数值分析-牛顿-科特斯公式省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

第第2章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分牛顿牛顿-科特斯科特斯(Newton-Cotes)公式公式及其复合求积公式及其复合求积公式第1页牛顿牛顿-科特斯公式科特斯公式q 等距节点插值型求积公式称为等距节点插值型求积公式称为牛顿牛顿-科特斯公式科特斯公式：取等距节点：取等距节点：xi=a+i h，i=1,2,n令令 x=a+t h 得：得：q 插值型求积公式插值型求积公式其中其中第2页牛顿牛顿-科特斯公式（续）科特斯公式（续）注：注：Cotes 系数系数仅取决于仅取决于 n 和和 i，可经过查表得到。可经过查表得到。与被积函数与被积函数 f(x)及积分区间及积分区间 a,b 均无关。均无关。科特斯科特斯(Cotes)系数系数q 牛顿牛顿-科特斯公式科特斯公式：第3页几个常见公式几个常见公式n=1:代数精度代数精度=1梯形求积公式梯形求积公式n=2:代数精度代数精度=3抛物线求积公式抛物线求积公式Simpson求积公式求积公式n=4:科特斯科特斯(Cotes)求积公式求积公式TSC第4页科特斯系数表科特斯系数表第5页系数特点和稳定性系数特点和稳定性q 科特斯系数含有以下特点：科特斯系数含有以下特点：(1)(2)(3)当当 n 8 时，出现负数，时，出现负数，稳定性得不到确保稳定性得不到确保。而且。而且当当 n 较大时，因为较大时，因为Runge现象，现象，收敛性也无法确保收敛性也无法确保。故故普通普通不采取不采取高阶牛顿高阶牛顿-科特斯求积公式科特斯求积公式。q 当当 n 7 时，牛顿时，牛顿-科特斯公式是稳定。科特斯公式是稳定。第6页牛顿牛顿-科特斯公式代数精度科特斯公式代数精度定理定理当当 n 为偶数时，牛顿科特斯公式最少有为偶数时，牛顿科特斯公式最少有 n+1 阶阶代数精度。代数精度。证证：只要证实当只要证实当 n 为偶数时，公式对为偶数时，公式对f(x)xn+1准确成立。准确成立。由插值型求积公式误差公式得由插值型求积公式误差公式得作变量代换作变量代换 x=a+t h，并将，并将 xi=a+i h 代入得代入得再作变量代换再作变量代换 t=n-s，得，得又又n 偶数偶数第7页余项余项q 梯形公式余项梯形公式余项中值定理中值定理q Simpson公式余项公式余项三次三次Hermite插值插值第8页余项普通形式余项普通形式定理定理(1)若若 n 为偶数，为偶数，f(x)Cn+2a,b，则存在，则存在 (a,b)使得使得设设 ，则有，则有(2)若若 n 为奇数，为奇数，f(x)Cn+1a,b，则存在，则存在 (a,b)使得使得第9页举例（一）举例（一）q 例：例：分别用梯形公式和分别用梯形公式和simpson公式计算积分公式计算积分 解：解：a0,b1,f(x)=e-x，由由 simpson 公式可公式可得得 由由梯形公式可梯形公式可得得 与准确值与准确值 0.6321 相比相比得误差分别为得误差分别为 0.0518 和和 0.0002。第10页复合求积公式复合求积公式q 提升积分计算精度惯用两种方法提升积分计算精度惯用两种方法 用用 复合公式复合公式 用用 非等距节点非等距节点q 复合求积公式：复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然将积分区间分割成多个小区间，然后在每个后在每个小区间小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式。上使用低次牛顿科特斯求积公式。q 将将a,b 分成分成 n 等分等分 xi,xi+1，其中节点，其中节点(i=0,1,n)第11页复合梯形公式复合梯形公式q 复合梯形公式复合梯形公式:Tnq 余项：余项：，(a,b)第12页复合复合simpson公式公式q 复合复合simpson公式公式:Snq 余项：余项：，(a,b)44444第13页复合科特斯公式复合科特斯公式q 复合复合cotes公式公式:Cnq 余项：余项：，(a,b)第14页举例（二）举例（二）解：解：q 例：例：设设 ，利用下表中数据分别用复合梯形，利用下表中数据分别用复合梯形公式和复合公式和复合simpson公式计算积分公式计算积分 xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841第15页h 很小时误差很小时误差 i (xi,xi+1)(h 0)定积分定义定积分定义即即同理同理第16页 收敛速度与误差预计收敛速度与误差预计 若若一一个个积积分分公公式式误误差差满满足足 且且C 0，则则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛。例：例：计算计算解：解：其中其中=3.138988494其中其中=3.141592502运算量基运算量基本相同本相同第17页Q:给定精度给定精度 ，怎样取，怎样取 n?比如：要求比如：要求 ，怎样判断，怎样判断 n=？?上例中若要求上例中若要求 ，则，则即：取即：取 n=409第18页通常采取将区间通常采取将区间不停对分不停对分方法，即取方法，即取 n=2k上例中上例中2k 409 k=9 时，时，T512=3.14159202注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时可用来判断迭代可用来判断迭代 是否停顿。是否停顿。Q:给定精度给定精度 ，怎样取，怎样取 n?第19页2.3 龙贝格算法龙贝格算法n梯形法递推化梯形法递推化n龙贝格算法龙贝格算法n理查森外推加速法理查森外推加速法第20页1 梯形法递推化梯形法递推化方法思绪方法思绪:复化求积方法可提升求积精度，实际计算复化求积方法可提升求积精度，实际计算时能够将步长逐次分半。时能够将步长逐次分半。在每个子区间在每个子区间 x xk k,x,xk+1k+1 经过二分只增加了一经过二分只增加了一个分点个分点x xk+1/2k+1/2=1/2(x=1/2(xk kx+xk+1k+1),),用复化梯形公式用复化梯形公式求得该子区间上积分值为求得该子区间上积分值为第21页注意，这里h=(a+b)/n代表二分前步长。将每个子区间上积分值相加得从而可导出以下递推公式从而可导出以下递推公式1 梯形法递推化梯形法递推化第22页 龙贝格算法龙贝格算法龙贝格积分法是在计算梯形和序列基龙贝格积分法是在计算梯形和序列基础上应用了线性外推加速方法，由此础上应用了线性外推加速方法，由此组成一个含有超线性收敛自动积分法组成一个含有超线性收敛自动积分法 第23页基本思想基本思想依据复化梯形公式余项表示式可知第24页将上式移项整理，可得将上式移项整理，可得能够做这么赔偿能够做这么赔偿基本思想基本思想第25页同理同理由此得到由此得到同理同理基本思想基本思想第26页由此法，可得以下三角形数表由此法，可得以下三角形数表梯形梯形辛卜生辛卜生柯特斯柯特斯龙贝格龙贝格T0T3T2T1S0 S2S1 C0 C1 D0基本思想基本思想第27页样条插值积分样条插值积分q 用三次样条插值函数用三次样条插值函数 S(x)近似被积函数近似被积函数 f(x)，从而得到样条插值积分公式。，从而得到样条插值积分公式。(i=0,1,n)将将a,b 分分 n 等分等分，设设 S(xi)mi，则，则 S(x)在在 xi,xi+1 上为满足以下条件上为满足以下条件三次多项式：三次多项式：，由三次由三次 Hermite 插值多项式公式插值多项式公式（P.46）可得可得第28页样条插值积分（续）样条插值积分（续）于是有于是有 因为因为 S(x)在在 xi,xi+1 上为三次多项式，所以上为三次多项式，所以simpson公式准确成立，即公式准确成立，即于是得积分公式于是得积分公式Un第29页样条插值积分（续）样条插值积分（续）UnTn余项：余项：只增加计算两端点导数，计算精度即由只增加计算两端点导数，计算精度即由O(h2)提升到提升到O(h4)第30页