函数(2)公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第五章第五章 函函 数数5.1 函数基本概念函数基本概念5.2 函数类型函数类型5.3 函数运算函数运算5.4 基基 数数退出退出第1页第1页5.1 函数基本概念函数基本概念函数函数函数函数也常称为也常称为也常称为也常称为映射映射映射映射，其定义下列：，其定义下列：，其定义下列：，其定义下列：定定定定义义义义5.1.15.1.1 设设设设A A和和和和B B是是是是任任任任意意意意两两两两个个个个集集集集合合合合，且且且且F F是是是是从从从从A A到到到到B B关关关关系系系系，若若若若对对对对每每每每一一一一个个个个x x A A，都都都都存存存存在在在在唯唯唯唯一一一一y y B B，使使使使 F F，则则则则称称称称F F为为为为从从从从A A到到到到B B函函函函数数数数，并并并并记作记作记作记作F F:A AB B。当。当。当。当A A=B B时，映射也称时，映射也称时，映射也称时，映射也称变换变换变换变换。A A称称称称为为为为函函函函数数数数F F定定定定义义义义域域域域，即即即即D D(F F)=)=A A，B B称称称称为为为为函函函函数数数数F F陪域陪域陪域陪域，R R(F F)称为函数称为函数称为函数称为函数F F值域值域值域值域，且，且，且，且R R(F F)B B。第2页第2页有时也用有时也用有时也用有时也用F F(A A)表示函数表示函数表示函数表示函数F F值域，即值域，即值域，即值域，即F F(A A)=)=R R(F F)=)=y y|y y B B (x x)()(x x A A y y=F F(x x)并称并称并称并称F F(A A)为函数为函数为函数为函数F F像像像像。对于对于对于对于F F:A AB B来说，若来说，若来说，若来说，若 F F，则称，则称，则称，则称x x为为为为函数函数函数函数自变元自变元自变元自变元，称，称，称，称y y为函数为函数为函数为函数因变元因变元因变元因变元，由于，由于，由于，由于y y值依赖值依赖值依赖值依赖于于于于x x所取值，或称所取值，或称所取值，或称所取值，或称y y是是是是F F在在在在x x处值，或称处值，或称处值，或称处值，或称y y为为为为F F下下下下x x像像像像。通常把通常把通常把通常把 F F记作记作记作记作F F(x x)=)=y y。第3页第3页从本定义能够看出，从从本定义能够看出，从从本定义能够看出，从从本定义能够看出，从 A A 到到到到 B B 函数函数函数函数F F和普和普和普和普通从通从通从通从 A A 到到到到 B B 二元关系之不同有以下两点：二元关系之不同有以下两点：二元关系之不同有以下两点：二元关系之不同有以下两点：A A每一元素都必须是每一元素都必须是每一元素都必须是每一元素都必须是F F 有序对之第一分有序对之第一分有序对之第一分有序对之第一分量。量。量。量。若若若若F(x)=yF(x)=y，则函数，则函数，则函数，则函数F F 在在在在 x x 处值是唯一，处值是唯一，处值是唯一，处值是唯一，即即即即F(x)=yF(x)=y F(x)=zF(x)=zy=z.y=z.考虑到习惯使用方法，以下经常将大写函考虑到习惯使用方法，以下经常将大写函考虑到习惯使用方法，以下经常将大写函考虑到习惯使用方法，以下经常将大写函数符号数符号数符号数符号F F 改为小写字母改为小写字母改为小写字母改为小写字母 f f。第4页第4页定定定定义义义义5.1.25.1.2 设设设设f f:A AB B，g g:C CD D，若若若若A A=C C，B B=D D，且且且且对对对对每每每每一一一一x x A A都都都都有有有有f f(x x)=)=g g(x x)，则则则则称称称称函函函函数数数数f f和和和和g g相等相等相等相等，记为，记为，记为，记为f f=g g。本本本本定定定定义义义义表表表表明明明明了了了了，两两两两函函函函数数数数相相相相等等等等，它它它它们们们们必必必必须须须须有有有有相同定义域、陪域和有序对集合。相同定义域、陪域和有序对集合。相同定义域、陪域和有序对集合。相同定义域、陪域和有序对集合。有有有有时时时时需需需需要要要要缩缩缩缩小小小小所所所所给给给给函函函函数数数数定定定定义义义义域域域域，或或或或扩扩扩扩大大大大所所所所给函数定义域以创建新函数，为此有下面定义。给函数定义域以创建新函数，为此有下面定义。给函数定义域以创建新函数，为此有下面定义。给函数定义域以创建新函数，为此有下面定义。第5页第5页定定定定 义义义义 5.1.35.1.3 设设设设 f f:A AB B，且且且且 C C A A，若若若若 有有有有g g=f f(C C B B),),则则则则称称称称g g是是是是f f 到到到到C C缩缩缩缩小小小小或或或或限限限限制制制制，记记记记为为为为f f|c c，即，即，即，即g g为为为为C C到到到到B B函数：函数：函数：函数：g g:C CB Bg g(x x)=)=f f(x x)或或或或 f f|c c(x x)=)=f f(x x)定定定定义义义义5.1.45.1.4 设设设设f f:C CB B，g g:A AB B，且且且且C C A A，若若若若g g|c c=f f，则称，则称，则称，则称g g 是是是是f f 到到到到 A A扩大或扩大或扩大或扩大或延拓延拓延拓延拓。第6页第6页下下下下面面面面讨讨讨讨论论论论由由由由集集集集合合合合A A和和和和B B，构构构构成成成成这这这这样样样样函函函函数数数数 f f:A AB B会会会会有有有有多多多多少少少少呢呢呢呢？或或或或者者者者说说说说，在在在在A A B B所所所所有有有有子子子子集集集集中中中中，是所有还是部分子集能够定义函数？是所有还是部分子集能够定义函数？是所有还是部分子集能够定义函数？是所有还是部分子集能够定义函数？令令令令B BA A表示这些函数集合，即表示这些函数集合，即表示这些函数集合，即表示这些函数集合，即B BA A=f f|f f:A AB B.设设设设|A A|=|=mm，|B B|=|=n n，则，则，则，则|B BA A|=|=n nmm。这这这这是是是是由由由由于于于于对对对对每每每每个个个个自自自自变变变变元元元元，它它它它函函函函数数数数值值值值都都都都有有有有n n种种种种取法，故总共有取法，故总共有取法，故总共有取法，故总共有n nmm种从种从种从种从A A到到到到B B函数。函数。函数。函数。第7页第7页上面简介一元函数，下面给出多元函数定义。上面简介一元函数，下面给出多元函数定义。上面简介一元函数，下面给出多元函数定义。上面简介一元函数，下面给出多元函数定义。定定定定义义义义5.1.55.1.5 设设设设A A1 1,A A2 2,A An n和和和和B B为为为为集集集集合合合合，若若若若f f:A Ai iB B为为为为函函函函数数数数，则则则则称称称称f f 为为为为n n元元元元函函函函数数数数。在在在在 上值用上值用上值用上值用 f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)表示。表示。表示。表示。一一一一元元元元函函函函数数数数中中中中概概概概念念念念对对对对n n元元元元函函函函数数数数几几几几乎乎乎乎完完完完全全全全合合合合用用用用，在在在在这这这这里里里里不不不不多讨论了。多讨论了。多讨论了。多讨论了。第8页第8页5.2 函数类型函数类型依据函数含有不同性质，能够将函数分成依据函数含有不同性质，能够将函数分成依据函数含有不同性质，能够将函数分成依据函数含有不同性质，能够将函数分成不同类型。本节将定义这些函数，并给出对应不同类型。本节将定义这些函数，并给出对应不同类型。本节将定义这些函数，并给出对应不同类型。本节将定义这些函数，并给出对应术语。术语。术语。术语。第9页第9页定义定义定义定义5.2.15.2.1 设设设设f f:A AB B是函数，若是函数，若是函数，若是函数，若R R(f f)=)=B B，或，或，或，或对任意对任意对任意对任意b b B B，存在，存在，存在，存在a a A A，使得，使得，使得，使得f f(a a)=)=b b，或形式表，或形式表，或形式表，或形式表为：为：为：为：(y y)()(y y B B(x x)()(x x A A f f(x x)=)=y y)则称则称则称则称f f:A AB B是是是是满射函数满射函数满射函数满射函数，或称函数，或称函数，或称函数，或称函数f f:A AB B是是是是满射。满射。满射。满射。本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数 f f 作用下，作用下，作用下，作用下，B B中每个中每个中每个中每个元素元素元素元素b b，都至少是，都至少是，都至少是，都至少是A A中某元素中某元素中某元素中某元素a a像，因此，若像，因此，若像，因此，若像，因此，若A A和和和和B B是是是是有穷集合有穷集合有穷集合有穷集合，存在满射函数，存在满射函数，存在满射函数，存在满射函数f f:A AB B，则，则，则，则|A A|B B|。第10页第10页定义定义定义定义5.2.2 5.2.2 设设设设f:Af:A B B是函数，对任意是函数，对任意是函数，对任意是函数，对任意a a，b b A A，且，且，且，且a a b b，都有，都有，都有，都有f(a)f(a)f(b)f(b)，或形式表为，或形式表为，或形式表为，或形式表为(x)(x)(y)(x,yy)(x,y A A x x y y f(x)f(x)f(y)f(y)则称则称则称则称f:Af:A B B是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），或称函数或称函数或称函数或称函数f:Af:A B B是单射，或入射。是单射，或入射。是单射，或入射。是单射，或入射。本定义揭示了，本定义揭示了，本定义揭示了，本定义揭示了，A A中不同元素，其在中不同元素，其在中不同元素，其在中不同元素，其在B B中像中像中像中像也是不同。于是，若也是不同。于是，若也是不同。于是，若也是不同。于是，若ABAB是有穷集合，存在单射是有穷集合，存在单射是有穷集合，存在单射是有穷集合，存在单射函数函数函数函数 f:A f:A B B，则，则，则，则|A|B|A|B|。第11页第11页定义定义定义定义5.2.35.2.3 设设设设f f:A AB B是函数，若是函数，若是函数，若是函数，若f f 既是满射既是满射既是满射既是满射又是单射，则称又是单射，则称又是单射，则称又是单射，则称 f f:A AB B是是是是双射函数双射函数双射函数双射函数（或一一相（或一一相（或一一相（或一一相应），或称函数应），或称函数应），或称函数应），或称函数 f f:A AB B是双射。是双射。是双射。是双射。该定义阐明了，该定义阐明了，该定义阐明了，该定义阐明了，B B中每个元素中每个元素中每个元素中每个元素b b是且仅是是且仅是是且仅是是且仅是A A中某个元素中某个元素中某个元素中某个元素a a像。因此，若像。因此，若像。因此，若像。因此，若A A和和和和B B是是是是有穷集合有穷集合有穷集合有穷集合，存，存，存，存在双射函数在双射函数在双射函数在双射函数 f f:A AB B，则，则，则，则|A A|=|=|B B|。第12页第12页定定定定义义义义5.2.45.2.4 设设设设f f:A AB B是是是是函函函函数数数数，若若若若存存存存在在在在b b B B，使使使使对对对对任任任任意意意意a a A A有有有有f f(a a)=)=b b，即即即即f f(A A)=)=b b ，则则则则称称称称f f:A AB B为为为为常值函数常值函数常值函数常值函数。定义定义定义定义5.2.55.2.5 设设设设f f:A AA A是函数，若对任意是函数，若对任意是函数，若对任意是函数，若对任意a a A A，有，有，有，有f f(a a)=)=a a，亦即，亦即，亦即，亦即f f=|x x A A.则称则称则称则称f f:A AA A为为为为A A上上上上恒等函数恒等函数恒等函数恒等函数，通常记为，通常记为，通常记为，通常记为I IA A，由于，由于，由于，由于恒等关系即是恒恒等关系即是恒恒等关系即是恒恒等关系即是恒等函数等函数等函数等函数。由定义可知，由定义可知，由定义可知，由定义可知，A A上恒等函数上恒等函数上恒等函数上恒等函数I IA A是双射函数。是双射函数。是双射函数。是双射函数。第13页第13页定定定定义义义义5.2.65.2.6 设设设设A A和和和和B B为为为为集集集集合合合合，且且且且A A B B，若若若若函函函函数数数数 A A:B B 0,10,1为为为为 1 1 x x A A A A(x x)=)=0 0 不然不然不然不然则称则称则称则称 A A为集合为集合为集合为集合A A特性函数特性函数特性函数特性函数。第14页第14页特特特特性性性性函函函函数数数数建建建建立立立立了了了了函函函函数数数数与与与与集集集集合合合合一一一一一一一一相相相相应应应应关关关关系系系系。于是，可通过特性函数计算来研究集合上命题。于是，可通过特性函数计算来研究集合上命题。于是，可通过特性函数计算来研究集合上命题。于是，可通过特性函数计算来研究集合上命题。定定定定理理理理5.2.1 5.2.1 设设设设A A和和和和B B是是是是全全全全集集集集合合合合U U任任任任意意意意两两两两个个个个子子子子集集集集。对任意对任意对任意对任意x x U U，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。A A(x x)=0)=0A A=A A(x x)=1)=1A A=U U A A(x x)B B(x x)A A B B A A(x x)=)=B B(x x)A A=B B第15页第15页 A A B B(x x)=)=A A(x x)*)*B B(x x)A AB B(x x)=)=A A(x x)+)+B B(x x)-)-A A B B(x x)A A-B B(x x)=)=A AB B(x x)=)=A A(x x)-)-A A B B(x x)其中其中其中其中+，-，*，为通常算术运算，为通常算术运算，为通常算术运算，为通常算术运算+，-，和，和，和，和 。这里。这里。这里。这里 标识表示标识表示标识表示标识表示“补补补补”含义。含义。含义。含义。教材教材教材教材p158,p158,对特性函数进行推广导出了模糊子集概对特性函数进行推广导出了模糊子集概对特性函数进行推广导出了模糊子集概对特性函数进行推广导出了模糊子集概念。念。念。念。(略略略略)第16页第16页定定定定义义义义5.2.75.2.7 设设设设,和和和和,为为为为全全全全序序序序集集集集，函函函函数数数数f f:A AB B。对于任意。对于任意。对于任意。对于任意a a,b b A A.若若若若a a b b，有，有，有，有f f(a a)f f(b b)，则称，则称，则称，则称f f为为为为单调递增函数单调递增函数单调递增函数单调递增函数。若若若若a a b b，有，有，有，有f f(a a)f f(b b)，则称，则称，则称，则称f f为为为为单调递减函数单调递减函数单调递减函数单调递减函数。若若若若a a b b，且且且且a a b b，有有有有f f(a a)f f(b b)，则则则则称称称称f f为为为为严严严严格格格格单单单单调调调调递递递递减减减减函函函函数。数。数。数。显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。单调递减函数是单调递减函数。单调递减函数是单调递减函数。单调递减函数是单调递减函数。第17页第17页定定定定义义义义5.2.85.2.8 设设设设R R是是是是非非非非空空空空集集集集合合合合A A上上上上等等等等价价价价关关关关系系系系，且且且且函函函函数数数数f f:A AA A/R R，f f(a a)=)=a a R R，a a A A，则则则则称称称称f f是是是是从从从从A A到商集到商集到商集到商集A A/R R自然映射自然映射自然映射自然映射。自然映射在代数结构中有主要应用。自然映射在代数结构中有主要应用。自然映射在代数结构中有主要应用。自然映射在代数结构中有主要应用。定定定定义义义义5.2.95.2.9 设设设设p p:A AA A为为为为函函函函数数数数，若若若若p p是是是是双双双双射射射射，则称则称则称则称p p为为为为A A上上上上置换置换置换置换。置置置置换换换换在在在在群群群群论论论论中中中中作作作作为为为为一一一一节节节节进进进进行行行行讨讨讨讨论论论论，有有有有着着着着主主主主要应用。要应用。要应用。要应用。第18页第18页5.3 函数运算函数运算函函函函数数数数是是是是一一一一个个个个特特特特殊殊殊殊关关关关系系系系，对对对对关关关关系系系系能能能能够够够够进进进进行行行行运运运运算算算算，自自自自然然然然对对对对函函函函数数数数也也也也需需需需要要要要讨讨讨讨论论论论运运运运算算算算问问问问题题题题，即即即即如如如如何何何何由由由由已已已已知知知知函函函函数数数数得得得得到到到到新函数。新函数。新函数。新函数。1 1函数复合函数复合函数复合函数复合利用两个含有一定性质已知函数通过复合运算能利用两个含有一定性质已知函数通过复合运算能利用两个含有一定性质已知函数通过复合运算能利用两个含有一定性质已知函数通过复合运算能够得到新函数。够得到新函数。够得到新函数。够得到新函数。定理定理定理定理5.3.15.3.1 设设设设f f:A AB B和和和和g g:B BC C是函数，通过复合是函数，通过复合是函数，通过复合是函数，通过复合运算运算运算运算o o，能够，能够，能够，能够得到新从得到新从得到新从得到新从A A到到到到C C函数函数函数函数，记为，记为，记为，记为gofgof，即对任意，即对任意，即对任意，即对任意 x x A A，有，有，有，有(gofgof)()(x x)=)=g g(f f(x x)。第19页第19页注注注注意意意意，函函函函数数数数是是是是一一一一个个个个关关关关系系系系，今今今今用用用用斜斜斜斜体体体体“o o”表表表表示示示示函函函函数数数数复复复复合合合合运运运运算算算算，记记记记为为为为gofgof，这这这这是是是是“左左左左复复复复合合合合”，它它它它与与与与关关关关系系系系“右右右右复复复复合合合合”f fo og g顺顺顺顺序序序序正正正正好好好好相相相相反反反反，为为为为区区区区别别别别它它它它们们们们在在在在同同同同一一一一公公公公式式式式中中中中出出出出现现现现，用粗体符号表示关系复合用粗体符号表示关系复合用粗体符号表示关系复合用粗体符号表示关系复合f fo og g，故有，故有，故有，故有gofgof=f fo og g。推论推论推论推论1 1 若若若若f f,g g,h h都是函数，则都是函数，则都是函数，则都是函数，则(f fo og g)ohoh=fofo(gohgoh)。本推论表明，函数复合运算是本推论表明，函数复合运算是本推论表明，函数复合运算是本推论表明，函数复合运算是可结合可结合可结合可结合。若若若若对对对对于于于于集集集集合合合合A A，f f:A AA A，则则则则函函函函数数数数f f 能能能能同同同同本本本本身身身身复复复复合合合合成成成成任意次。任意次。任意次。任意次。fnfn次复合定义为：次复合定义为：次复合定义为：次复合定义为：f f 0 0(x x)=)=x x；f f n n+1+1(x x)=)=f f(f fn n(x x)，n n N N。第20页第20页定理定理定理定理5.3.25.3.2 设设设设f f:A AB B，g g:B BC C 若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是满射，则都是满射，则都是满射，则都是满射，则gofgof:A AC C也是满射。也是满射。也是满射。也是满射。若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是单射，则都是单射，则都是单射，则都是单射，则gofgof:A AC C也是单射。也是单射。也是单射。也是单射。若若若若f f:A AB B，g g:B BC C都是双射，则都是双射，则都是双射，则都是双射，则gofgof:A AC C也是双射。也是双射。也是双射。也是双射。第21页第21页定理定理定理定理5.3.35.3.3 若若若若f f:A AB B是函数，则是函数，则是函数，则是函数，则f f=foIfoIA A=I IB Bofof。本本本本定定定定理理理理揭揭揭揭示示示示了了了了，恒恒恒恒等等等等函函函函数数数数在在在在复复复复合合合合函函函函数数数数运运运运算算算算中中中中特特特特殊殊殊殊性性性性质质质质，尤尤尤尤其其其其地地地地，对对对对于于于于f f:A AA A，有有有有foIfoIA A=I IA Aofof=f f。第22页第22页2函数逆运算函数逆运算给定关系给定关系给定关系给定关系R R，其逆关系是存在，但对已知一，其逆关系是存在，但对已知一，其逆关系是存在，但对已知一，其逆关系是存在，但对已知一函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。比如，比如，比如，比如，A A=a a,b b,c c ，B B=1,2,3=1,2,3，f f=,1,3是函数，是函数，是函数，是函数，而而而而 f f-1-1=1,=,却不是从却不是从却不是从却不是从B B到到到到A A函数。函数。函数。函数。但若但若但若但若f f:A AB B是双射是双射是双射是双射，则，则，则，则f f-1-1便是从便是从便是从便是从B B到到到到A A函函函函数。数。数。数。定定定定理理理理5.3.45.3.4 若若若若f f:A AB B是是是是双双双双射射射射，则则则则f f-1-1:B BA A也也也也是双射。是双射。是双射。是双射。第23页第23页定定定定 义义义义 5.3.15.3.1 设设设设 f f:A AB B是是是是 双双双双 射射射射 函函函函 数数数数，称称称称 f f-1-1:B BA A是是是是f f 逆函数逆函数逆函数逆函数，习惯上常称，习惯上常称，习惯上常称，习惯上常称f f-1-1为为为为f f 反函数反函数反函数反函数。定定定定 理理理理 5.3.55.3.5 设设设设 f f:A AB B是是是是 双双双双 射射射射 函函函函 数数数数，则则则则 f f-1-1ofof=I IA A，fof fof-1-1=I IB B定理定理定理定理5.3.65.3.6 若若若若f f:A AB B是双射，则是双射，则是双射，则是双射，则(f f-1-1)-1-1=f f。第24页第24页5.4 基基 数数1 1基数定义基数定义基数定义基数定义首首首首先先先先选选选选取取取取一一一一个个个个“原原原原则则则则集集集集合合合合”N Nn n=0,1,2,=0,1,2,n n-1-1，称称称称它它它它为为为为N N 截截截截段段段段n n；再再再再用用用用双双双双射射射射函函函函数数数数为为为为工工工工具具具具，给给给给出出出出集集集集合合合合基基基基数数数数定定定定义下列：义下列：义下列：义下列：定义定义定义定义5.4.15.4.1 设设设设A A是集合，若是集合，若是集合，若是集合，若f f:N Nn nA A为双射函数，则为双射函数，则为双射函数，则为双射函数，则称集合称集合称集合称集合A A是是是是有限有限有限有限，A A基数是基数是基数是基数是n n，记为，记为，记为，记为|A A|=|=n n，或，或，或，或KKA A=n n。若集合若集合若集合若集合A A不是有限，则称不是有限，则称不是有限，则称不是有限，则称A A是无限。是无限。是无限。是无限。本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合A A，能够用，能够用，能够用，能够用“数数数数”数数数数方式来拟定集合方式来拟定集合方式来拟定集合方式来拟定集合A A基数。基数。基数。基数。第25页第25页定理定理定理定理5.4.15.4.1 自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合N N是无穷。是无穷。是无穷。是无穷。证证证证：设设设设n n是是是是N N任意元素，任意元素，任意元素，任意元素，f f是任意从是任意从是任意从是任意从0,1,0,1,n n-1-1到到到到N N函数。函数。函数。函数。设设设设k k=1+=1+=1+=1+maxmaxf f(0),(0),(0),(0),f f(1),(1),f f(n n-1),-1),那么那么那么那么k kN N,但对每一个但对每一个但对每一个但对每一个x x 0,1,0,1,n n-1,-1,有有有有f f(x x)k k。因此因此因此因此f f 不能是满射，即不能是满射，即不能是满射，即不能是满射，即f f也不是双射。由于也不是双射。由于也不是双射。由于也不是双射。由于n n和和和和f f都都都都是任意，故是任意，故是任意，故是任意，故N N是无限是无限是无限是无限。第26页第26页为为为为了了了了拟拟拟拟定定定定一一一一些些些些无无无无穷穷穷穷集集集集合合合合基基基基数数数数，选选选选取取取取第第第第二二二二个个个个“原原原原则则则则集合集合集合集合”N N来度量这些集合。来度量这些集合。来度量这些集合。来度量这些集合。定定定定义义义义5.4.25.4.2 设设设设A A是是是是集集集集合合合合，若若若若f f:N NA A为为为为双双双双射射射射函函函函数数数数，则则则则称称称称A A是是是是可可可可数数数数，其其其其基基基基数数数数用用用用0 0表表表表示示示示，记记记记为为为为|A A|=|=0 0 或或或或KKA A=0 0。如：如：如：如：11，8 8，2727，n n3 3,.,.显显显显然然然然，存存存存在在在在从从从从N N到到到到N N双双双双射射射射函函函函数数数数，故故故故|N N|=|=0 0，0 0读读读读作作作作“阿列夫零阿列夫零阿列夫零阿列夫零”。符号。符号。符号。符号0 0是康托引入。是康托引入。是康托引入。是康托引入。有限集和可数集统称为有限集和可数集统称为有限集和可数集统称为有限集和可数集统称为至多可数集至多可数集至多可数集至多可数集。一个集一个集一个集一个集A A为可数集为可数集为可数集为可数集A A可排列为可排列为可排列为可排列为 a a1 1 1 1,a a2 2 2 2,a an n,.,.,.,.确确确确实实实实，如如如如A A由由由由上上上上述述述述排排排排列列列列，则则则则存存存存在在在在与与与与N N双双双双射射射射；反反反反之之之之，如如如如A A可数，则相应可数，则相应可数，则相应可数，则相应N N中中中中n n元记作元记作元记作元记作a an n即可。即可。即可。即可。第27页第27页命题命题命题命题1 1 每个无穷集必包括一个可数无穷子每个无穷集必包括一个可数无穷子每个无穷集必包括一个可数无穷子每个无穷集必包括一个可数无穷子集。集。集。集。证证证证：设设设设HH是无穷集合，取是无穷集合，取是无穷集合，取是无穷集合，取a a1 1HH，a a2 2HH-a a1 1，a a3 3HH-a a1 1,a a2 2，,a an nHH-a a1 1,a a2 2,a an-1n-1，如如如如此此此此继继继继续续续续下下下下去去去去，可可可可得得得得到到到到HH一一一一个个个个可可可可数数数数无无无无穷穷穷穷集集集集合。合。合。合。定定定定义义义义：若若若若集集集集合合合合A A和和和和B B之之之之间间间间存存存存在在在在双双双双射射射射(一一一一一一一一相相相相应应应应)，我们称，我们称，我们称，我们称A A和和和和B B是是是是等势等势等势等势或或或或等浓等浓等浓等浓。第28页第28页例例例例 实数集实数集实数集实数集R R与与与与(0,1)(0,1)等势。等势。等势。等势。f:Rf:R (0,1),(0,1),命题命题命题命题2 2 每个无穷集必与它某一真子集等势。每个无穷集必与它某一真子集等势。每个无穷集必与它某一真子集等势。每个无穷集必与它某一真子集等势。证证证证：设：设：设：设MM是无穷集，由是无穷集，由是无穷集，由是无穷集，由命题命题命题命题1 1：MM含有可数子集含有可数子集含有可数子集含有可数子集A=A=a a1 1,a a2 2,a an n,.令令令令M-A=B.M-A=B.定义定义定义定义f f:M:MM-M-a a1 1 下列：下列：下列：下列：f f(a an n)=)=a an+n+1 1,n n=1,2,=1,2,f f(b)=b,b(b)=b,bB.B.易知易知易知易知 f f 是双射是双射是双射是双射。CDAB第29页第29页命题命题命题命题3 3 可数集任何无限子集是可数。可数集任何无限子集是可数。可数集任何无限子集是可数。可数集任何无限子集是可数。证：证：证：证：设设设设A A为可数集，为可数集，为可数集，为可数集，B B A=A=a a1 1,a a2 2,a an n,且且且且B B为无限集为无限集为无限集为无限集.从从从从a a1 1开始向后检查，不断删去不在开始向后检查，不断删去不在开始向后检查，不断删去不在开始向后检查，不断删去不在B B中元，则中元，则中元，则中元，则得新序列：得新序列：得新序列：得新序列：显然这个序列与显然这个序列与显然这个序列与显然这个序列与N N存在一一相应，因此存在一一相应，因此存在一一相应，因此存在一一相应，因此B B是可数集。是可数集。是可数集。是可数集。第30页第30页能够证实下面一个很有用定理：能够证实下面一个很有用定理：能够证实下面一个很有用定理：能够证实下面一个很有用定理：定理定理定理定理5.4.2 5.4.2 可数个两两不交可数集合并集仍为可数可数个两两不交可数集合并集仍为可数可数个两两不交可数集合并集仍为可数可数个两两不交可数集合并集仍为可数集。集。集。集。证证证证：排列排列排列排列:a a1111,a a2121,a a1212,a a3131,a a2222,a a1313,第31页第31页在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个“原则集原则集原则集原则集合合合合”N Nn n和和和和N N以及双射函数（或一一相应），引入以及双射函数（或一一相应），引入以及双射函数（或一一相应），引入以及双射函数（或一一相应），引入了集合基数概念。这种方式能够把基数简朴地了集合基数概念。这种方式能够把基数简朴地了集合基数概念。这种方式能够把基数简朴地了集合基数概念。这种方式能够把基数简朴地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与看作对集合指派一个符号，指派原则是：与看作对集合指派一个符号，指派原则是：与看作对集合指派一个符号，指派原则是：与N Nn n构成双射或一一相应集合，指派它基数是构成双射或一一相应集合，指派它基数是构成双射或一一相应集合，指派它基数是构成双射或一一相应集合，指派它基数是n n，与，与，与，与N N构成双射或一一相应集合，指派它基数为构成双射或一一相应集合，指派它基数为构成双射或一一相应集合，指派它基数为构成双射或一一相应集合，指派它基数为0 0。指派空集基数为指派空集基数为指派空集基数为指派空集基数为0 0。几种主要例子：几种主要例子：几种主要例子：几种主要例子：定理定理定理定理5-15-1 证实证实证实证实N N N N是可数集。是可数集。是可数集。是可数集。证证证证：(略，略，略，略，见见见见教材教材教材教材P166).P166).第32页第32页定理定理定理定理5-2 5-2 有理数集是可数集。有理数集是可数集。有理数集是可数集。有理数集是可数集。证证证证：由上一个定理知：由上一个定理知：由上一个定理知：由上一个定理知：N N N N是可数集。是可数集。是可数集。是可数集。令令令令S S=|m,nm,n N N且且且且mm和和和和n n互质互质互质互质 N N N N 。因因因因S S是是是是N N N N无无无无穷穷穷穷子集，由子集，由子集，由子集，由命命命命题题题题3 3，S S是可数。是可数。是可数。是可数。令令令令g g:S SQ Q+,即即即即g g:mm/n n.显显显显然，然，然，然，g g是是是是双射，因此双射，因此双射，因此双射，因此Q Q+是可数集。是可数集。是可数集。是可数集。而而而而Q Q+Q Q-，Q=Q=Q Q+Q Q-00。可数个可数。可数个可数。可数个可数。可数个可数集并仍是可数。集并仍是可数。集并仍是可数。集并仍是可数。第33页第33页定理定理定理定理5-3 5-3 实数集实数集实数集实数集R R不是可数集，也即是不可数。不是可数集，也即是不可数。不是可数集，也即是不可数。不是可数集，也即是不可数。证证证证：前面一个例子证实：前面一个例子证实：前面一个例子证实：前面一个例子证实:R R(0,1)(0,1)。我们只要。我们只要。我们只要。我们只要证证证证S S=x x|x x (0,1)(0,1)是不可数即可。是不可数即可。是不可数即可。是不可数即可。用反证法。假设用反证法。假设用反证法。假设用反证法。假设S S是可数，则是可数，则是可数，则是可数，则S S能表示为序列：能表示为序列：能表示为序列：能表示为序列：S S1 1,S S2 2,其中其中其中其中S Si i (0,1).(0,1).设设设设S Si i=0.0.y y1 1y y2 2y y3 3,其中其中其中其中y yi i 0,1,2,9(0,1,2,9(如如如如0.20.2可记为可记为可记为可记为0.1999,0.1230.1999,0.123可记为可记为可记为可记为0.122999)0.122999)第34页第34页现结构一个实数现结构一个实数现结构一个实数现结构一个实数r r=0.b=0.b1 1b b2 2b b3 3使得使得使得使得显然，显然，显然，显然，r r不属于不属于不属于不属于S S,矛盾。矛盾。矛盾。矛盾。第35页第35页把集合把集合把集合把集合(0,1)(0,1)基数记为基数记为基数记为基数记为,故故K(R)=。也称为连续统势也称为连续统势.第36页第36页2基数比较基数比较在在在在有有有有了了了了集集集集合合合合基基基基数数数数基基基基础础础础上上上上，能能能能够够够够建建建建立立立立相相相相等等等等关关关关系系系系和和和和顺顺顺顺序序序序关关关关系系系系，进进进进行行行行基基基基数数数数比比比比较较较较和和和和基基基基数数数数运运运运算算算算，这这这这里仅讨论前者。里仅讨论前者。里仅讨论前者。里仅讨论前者。定义定义定义定义5.4.45.4.4 设设设设A A和和和和B B为任意集合。为任意集合。为任意集合。为任意集合。若有一个从若有一个从若有一个从若有一个从A A到到到到B B双射函数，则称双射函数，则称双射函数，则称双射函数，则称A A和和和和B B有有有有相同基数（或称相同基数（或称相同基数（或称相同基数（或称A A与与与与B B是等势），记为是等势），记为是等势），记为是等势），记为|A A|=|=|B B|（或（或（或（或A A B B）。）。）。）。第37页第37页若有一个从若有一个从若有一个从若有一个从A A到到到到B B单射函数，则称单射函数，则称单射函数，则称单射函数，则称