线相互垂直就说这两条直线相互垂直,记作记作ab.ab.相互平行相互平行相等或互补相等或互补锐角锐角直角直角第第6 6页页探究探究2:2:若两条直线都与第三条直线垂直若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗这两条直线一定平行吗?答案答案:不一定不一定.比如墙角处三条直线两两垂直比如墙角处三条直线两两垂直,不过没有任何两条直线是相不过没有任何两条直线是相互平行互平行.第第7 7页页自我检测自我检测1.(1.(位置关系位置关系)分别在两个平面内两条直线位置关系是分别在两个平面内两条直线位置关系是()(A)(A)异面异面(B)(B)平行平行(C)(C)相交相交(D)(D)以上都有可能以上都有可能D D2.(2.(等角定理等角定理)已知已知BAC=30,ABAB,ACAC,BAC=30,ABAB,ACAC,则则BACBAC等于等于()(A)30 (B)150(A)30 (B)150(C)30(C)30或或150 (D)150 (D)大小无法确定大小无法确定C C3.(3.(异面直线判定异面直线判定)在三棱锥在三棱锥S-ABCS-ABC中中,与与ABAB异面棱为异面棱为()(A)BC(A)BC (B)SA (B)SA (C)SC (C)SC(D)SB(D)SBC C第第8 8页页4.(4.(公理公理4 4、位置关系、位置关系)在三棱锥在三棱锥S-MNPS-MNP中中,E,F,G,H,E,F,G,H分别是棱分别是棱SN,SP,MN,MPSN,SP,MN,MP中点中点,则则EFEF与与HGHG位置关系是位置关系是()(A)(A)平行平行(B)(B)相交相交(C)(C)异面异面(D)(D)平行或异面平行或异面A A5.(5.(异面直线所成角异面直线所成角)正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,异面直线异面直线BCBC1 1和和CDCD1 1所成角是所成角是()(A)30(A)30(B)45(B)45(C)60(C)60(D)90(D)90C C第第9 9页页6.(6.(异面直线判定异面直线判定)如图所表示如图所表示,G,H,M,N,G,H,M,N分别是三棱柱顶点或所在棱中点分别是三棱柱顶点或所在棱中点,则则表示直线表示直线GHGH与与MNMN是异面直线图有是异面直线图有.(.(填序号填序号)答案答案:第第1010页页题型一题型一 空间位置关系判断空间位置关系判断【思索思索】过平面外一点和平面内一点连线与平面内不经过该点直线是异面直线过平面外一点和平面内一点连线与平面内不经过该点直线是异面直线,正正确吗确吗?提醒提醒:正确正确.课堂探究课堂探究素养提升素养提升第第1111页页【例例1 1】已知空间四边形已知空间四边形ABCD,ABAC,AEABCD,ABAC,AE是是ABCABC中中BCBC边上高边上高,DF,DF是是BCDBCD中中BCBC边上中线边上中线,求证求证:AE:AE和和DFDF是异面直线是异面直线.证实证实:假设假设AEAE和和DFDF不是异面直线不是异面直线,则则AEAE和和DFDF共面共面,设过设过AE,DFAE,DF平面为平面为,若若E,FE,F重合重合,则则E E为为BCBC中点中点,所以所以AB=AC,AB=AC,与与ABACABAC相矛盾相矛盾.若若E,FE,F不重合不重合,因为因为BEF,CEF,BEF,CEF,而而EFEF,所以所以B,C,B,C,又又A,D,A,D,所以所以A,B,C,DA,B,C,D四点共面四点共面,这与题设这与题设ABCDABCD为空间四边形矛盾为空间四边形矛盾,综上可知综上可知,假设假设不成立不成立,所以所以AEAE与与DFDF为异面直线为异面直线.第第1212页页方法技巧方法技巧 判定两直线异面惯用方法判定两直线异面惯用方法(1)(1)定义法定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)(2)排除法排除法(反证法反证法):):排除两直线共面排除两直线共面(平行或相交平行或相交)情况情况.第第1313页页即时训练即时训练1 1-1:1:(四川泸州模拟四川泸州模拟)在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,棱所在直线与直棱所在直线与直线线BABA1 1是异面直线条数为是异面直线条数为()(A)4(A)4(B)5(B)5(C)6(C)6(D)7(D)7解析解析:正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,直线直线CD,CCD,C1 1D D1 1,C,C1 1C,DC,D1 1D,BD,B1 1C C1 1,AD,AD,共有共有6 6条直线条直线与直线与直线BABA1 1是异面直线是异面直线,故选故选C.C.第第1414页页【备用例备用例1 1】如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是AAAA1 1,AB,AB中点中点,试判断试判断以下各对线段所在直线位置关系以下各对线段所在直线位置关系:(1)AB:(1)AB与与CCCC1 1;(2)A;(2)A1 1B B1 1与与DC;(3)ADC;(3)A1 1C C与与D D1 1B;(4)DCB;(4)DC与与BDBD1 1;(5)D;(5)D1 1E E与与CF.CF.第第1515页页解解:(1)(1)因为因为CC平面平面ABCD,ABABCD,AB 平面平面ABCD,ABCD,又又C C AB,CAB,C1 1 平面平面ABCD,ABCD,所以所以ABAB与与CCCC1 1异面异面.(2)(2)因为因为A A1 1B B1 1AB,ABDC,AB,ABDC,所以所以A A1 1B B1 1DC.DC.(3)(3)因为因为A A1 1D D1 1BB1 1C C1 1,B,B1 1C C1 1BC,BC,所以所以A A1 1D D1 1BC,BC,则则A A1 1,B,C,D,B,C,D1 1在同一平面内在同一平面内.所以所以A A1 1C C与与D D1 1B B相交相交.(4)(4)因为因为BB平面平面ABCD,DCABCD,DC 平面平面ABCD,ABCD,又又B B DC,DDC,D1 1 平面平面ABCD,ABCD,所以所以DCDC与与BDBD1 1异面异面.第第1616页页(5)CF(5)CF与与DADA延长线交于延长线交于G,G,连接连接D D1 1G,G,因为因为AFDC,FAFDC,F为为ABAB中点中点,所以所以A A为为DGDG中点中点.又又AEDDAEDD1 1,所以所以GDGD1 1过过AAAA1 1中点中点.所以直线所以直线D D1 1E E与与CFCF相交相交.第第1717页页题型二题型二 公理公理4 4及等角定理应用及等角定理应用【例例2 2】如图所表示如图所表示,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,E,F,E,F,E,F,E,F分别是分别是AB,BC,AB,BCAB,BC,AB,BC中点中点,求证求证:EEFF.:EEFF.第第1818页页证实证实:因为因为E,EE,E分别是分别是AB,ABAB,AB中点中点,所以所以BEBE,BEBE,且且BE=BE,BE=BE,所以四边形所以四边形EBBEEBBE是平行四边形是平行四边形.所以所以EEBB,EEBB,同理可证同理可证FFBB,FFBB,所以所以EEFF.EEFF.第第1919页页变式探究变式探究1:1:在本例中在本例中,若若M,NM,N分别是分别是AD,CDAD,CD中点中点,求证求证:四边形四边形ACNMACNM是是梯形梯形.第第2020页页变式探究变式探究2:2:将本例变为已知将本例变为已知E,EE,E分别是正方体分别是正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD棱棱AD,ADAD,AD中点中点,求证求证:BEC=BEC.:BEC=BEC.第第2121页页证实证实:如图所表示如图所表示,连接连接EE.EE.因为因为E,EE,E分别是分别是AD,ADAD,AD中点中点,所以所以AEAE,AEAE,且且AE=AE.AE=AE.所以四边形所以四边形AEEAAEEA是平行四边形是平行四边形.所以所以AAEE,AAEE,且且AA=EE.AA=EE.又因为又因为AABB,AABB,且且AA=BB,AA=BB,所以所以EEBB,EEBB,且且EE=BB.EE=BB.所以四边形所以四边形BEEBBEEB是平行四边形是平行四边形.所以所以BEBE.BEBE.同理可证同理可证CECE.CECE.又又BECBEC与与BECBEC两边方向相同两边方向相同,所以所以BEC=BEC.BEC=BEC.第第2222页页方法技巧方法技巧 证实两直线平行惯用方法证实两直线平行惯用方法:(1):(1)利用平面几何结论利用平面几何结论,如平行四如平行四边形对边边形对边,三角形中位线与底边三角形中位线与底边;(2);(2)定义法定义法:即证实两条直线在同一个平面即证实两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点内且两直线没有公共点;(3);(3)利用公理利用公理4:4:找到一条直线找到一条直线,使所证直线都与这使所证直线都与这条直线平行条直线平行.第第2323页页即时训练即时训练2-1:2-1:如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,G,E,F,G分别是棱分别是棱CCCC1 1,BB,BB1 1及及DDDD1 1中点中点,证实证实:BGC=FD:BGC=FD1 1E.E.第第2424页页【备用例备用例2 2】在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别为分别为AD,ABAD,AB中点中点,M,N,M,N分别为分别为B B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1中点中点.求证求证:(1)MCA:(1)MCA1 1E,AE,A1 1FCN;FCN;第第2525页页第第2626页页(2)EA(2)EA1 1F=NCM.F=NCM.证实证实:(2)(2)由由(1)(1)知知A A1 1FCN,FCN,MCAMCA1 1E,E,又又A A1 1E,AE,A1 1F F与与CM,CNCM,CN方向分别相反方向分别相反,所以所以EAEA1 1F=NCM.F=NCM.第第2727页页题型三题型三 求异面直线所成角求异面直线所成角【例【例3 3】(12(12分分)如图如图,在三棱锥在三棱锥A-BCDA-BCD中中,O,E,O,E分别是分别是BD,BCBD,BC中点中点,AOOC,AOOC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线求异面直线ABAB与与CDCD所成角余弦值所成角余弦值.第第2828页页规范解答规范解答:取取ACAC中点中点M,M,连接连接OM,ME,OE,OM,ME,OE,1 1分分由由E E为为BCBC中点知中点知MEAB,MEAB,2 2分分由由O O为为BDBD中点知中点知OEDC,OEDC,所以直线所以直线OEOE与与EMEM所成锐角就是异面直线所成锐角就是异面直线ABAB与与CDCD所成角所成角.4 4分分第第2929页页第第3030页页方法技巧方法技巧 求异面直线所成角普通步骤求异面直线所成角普通步骤:(1):(1)找找(或作出或作出)异面直线所成角异面直线所成角用平移法用平移法,若题设中有中点若题设中有中点,常考虑中位线常考虑中位线.(2).(2)求求转化为求一个三转化为求一个三角形内角角形内角,经过解三角形经过解三角形,求出所找角求出所找角.(3).(3)结论结论设设(2)(2)所求角大小为所求角大小为.若若090,090,则则即为所求即为所求;若若90180,90180,则则180-180-即为所求即为所求.第第3131页页即即时时训训练练3-1:3-1:(1)(1)在在正正方方体体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,CC,CC1 1与与BDBD1 1所所成成角角正正弦弦值值为为 ;第第3232页页(2)(2)在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中与侧面对角线中与侧面对角线ADAD1 1成成6060角面对角线有角面对角线有条条.解析解析:(2)(2)因为因为ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为正方体为正方体,所以所以ADAD1 1B B1 1,AD,AD1 1C C均为等边三角形均为等边三角形.所以所以ADAD1 1与与BD,ADBD,AD1 1与与DCDC1 1,AD,AD1 1与与A A1 1B,ADB,AD1 1与与DCDC1 1,AD,AD1 1与与D D1 1B B1 1,AD,AD1 1与与ABAB1 1,AD,AD1 1与与AC,ADAC,AD1 1与与D D1 1C C均成均成6060角角,共共8 8条条.答案答案:(2)8(2)8第第3333页页第第3434页页