1、上页下页结束返回首页铃一、函数连续性一、函数连续性二、函数间断点二、函数间断点1.8 函数连续性与间断点函数连续性与间断点上页下页铃结束返回首页第1页第1页上页下页铃结束返回首页一、函数连续性一、函数连续性变量增量变量增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u增量 记作Du 即Du=u2-u1 设函数y=f(x)在点x0某一个邻域内有定义 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时 相应函数 y 增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数增量函数增量y=f(x)f(x0)x0+Dxx0 f(x0+Dx)DxDy提问提问 变量增量一定不小于零吗？下页第2页第2页上页下页铃结
2、束返回首页 设函数 y=f(x)在点x0某一个邻域内有定义 假如函数连续定义函数连续定义那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 等价关系等价关系 设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此下页第3页第3页上页下页铃结束返回首页讨论讨论 如何用e-d 语言叙述函数连续性定义？e 0 d 0 x|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提醒提醒 设函数 y=f(x)在点x0某一个邻域内有定义 假如函数连续定义函数连续定义那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 下页第4页第4页上页下页铃结束返回首页 设函数 y=f(x)在点x0某一个邻域内有定义 假如函数连续定义函数连续定义那么就称函数
3、y=f(x)在点x0处连续 左右连续性左右连续性左右连续与连续关系左右连续与连续关系 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 下页第5页第5页上页下页铃结束返回首页函数在区间上连续性函数在区间上连续性 在区间上每一点都连续函数 叫做在该区间上连续函数 或者说函数在该区间上连续 假如区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续 这是由于 函数P(x)在(-+)内任意一点 x0处有定义 并且下页第6页第6页上页下页铃结束返回首页 2 函数 y=sin x 在区间(-+)内
4、是连续 这是由于 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且函数在区间上连续性函数在区间上连续性 在区间上每一点都连续函数 叫做在该区间上连续函数 或者说函数在该区间上连续 假如区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例连续函数举例首页第7页第7页上页下页铃结束返回首页二、函数间断点二、函数间断点间断点定义间断点定义 设函数 f(x)在点x0某去心邻域内有定义 在以前提下 假如函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)不连续点或间断点 (2)即使在x0有定义 但 f(x)不
5、存在 (3)即使在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)下页第8页第8页上页下页铃结束返回首页间断点举例间断点举例 例例1 下页第9页第9页上页下页铃结束返回首页 例例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 因此点x=0是函数间断点 因此点x=0称为函数振荡间断点 间断点举例间断点举例下页第10页第10页上页下页铃结束返回首页211因此点x=1是函数间断点 假如补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 因此x=1称为该函数可去间断点 间断点举例间断点举例 例例3 下页第11页第11页上页下页铃结束返回首页因此x=1是函数f(x)间断点 假如改变函数f(x)在
6、x=1处定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 因此x=1也称为此函数可去间断点 111/2y=f(x)间断点举例间断点举例 例例4 下页第12页第12页上页下页铃结束返回首页 因函数f(x)图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)跳跃间断点-11y=x+1y=x-1间断点举例间断点举例 例例5 下页第13页第13页上页下页铃结束返回首页 通常把间断点分成两类通常把间断点分成两类 设设 x0是函数是函数f(x)间断点间断点 假如左极限假如左极限f(x0-0)及右极限及右极限f(x0+0)都存在都存在 那么那么x0称为函数称为函数f(x)第一类间断点第一类间断点 不属于第一类
7、间断点间断点不属于第一类间断点间断点 称为称为第二类间断点第二类间断点 在在第一类间断点第一类间断点中中 左、右极限相等者称为左、右极限相等者称为可去间可去间断点断点 不相等者称为不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点和和振荡间断点振荡间断点显然是显然是第二间断点第二间断点 间断点类型间断点类型下页第14页第14页上页下页铃结束返回首页 例例6 解解 下页从而从而在点x=1处连续，试拟定常数a,b值.要使f(x)在点x=1处连续，必须满足第15页第15页上页下页铃结束返回首页 例例7 解解 从而从而拟定常数a值，使f(x)在x=0处连续.要使f(x)在点x=0处连续，必须满足结束第16页第16页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
