1、积分变换积分变换第第6讲讲第1页1拉氏变换性质本讲介绍拉氏变换几个性质本讲介绍拉氏变换几个性质,它们在拉氏它们在拉氏变换实际应用中都是很有用变换实际应用中都是很有用.为方便起见为方便起见,假定在这些性质中假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换函凡是要求拉氏变换函数都满足拉氏变换存在定理中条件数都满足拉氏变换存在定理中条件,而且而且把这些函数增加指数都统一地取为把这些函数增加指数都统一地取为c.在证在证实性质时不再重述这些条件实性质时不再重述这些条件第2页21.线性性质若a,b是常数L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s
2、)L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t)此线性性质依据拉氏变换定义就可得出.第3页3微分性质 若L f(t)=F(s),则有 L f(t)=sF(s)-f(0)(2.3)证 依据分部积分公式和拉氏变换公式第4页4推论 若L f(t)=F(s),则L f(t)=sL f(t)-f(0)=ssL f(t)-f(0)-f(0)=s2L f(t)-sf(0)-f(0).L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f(0)-.-f(n-1)(0)(2.4)第5页5尤其,当初值f(0)=f(0)=.=f(n-1)(0)=
3、0时,有L f(t)=sF(s),L f(t)=s2F(s),.,L f(n)(t)=snF(s)(2.5)此性质能够使我们有可能将f(t)微分方程转化为F(s)代数方程.第6页6例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt拉氏变换.因为f(0)=1,f(0)=0,f(t)=-k2cos kt,则L-k2cos kt=L f(t)=s2L f(t)-sf(0)-f(0).即-k2L cos kt=s2L cos kt-s移项化简得第7页7例2 利用微分性质,求函数f(t)=tm拉氏变换,其中m是正整数.因为f(0)=f(0)=.=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以L m!=L
4、 f(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)-sm-2f(0)-.-f(m-1)(0)即L m!=smL tm第8页8另外,由拉氏变换存在定理,还能够得到象函数微分性质:若L f(t)=F(s),则F(s)=L-tf(t),Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L(-t)nf(t),Re(s)c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛积分积分和求导能够调换次序第9页9例3 求函数f(t)=t sin kt拉氏变换.第10页103.积分性质 若L f(t)=F(s)第11页11重复应用(2.8)式,就可得到:第12页12由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若L f(t)=F(s),则
5、第13页13例4 求函数拉氏变换.第14页14其中F(s)=L f(t).此公式惯用来计算一些积分.比如,第15页154.位移性质 若L f(t)=F(s),则有L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c).(2.12)证 依据拉氏变换式,有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,所以 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c)第16页16例5 求L eattm.例6 求L e-atsin kt第17页175.延迟性质 若L f(t)=F(s),又t0时,有|e-st|0,有第23页23例9 求如图所表示单个半正弦波f(t)拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1
6、(t)f2(t)t第24页24由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以第25页25例10 求以下列图所表示半波正弦函数fT(t)拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)第26页26由例9可得从t=0开始单个半正弦波拉氏变换为从而第27页27这是一个求周期函数拉氏变换简单方法,即设fT(t)(t0)是周期为T周期函数,假如且L f(t)=F(s),则第28页28初值定理与终值定理第29页29证 依据拉氏变换微分性质,有L f(t)=L f(t)-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实正无穷大,并因为第30页30(2)终值定理 若L f(t)=F(s),且sF(s)在Re(s)0区域解析,则第31页31证 依据定理给出条件和微分性质L f(t)=sF(s)-f(0),两边取s0极限,并由第32页32这个性质表明f(t)在t时数值(稳定值),能够经过f(t)拉氏变换乘以s取s0时极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远值与函数sF(s)在原点值之间关系.在拉氏变换应用中,往往先得到F(s)再去求出f(t).但经常并不关心函数f(t)表示式,而是需要知道f(t)在t和t0时性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由F(s)来求出f(t)两个特殊值f(0),f(+).第33页33例11 若依据初值定理和终值定理,第34页34第35页35
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