1、一一.联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数1.1.定义定义3.3 3.3 对随机变量对随机变量(X,Y)和任意实数和任意实数x,y,定义二元函数定义二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量联合分布函数联合分布函数.(x,y)表示随机点落入以表示随机点落入以(x,y)为为右上顶点阴影部分概率右上顶点阴影部分概率.第二节第二节 二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布1第1页2.联合分布函数特征联合分布函数特征1).固定固定x或或y,则则F对对y或或x是单调递增是单调递增;2).3).对对x和和y分别是右连续分别是右连续;4).即即若函数若函数F满足以上四条满足
2、以上四条,就能够作为二维随机变量就能够作为二维随机变量联合分布函数联合分布函数.2第2页x1x2y1y2联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)3第3页3.边缘分布函数边缘分布函数由联合分布函数能够确定边缘分布函数由联合分布函数能够确定边缘分布函数,反之反之,普通来说不能够普通来说不能够.反例请参看反例请参看3.2.5.能够证实能够证实 分别是一维分布函数分别是一维分布函数.4第4页 若存在若存在非负函数非负函数 f(x,y)，使得对任意实数使得对任意实数x，y，二元随机变量，二元随机变量(X,Y)分布函数分布函
3、数F(x,y)可表示成以下形式可表示成以下形式 则称则称(X,Y)是二维连续型随机变量。是二维连续型随机变量。f(x,y)称为称为二元随机变量二元随机变量(X,Y)联合联合概率密度函数概率密度函数.二二.联合密度函数与边缘密度函数联合密度函数与边缘密度函数 1.定义定义5第5页2.2.联合概率密度函数联合概率密度函数性质性质1)-2)为密度函数特征为密度函数特征.即即1).非负性非负性2).6第6页随机事件概率随机事件概率=曲顶柱体体积曲顶柱体体积;点和平面曲线对应概率为点和平面曲线对应概率为0.0.3.二维连续型随机变量分布函数与密度函数之间关系二维连续型随机变量分布函数与密度函数之间关系1
4、).对于对于(x,y)为为f 连续点连续点;2).尤其尤其,7第7页4.边缘密度函数边缘密度函数1).定义定义2).边缘密度函数与联合密度函数关系边缘密度函数与联合密度函数关系联合密度联合密度边缘密度边缘密度,反之不成立反之不成立.8第8页(1).(1).确定常数确定常数k；(2).(2).求求分布函数；分布函数；(4).(4).求求设二维随机变量设二维随机变量概率密度为概率密度为例例(3).(5).求边缘密度求边缘密度9第9页(1).所以所以 解解 (1).(1).确定常数确定常数k；10第10页(2).当当 或或 时，时，当当 时，时，所以，所以，(2).(2).求求分布函数；分布函数；1
5、1第11页(3).4 1或解或解 12第12页(4).(5).13第13页例题例题1,例题例题414第14页2 22 24 4例例 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)分布密度为分布密度为 求概率求概率 解解(1).(1).1 115第15页(2).(2).x+y=3 16第16页思索思索 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）分布密度为）分布密度为 求概率求概率 2 22 24 41 1解答解答 17第17页5.5.二维均匀分布二维均匀分布1).1).定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 概率密度为概率密度为 上服从均匀分布上服从均匀分布.在在则称则称是平面上有界区域，其面积为
6、是平面上有界区域，其面积为 ,其中其中18第18页 例例 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)服从区域服从区域D上上均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成三角形所围成三角形区域。求（区域。求（1 1）分布函数；（）分布函数；（2 2）解解(1).(1).(X,Y)密度函数为密度函数为 （a a）当）当 时，时，分布函数为分布函数为 y=2x+1 -1/2 119第19页y=2=2x+1+1-1/2 -1/2 （b b）当）当 时，时，20第20页y=2x+1-1/2 （c c）当）当 时，时，21第21页所以，所求分布函数为所以，所求分布函数为 22第2
7、2页0.5y=2x+1-1/2 (2).23第23页24第24页练习题练习题25第25页例题例题226第26页练习题练习题27第27页三三.条件密度函数条件密度函数定义定义,了解了解,不要求不要求.28第28页四四.随机变量独立性随机变量独立性1.定义定义.相互独立相互独立,假如假如二维连续型随机变量二维连续型随机变量轻易得到轻易得到此式对于普通独立二维随机变量也是正确此式对于普通独立二维随机变量也是正确.2.性质性质.假如假如相互独立相互独立,则则(i).相互独立相互独立;(ii).也是相互独立也是相互独立.29第29页30第30页31第31页证实随机变量不是相互独立证实随机变量不是相互独立,先求出边缘密度先求出边缘密度,再再验证验证,或者能够直接检验密度函数是否为变量分离或者能够直接检验密度函数是否为变量分离.32第32页五五.二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 概率密度为概率密度为 其中其中均为参数均为参数 则称则称 服从参数为服从参数为 二维正态分布二维正态分布 33第33页性质性质第六目第六目,自行阅读自行阅读,考试不要求考试不要求.34第34页
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