1、第四节第四节 定积分换元积分法和分部积分法定积分换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法一、定积分换元积分法定理定理则有则有 第第1页页1证证第第2页页2注意注意:(1)应用定积分换元法时应用定积分换元法时,与不定积分比较，与不定积分比较，多一事：换上下限；多一事：换上下限；少一事：无须回代；少一事：无须回代；(2)(3)逆用上述公式逆用上述公式,即为即为“凑微分法凑微分法”,无须换限无须换限.第第3页页3例例1 1例例2 2例例3 3第第4页页4例例4 4 计算计算解解原式原式第第5页页5例例5 5 计算计算解解令令原式原式第第6页页6例例6 6 计算计算解解令令原式原式第第7页页7例例7
2、 7 计算计算解解令令原式原式第第8页页8例例8 8解解所以平均值等于所以平均值等于第第9页页9例例9 9解解令令原式原式第第10页页10证证利用函数对称性利用函数对称性,有时可简化计算有时可简化计算.第第11页页11yxoyxo第第12页页12例例1010奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数第第13页页13证证例例1111第第14页页14例例1212证证(1)第第15页页15证证(2)令令例例1212第第16页页16证证(3)令令并计算并计算 例例1212第第17页页17第第18页页18解解例例1313令令则则两边求导，两边求导，即即再求导，得再求导，得第第19页页19例例1414解解第第2
3、0页页20二、定积分分部积分法二、定积分分部积分法定理定理 例例1 1例例2 2第第21页页21例例3 3例例4 4第第22页页22例例5 5 计算计算与换元法结合与换元法结合.解解令令原式原式第第23页页23例例6 6 计算计算解解 令令原式原式则则解得解得第第24页页24例例7 7 计算计算解解第第25页页25解解计算积分计算积分其中其中采取分部积分方法采取分部积分方法,例例8 8第第26页页26例例9 9 计算计算解解得到递推公式：得到递推公式：第第27页页27而而若若n为正偶数为正偶数,则则 若若n为大于为大于1 1奇数奇数,则则 第第28页页28即即比如，比如，另外，另外，第第29页页29例例1010 计算计算解解令令则则第第30页页30定积分分部积分公式定积分分部积分公式二、小结二、小结（注意与不定积分分部积分法区分）（注意与不定积分分部积分法区分）定积分换元积分公式定积分换元积分公式（注意：（注意：换元必换限换元必换限）第第31页页31*思索题思索题第第32页页32思索题解答思索题解答第第33页页33练练 习习 题题第第34页页34第第35页页35练习题答案练习题答案第第36页页36第第37页页37练习：练习：P245 习题六习题六第第38页页38
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