排列组合基础知识及习题分析.doc

排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式! C取3=(54)(21) C取2(65)() 通过这2个例子 看出 CM取公式 是种子数开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子 以取值N的阶层作为分母 P53=54 P6=321 通过这个例子 PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N=M时 即的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(m)个元素,有序和无序摆放的各种可能性。区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”。 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列，无序用“组合； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”,分步用“乘法”. 分 类：“做一件事,完成它可以有n类方法,这是对完成这件事的所有办法的一个分类。分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类；其次,分类时要注意满足两条基本原则:完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。 分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成个步骤。分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关。如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在”“邻与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。 “不邻问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在问题,常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果。 2有限制条件的组合问题,常见的命题形式: “含”与“不含”“至少”与“至多在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏，按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法。* 提供10道习题供大家练习 、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 （B）个 (C)6个 （）7个 -【解析】 根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是1 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为11,则另外一个边的长度是1，0,9,8，7,6,。.。.1 如果为10 则另外一个边的长度是10,9，8。.。2,（不能为1 否则两者之和会小于1,不能为1,因为第一种情况包含了11，10的组合) 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，.。.。 (理由同上 ，可见规律出现) 规律出现 总数是117+。.。1（11）2=36 2、 （1)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法? -【解析】 每封信都有个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第封信,有3种可能性。接着再放第2封，也有种可能性,直到第4封,所以分步属于乘法原则即33=34 （2)3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法? -【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系属于分步关系。如:我们先安排第一个旅客是4种,再安排第2个旅客是种选择.知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即 44=3(）8本不同的书,任选3本分给个同学,每人一本，有多少种不同的分法? -【解析】分步来做 第一步:我们先选出3本书即多少种可能性C8取36种第二步:分配给3个同学. P33=6种 这 里稍微介绍一下为什么是P3，我们来看第一个同学可以有种书选择,选择完成后，第个同学就只剩下2种选择的情况,最后一个同学没有选择。即3这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是1,2,3，4四个数字可以组成多少4位数? 也是满足这样的分步原则. 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是56636 3、 七个同学排成一横排照相。 （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600) -【解析】这个题目我们分步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1= 第二步: 剩下的6个人即满足P原则 P6=所以总数是725=300 （2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种? （140） -【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一 C2取= 第二步:剩下的6个人满足原则 P6720 则总数是 722=440 (3)甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ (310) -【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况去除个位置剩下个位置供甲选择C4取1=，剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人,其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即P55512060总数是4600=2400 第2种情况:甲不在排头排尾, 甲排在中间位置 则 剩下的个位置满足P66=720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 240072030 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （140)-【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个位置变成个位置,即分步讨论 第1: 选位置 取16 第：选出来的2个位置对甲乙在排 即P22 则安排甲乙符合情况的种数是26= 剩下的5个人即满足P5的规律1 则 最后结果是 20121440 ()甲必须在乙的左边（不一定相邻)的不同排法有多少种？（220) -【解析】这个题目非常好，无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P50 ,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5002520 、用数字0，1,2,3,4,5组成没有重复数字的数。 （1)能组成多少个四位数？ (300) -【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排。则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则=543=0 即总数是 6050(2)能组成多少个自然数? （13) -【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况1位数: 6取=6 2位数: C5取222C5取125 3位数: 5取3P33+C取2214位数：C5取4P44C5取3333=30 5位数: C取P55+C5取4P44=600 6位数： 555=512060 总数是131 这里解释一下计算方式 比如说位数: C取222+C5取P11=25 先从不是0的5个数字中取个排列即C5取2P22 还有一种情况是从不是0的个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1P11 因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能 (3)能组成多少个六位奇数? （2) -【解析】高位不能为0个位为奇数1,3， 则 先考虑低位，再考虑高位 即 34P44=1242 (4)能组成多少个能被整除的四位数? (1)-【解析】能被25整除的位数有2种可能后位是25： 339 后2位是50: P44=12 共计912=2 （)能组成多少个比20134大的数? (7)-【解析】 从数字201345 这个位数看 是最高位为的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？4P5541048去掉201345这个数 即比2034大的有4-1=79 (6)求所有组成三位数的总和。 (32640) -【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M11005(+4+32+1) 十位上的和:M2440（54+3+2+1) 个位上的和:M3=44（5+2+)总和MM1M2+M3=32405、生产某种产品00件,其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. (1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（5209) 【解析】 也就是说被抽查的件中有3件合格的 ,即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取C98取35096（）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种? (2460） 【解析】同上述分析,先从2件次品中挑1个次品,再从件合格的产品中挑4个 2取18取4=724560 (3）“其中没有次品”的抽法有多少种? （71084)【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5=67918 （4）“其中至少有一件次品的抽法有多少种?（7376656) 【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的C00取5-98取576656 （5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424) 【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C取5C98取3=7135424 6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A)140种()4种（C）70种 (）5种 -【解析】根据条件我们可以分2种情况 第一种情况:台甲1台乙 即C4取C5取1=30 第二种情况：1台甲+2台乙 即4取1C5取2=410=40所以总数是30+400种 7、在50件产品中有4件是次品,从中任抽5件,至少有3件是次品的抽法有_种。-【解析】至少有3件则说明是件或4件 3件:C4取C4取2=140件:C4取4C4取1=46 共计是 140448 8、有甲、乙、丙三项任务， 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ） ()12种（B）205种(C)520种（D)504种 -【解析】分步完成 第一步:先从10人中挑选4人的方法有:C10取210 第二步:分配给甲乙并的工作是4取2C2取1C1取=212种情况 则根据分步原则 乘法关系21012520 9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口人,则不同的分配方案共有_C(4，2)C（4,8)C（4,） _种-【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是C取4 第二个路口是8取4 第三个路口是C取则结果是C12取4C8取C取4 可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从2人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P33 0、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目,求共有多少种安排方法？ 990 -【解析】这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法 直接解答较为麻烦,故可先用一个节目去插个空位，有（9，1）种方法;再用另一个节目去插10个空位,有P(10，1）种方法;用最后一个节目去插1个空位,有P(,1)方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为P(9，1)P(0,1）P（11,1)=90种。 另解：先在1个位置中排上新添的三个节目有P（，3）种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有111=9种