大数定律即中心极限定理PPT课件.ppt

第一第一节 大数定律大数定律大数定律大数定律依概率收依概率收敛敛定定义义及性及性质质小小结结 大量随机大量随机试验试验中中大数定律的客大数定律的客观观背景背景大量抛大量抛掷掷硬硬币币正面出正面出现频现频率率字母使用字母使用频频率率生生产过产过程中的程中的废废品率品率一、大数定律一、大数定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫切比雪夫 则对则对任意的任意的0，有，有做前做前 n 个随机个随机变变量的算量的算术术平均平均证证由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得说说明明二、二、依概率收依概率收敛敛定定义义及性及性质质 定定义义性性质质请请注意注意:问题问题:伯努利伯努利 设设nA是是n重重贝贝努里努里试验试验中事件中事件A发发生生的次数，的次数，p是事件是事件A发发生的概率，生的概率，是事件是事件A发发生的生的频频率率.设设 nA 是是n次独立重复次独立重复试验试验中事件中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次在每次试验试验中中发发生生的概率，的概率，则对则对于任意正数于任意正数 0，有，有 定理定理2（贝贝努里大数定律努里大数定律）或或 伯努利伯努利证证明明 证毕证毕注注 贝贝努里大数定律表明，当重复努里大数定律表明，当重复试验试验次数次数n充分充分大大时时，事件，事件A发发生的生的频频率率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有有较较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.或或下面下面给给出的独立同分布下的大数定律，出的独立同分布下的大数定律，不要求随机不要求随机变变量的方差存在量的方差存在.设设随机随机变变量序列量序列X1,X2,相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对则对于任意正数于任意正数，有，有定理定理3（辛辛钦钦大数定律大数定律）辛辛钦钦大数定律大数定律辛辛钦钦请请看演示看演示 1、辛、辛钦钦大数定律大数定律为寻为寻找随机找随机变变量的期望量的期望值值提供了一条提供了一条实际实际可行的途径可行的途径.注注2、伯努利大数定律是辛、伯努利大数定律是辛钦钦定理的特殊情况定理的特殊情况.3、辛、辛钦钦定理具有广泛的适用性定理具有广泛的适用性.要估要估计计某地区的平均某地区的平均亩产亩产量量，要收割某些有代表性要收割某些有代表性块块，例如，例如n 块块地地.计计算其平均算其平均亩产亩产量，量，则则当当n 较较大大时时，可用它作，可用它作为为整个地区平均整个地区平均亩亩产产量的一个估量的一个估计计.例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个个编编号号为为0-9的同的同样样的球，的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记记下下号号码码.设设，k=1,2,问对问对序列序列Xk能否能否应用大数定律？用大数定律？即即对任意的任意的0,解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律数定律.三、小三、小结结大大数数定定律律 大数定律以大数定律以严严格的数学形式表达了随机格的数学形式表达了随机现现象最根本的性象最根本的性质质之一：之一：平均平均结结果的果的稳稳定性定性第二第二节 中心极限定中心极限定理理中心极限定理中心极限定理例例题题课课堂堂练习练习小小结结 中心极限定理的客中心极限定理的客观观背景背景 在在实际问题实际问题中中许许多随机多随机变变量是由相互独立随机量是由相互独立随机因素的因素的综综合（或和合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮例如：炮弹弹射射击击的的落点与目落点与目标标的偏差，的偏差，就受着就受着许许多随机因多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮阻力，炮弹弹或炮身或炮身结结构等）构等）综综合影响的合影响的.每个每个随机因随机因素的素的对对弹弹着点（随机着点（随机变变量和）量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小的的.那么那么弹弹着点服从怎着点服从怎样样分布哪分布哪？如果一个随机如果一个随机变变量是由大量相互独立的随机因量是由大量相互独立的随机因素的素的综综合影响所造成，而每一个合影响所造成，而每一个别别因素因素对这对这种种综综合合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大.则这则这种随机种随机变变量一般都服量一般都服从或近似服从正从或近似服从正态态分布分布.自从高斯指出自从高斯指出测测量量误误差服从正差服从正态态分布之后，人分布之后，人们发现们发现，正，正态态分布在分布在自然界中极自然界中极为为常常见见.现现在我在我们们就来研究独立随机就来研究独立随机变变量之和所特有的量之和所特有的规规律性律性问题问题.高斯高斯 当当n无限增大无限增大时时，这这个和的极限分布是什么呢？个和的极限分布是什么呢？由于无由于无穷穷个随机个随机变变量之和可能量之和可能趋趋于于，故我，故我们们不不研究研究n个随机个随机变变量之和本身而考量之和本身而考虑虑它的它的标标准化的随机准化的随机变变量量.在概率在概率论论中，中，习惯习惯于把和的分布收于把和的分布收敛敛于正于正态态分分布布这这一一类类定理都叫做定理都叫做中心极限定理中心极限定理.一、中心极限定理一、中心极限定理定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）注注 3、虽虽然在一般情况下，我然在一般情况下，我们们很很难难求出求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大很大时时，可以求出近似分布，可以求出近似分布.定理定理2（李雅普（李雅普诺诺夫夫(Liapounov)定理定理)请请注意注意:定理定理6(棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De LaplaceDe Laplace定理）定理）设设随机随机变变量量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1)的二的二项项分布，分布，则对则对任意任意x，有，有证证 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1920)设设第第i只元件的寿命只元件的寿命为为Xi,i=1,2,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：解：设应设应取球取球n次，次，0出出现频现频率率为为由中心极限定理由中心极限定理例例2解答：解答：欲使欲使即即查查表得表得从中解得从中解得即至少即至少应应取球取球3458次才次才能使能使“0”出出现现的的频频率在率在0.09-0.11之之间间的概率至的概率至少是少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数数码码“0”出出现现次数次数为为由中心极限定理由中心极限定理,即即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，数次抽取中，数码码“0”出出现现次数在次数在7和和13之之间间的概率的概率为为0.6826.=0.6826四、小四、小结结中中心心极极限限定定理理注注这这一一节节我我们们介介绍绍了中心极限定理了中心极限定理 在后面的在后面的课课程中，我程中，我们还们还将将经经常用到中心极限常用到中心极限定理定理.中心极限定理是概率中心极限定理是概率论论中最著名的中最著名的结结果之一，果之一，它不它不仅仅提供了提供了计计算独立随机算独立随机变变量之和的近似概率的量之和的近似概率的简单简单方法，而且有助于解方法，而且有助于解释释为为什么很多自然群体的什么很多自然群体的经验频经验频率呈率呈现现出出钟钟形曲形曲线线这这一一值值得注意的事得注意的事实实.五、五、布置作布置作业业概率概率概率概率论论论论与数理与数理与数理与数理统计统计统计统计标标标标准化作准化作准化作准化作业业业业（五）（五）（五）（五）