第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系.pdf

第五章应力张量应变张量 与应力-应变关系 本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹 性应力与应变关系的一般规律，它将有助于对问题 的深入认识。5-1应力分量的坐标变换应力张量 5-2主应力应力张量不变量5-3最大剪应力 5-4笛卡尔张量基础 5-5物体内无限邻近两点位置的变化 转动张量 5-6应变的坐标变换应变张量 5-7主应变应变张量不变量 5-8广义Hooke定律的一般形式5-9弹性体变形过程中的能量 5-10应变能和应变余能5-11各向异性弹性体的应力-应变关系 5-12各向同性弹性体应力-应变关系 5-13各向同性弹性体各弹性常数间的关系 5-1应力分量的坐标变换 应力张量在给定载荷作用下，物体内过一点的任意斜截 面上应力的大小和方向都是确定的，即一点的应力 状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述 一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确 定的，它随坐标系的不同而不同。我们通常习惯的右手坐标系、，下面首先考察旋转变换的情形：考察物体内任一点0。设。”为旧坐标系下。点处的局部标架(图5-1(a),单位基矢量为bij=q、/、华1HH鳖圈相应的应力分量为:by/%/Tyx一Txy 畤 0zy、ZJCZTy为新坐标系下。点处的局部标架，单位基矢量为小冬力分量:b盯=、T文2%zji新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为作斜面数。垂直于 轴，作用于该微面上的应力和矢量为O用旧系下沿坐标轴的三个分量,及Cauchy公式（2-4）式）可将 表为沿坐标轴的三个分量即为新系下该在新系面上的三个应力分量和轴方向投影，并注意到这里V=bjt=GiGj三个式子合起来，可简写为:同理，取微斜面3曲分别垂直于、,可以得 到新系下的其余六个应力分量与旧系下九个应力 分量间的类似关系：(3)(4)(2)(4)式可以统一写为/乌i气(5-1)这就是应力转轴公式,转换系数。.在数学上，将坐标变换符合式（5-1）的一组 量称为二阶张量。按此定义，决定一点应力 状态的九个应力分量就是一个二阶张量，称为应力张量。在式（5-1）中作指标置换，并利用 称性得应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2,新、旧坐标轴的方向余弦为in、Of?2=cos 0=sin 8m2=22二一 sin J=cosS与前面推导类似当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数aI I指标的取值为%，为点。处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧系下的方向余弦。取x-)，方向。方向司理Pa=TrO这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。.:反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据(5-2)式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：=cos2 0(yr+sin2 0cye-2sm0cos3Tr33=ayrayr(yr+ay3ayecre+2%=sin 0ar+cos 3a3+2sin0cos0Tr3 Txy=axryrr+外心仙+xOyrTOr=cos0sin0ar+(-sin0)cos0a0+cos2 0TrO+(sin8)sin分=sincos/9(crr 4)+(coW 8 sin?0rrg5-2主应力应力张量不变量Cauchy公式(2-4)给出了过一点任意斜截面上的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有(5-4)斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而且与斜面的方向有关。为该截面的正应力圃而剪应力为零。这个问题的数学描述是，求某个法线方向,使满足方程:rri(5-5)(5-4)式代入(5-5)式得:!故 整理合匚图5-3将上式展开(/一，+8/n+2=0弓/+。-cr)m-hryzn=O+-cr)n=O(5-69我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为 主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平 面的法线方向，即主应力方向称为主方向。代数上，（5-69式是关于主方向&%n)的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是,其系数行列式为零，即Tyx丐一b 爸yPyz=0(5-7)名一b展开后得到关于主应力。的三次代数方程（5-79,称为应力张量的特征方程：4 j55r至金=公4可以证明方程（5-79有3个实根，它们对应该点的3个主应力，分别用一(5-9)将（5-9）式与方程组（5-69中的任意两式联 立，即可求出与给定主应力 对应的主方向。是方程（5-79的三个根，所以，也可以将特征方程写成展开后有与式(57)比较,得=c+/I2 C)C)2 I(23，3=5/%对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向 都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故工 1、也不会因坐标系的变换而改变。这种不因坐标系变换而改变的量，称为不变量.则,(321c(2%(3 yQGJ这表明，三个主方向是相互正交的。表明金的方向同时与修和噩方向垂直;而可为零，也可以不等于零，即:和雷的方向可取与垂直平面上的任意方向。即与如果垂直的方向都是主方向。则三者可以是零，也可以不是零，这说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说任何方向都是主方向。（3）主应力的极值性命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。5-3最大剪应力现在我们来考察物体内一点尸的最大剪应力及其 作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面 上应力矢量的分量及斜面上的正应力分别为:*,*zy3图5-4将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7）得(3)利用几何关系：得(4)取极值的点也使将（4）式代入方程下面分三种情况考虑：（1）三个主应力互不相等,将（6）式的第一式除以,第二式除以,整理后得方程（7）有三组解:第一组是 第二组是 第三组是有了加、就可以从（4）中求得相应的/,并运用.（5）式得到相应的极值剪应力，由（2）式得到极值剪应力面上的正应力。同理可从（3）和（4）中分别消去加和，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的，.独立的解答一共六组，如表5-1所示。,表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零;而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为(2)两主应力相等为了确定起见,则(6)式的第一式已满足，第二式有由此可解得第一个解表示平面通过。2轴，将 及代入(5)式得Tv=即过。z轴的平面都是主平面。第二个解,将其代入（4）式得它表示了任一个与圆锥面（图5-6）相切的微分面。对应平面上的最大剪应力-2（3）三个主应力相等，即过该点的任何微分面上都没有剪应力，即任一 平面都是主平面，与5-2的结论也是一致的。z4545图5-6 54笛卡尔张量基础1.坐标变换考察平面内矢量的坐标变换关系。新、旧坐 标系的方向余弦为将旧系下的矢量分量向新系坐标X投影可得矢量 在新坐标系下的分量 二令进一S(5-12)则式(5-12)可简记为Jj=K24=CjCLj(5-129这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中司样成立，这时取32.笛卡尔张量1回证明了,矢量,可之间满足关系式（5-12，）分量间满足关系（5-129 当坐标旋转时，其分量 0下面我们将证明如果,则它们表示同一矢量。我们注意到新系下的单位基矢,在旧系下的分量即为方向余弦ik故可用旧系下的基矢量表为反过来有由所以根据Kroneker 3的定义:妖4上式可得这就是我们所要证明的结论。定义：在坐标变换时，满足式（5-12，）的一组量称为一阶张量。位移矢量、力矢量都是一阶张量。在5-1中，已知坐标旋转变换时，新、旧系下应力分量之间的坐标转换公式为一般地，可写为凡坐标变换符合(5-16)式的一组量(5-16)称为二阶张量。决定一点应力状态的九个应力分量 就是一个二阶 张量。可以证明Kroneker 5为二阶张量。的一组量（ij-m类似地，可以定义阶张量，即坐标变换满足称为阶张量。这里的阶数是指指标的个数。标量，比如密度、温度等，它不随坐标变换而变化，即 其指标个数为零，称为零阶张量。3.二阶张量的分解(1)任何一个二阶张量都可以分解为一个二阶 对称张量和一个二阶反对称张量之和。式中=47+47广*为对称二阶张量;为反对称二阶张量。（2）任何一个二阶张量都可以分解为一个球张量与一个偏张量之和。则称为偏张量。称为球张量；&产4 TAi上式可用矩阵表示为(7)由（5）式，变形后两线元的长度分别为(8)变形后线元曲的方向余弦为司理可得变形后线元展开后du、i du%（2）+小必+分g+，为7 八 电m2=12+(1 3(2)+)2+ox dy,dw 7 dw r in2=12+4 吗+(1 3(2)+ox dy国的方向余弦%(11)(12)8u dz dv dz dw.dz)2由矢量代数，变形前、后线元夹角余弦:(13)(14)nr将(10)及(12)式代入(14)式，并利用(13)式，得下面研究三维空间中任意三个正交线元的相对 伸长和剪应变。dxf取线元mi方向为方向，利用（5-239式,并注意到可得线元dxfdr W的正应变分量与旧系下应变分量间的关系司理，可得(5-26a)利用(5-25)式，可得新系下的6个剪应变与旧系下应变分量间的关系:(5-26b)显见，(5-26a)和(5-26b)式可以统一写为符合二阶张量的定义。因此，一点的应变状态是 一个二阶张量。5-7主应变应变张量不变量（5-27）式表明，在给定了一点的应变状态:以后，该点的应变分量将随坐标系的变换而变化。，当在某坐标系下，只有正应变，而无剪应变，即沿.新系坐标轴方向的三个正交线元只有相对伸长，而 无直角的变化。这三个方向称为应变主方向，其相；对伸长称为主应变。我们知道，纯变形时单元的运动由单元本身的变形和单元方位的变化两部分组成。,设d与同为两个沿应变主方向的正交线元，则按 主方向的定义，该两线元变形后仍然正交，只是方位发生了转动，如图5-13示。显然，如果限制方位的转动，即令%=09于是，（2）式就成为(3)式中，e为主应变。将（39式整理后得(5-28)这是关于应变主方向 的齐次代数方程，有非零解的条件是其系数矩阵行列式为零，即%吟=。展开后得(5-29)(5-30)J1=+j2+x+M3.%1 y izxi27xy13 yzy1 z 2,2,2 Xy 一 1(7yz+7zx+Yxy)1y 1 5,和xzyz(5-31)称为应变张量的第一、第二、第三不变量。运用(5-28)式中的两个方程，及几何关系可以确定与任一主应变 相伴的应变主方向。5广义Hooke定律的一般形式前面我们讨论了各向同性体的广义Hooke定律，其 中还强制性地给出了一些附加假设。从这一节起，我们将对广义Hooke定律作一般性的讨论。应力作为应变的函数，一般地可以写为(1)J将分量 在自然状态附近展开，在小变形条件下,XK=COo+(2)式中，右下角。表示在自然状态取值。根据基本假设，在自然状态下有(2)式中,y和GOoH蛆1材料性质决定，一般来讲，它是坐标的函数；如果材料是均匀的，则它与坐标无关而成为 材料常数。于是(2)式就可写为司理/=G/+G2s+G/z+G/z+G%+G%3=02 向+C22s+02g+C2/yz+C2zx+C2xy，=。31邑+。32s+。3/z+。3+。3%+。36%Sz=041J+C4s+4/z+4小+Czx+Cxy 公=。5 趴+。52s+。5/z+。5人+。5%+。5%xy。61+。6/y+。6/z+。64%yz+。6+zx 6xy(5-32)式中系数一共有36个。称为弹性常数,(5-32)式对材料弹性性质未加任何限制，称为完全各向异性。根据能量守恒定律和应变能的存在(5-11),-rrm rm可以证明，弹性常数之间存在关系这就是说(5-32)式的系数是对称的。因此，即 使是对于完全各向异性体，独立的弹性常数也只 有21个。对(5-32)式也可写成用应力表示应变 的形式，即5-9弹性体变形过程中的能量能量守恒定律指出：封闭系统中总能量的增加（包括动能增加和 内能增加）等于外力对系统所做的功和系统 从外界吸收的热量之和，即：(1)这就是热力学第一定律的速率形式。区域，的动能:上式对时间求导，得夫可夕派47(2)设 为单位体积的内能，则区域T的内能C7=J/将上式两边对时间微分得(3)(4)式中77为区域2的边界 上的作用面力，由Cauchy公式Ti=crijnj及高斯（Gauss）积分公式，并注意到应力的对称性得将（5）代入（4）式，得对于一个绝热过程，即物体在变形过程中既无热量损失，也不从外界吸入能力学第一定律成为量，则0=0O此时，热(7)将（2）、（3）、（6）式代入式（7）得UT(8)式中2运用运动微分方程，（8）式左边第一个积分为零，故有由区域柏勺任意性，我们有两边同乘以山，得(10)(5-33)由于内能U1是状态的单值函数，即与过程无关,必须是全微分，即有(11)与(5-33)式比较可得c 期(为)(5-34)当一个过程进行得异常迅速,以致来不及和外界发生显著热交换，则可近似地按绝热过程处理。热力学第二定律涉及到两个重要的状态量:温度T和熠X。温度是表示物体冷热程度的物理量o力商是热力学系统的一个状态函数，与系统热量的增加和绝对温度的比值有关。在变形过程中，端的改变量题由两部分组成，输入热量引起的燃增量M称为供域及变形和热（卯流阻力引起的燧变化量(M)称为产崎，即At(12)(13)(14)式(12)两边除以表示幅的增大率等于燧的输入速率与崎的生成速率之和，其中，熠的输入速率(15)热力学第二定律告诉我们：自然界中发生的一切热力学过程都不会使产燧减少，或者是燧的生成率总是非负的，即(16)H 0对于不可逆过程，比如塑性变形对于可逆过程，比如弹性变形，因此，在弹性变形情况下，(14)式化为H=Q/T Q=TH(18)将(18)代入(1)式得T=O(19)对于等温过程,dRV cJC d=+d d d(20)设为单位体积的燧，定义(21)称为单位体积的自由能，则区域的自由能:由2的任意性,5F5U Uat两边同乘以由得(23)在等温条件下，仅与应变分量有关，也是状态的单值函数，故国亦为全微分，即dF=6Fd%(24)比较(23)、(24)式，得(Green)公式，它是一种能量形式的应力-应变关系。如果应变能函数用6个工程应变分量表示，即如果变形过程进行得非常缓慢，由变形产生的热 量有足够时间散发掉，从而使物体温度保持不变,则这一过程可近似地按等温过程处理。而弹性变形没有能量的耗散，因此将弹性变形视为等温过程是合乎逻辑的。5-10应变能和应变余能当弹性体受到外力作用而变形时，外力将对物体 作功，并将全部转化为物体的动能和储存于物体 内的应变能。如果外力变化得足够慢，则动能的 变化可以忽略，这时外力的功将全部转化为应变4y图5-14从物体中取出一个如图5-14所示的微元体。对微元 体而言，作用其表面上的应力即为微元体的外力。设在加载过程中某一时刻各微分面上的应力下一时刻的应变增量同样，可以得到其他应力分量在相应变形上的功,把这些功叠加起来，并除以微元体积dV后得单位 体积内的应变能：比较（2）和（5-39）式可知,应变能函数等于单位体积内的应变能，又称应变能密度。定义:单位体积的应变余能（应变余能密度）为注意到两边积分后得代入（5-40）式，有氏铲与(5-41)显然，5为应力分量的函数，与过程无关。因此,当应力发生微小变化时，应变余能密度的变化为(4)比较(3)、(4)式，有.明二(5-42)上式称为卡斯蒂利亚诺(Castigliano)公式，它是 以能量表示的应力-应变关系的另一种形式。在单向拉伸的情况下，式(5-39)和(5-41)分别退化为A=ode J oB-f aicrJ 0一般非线性情况：应变能密度A为曲线下与碎由所围面积；.而8为曲线与。轴所围面积，如图5-/5所示。材料为线性弹性时，见图5-15（切。图5-15在复杂应力状态下，线性弹性体的应力-应变关 系如式（5-32）所示。要保证用（5-36）式导 出（5-32）式，则应变能密度（A）必须是应变 分量的二次齐次函数。根据齐次函数的Euler定理，二次齐次函数对各变 量的偏导数并乘以对应的变量之和，等于此函数 的两倍。注意到（5-38）式，有缩写为A 1应变余能密度可见，在线弹性条件下，应变能密度（A）与应变 余能密度（3）的值相等，但应变能密度函数的自 5-11各向异性弹性体的应力-应变关系1.完全各向异性弹性体考察(5-32)式的第二式和第五式，并注意到将(1)和(2)峦HL%和求偏导数，得S2A 二a2dYzx(3)由于A具有二阶连续偏导数，故与求导次序无关,于是由(3)式得到对于其他任何两个常数也可同样证明它们是相等的，即cTITT(5-45)因此，式(5-32)中对于对角线成对称的弹性 常数均相等。故在36个弹性常数中，独立的弹性常数有E6T36-62个。2.具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果物体内的每一点都存在这样一个平面，与该 平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面 称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的 方向，称为物体的弹性主方向。如果取弹性主方 向为坐标轴方向，由弹性对称面的定义可知，当 该坐标轴反向以后，由(5-32)式所确定的应力-应变关系保持不变。设冲平面为弹性对称面，X轴沿弹性主方向05-16)o作坐标变换:y=T y=y z=z根据二阶张量的坐标变换公式(5-16),新系下的应力分量2(4)b/=CTy，=/Tyz Tyz 乏X4新系下的应变分量:，=U+1%+Q铝 小 一1%一。%=%4+侬邑+/幺c2y以一a%，丐=S1A+S 用+G。%=Qi4+Q今+Q铝+4小c4y以 一Q d=GiA+G今+G。+G?血一口办一G Rv=%心+%今+%J+%小 一%办 一%于弹性对称性，在新系下，应力-应变关系仍具有(5-32)式的形式，即/=54+1 今 表by=G1J+G 用+G/+G*+G%+G/=Si&+G/+G/+S%y+G/y%=414+q 序+Q 麦+q 外+q%*+q%y 私*=G1A+G 今+G3%+G7/Z，+q%G 弘y&y=%ia+%y+GO+%吟+单斜晶体的晶体(如正长石)便具有这类弹性对称。3.正交各向异性弹性体如果存在两个弹性对称面，比如yz面和zx面，由于 以yz面为弹性对称面时的应力-应变关系已由（5-46）式给出，只需要在此基础上讨论以zx面为弹性 对称，y轴为弹性主方向的情况就可以了。作图5-17 所示的坐标变换。同样，按二阶张量的坐标变换公 式可得：c=c 耳将（9）式代入（5.46）式，得，by=021 J+。22邑+。23邑一。24/此Dz Q声尤+QzEy+C33zf C34/yz Tyz=Q1J+042邑,十043/,047次T zx C 55y zx 056 yxy2 zx-0 66y xy(10)应力-应变关系仍白于弹性对称性，在新系下,具有(5-46)的形式，即b%，二力田+C13%,+Ci4/yz,by=。21分+。22叼+。23,+。24/y.z,=Q1J+。32叼+。33,+。34yyzr Tyz U+。42,+。43打+C44/yz,Tzx _ C55yzM+C56YxyTxy C657zx+C66yxy(11)将(10)和(11)式代入(8)式两边，并比较对应项系数得:于是，(5-46)式简化为芬y务旺务(5-47)尔N如果再设冲平面为弹性对称面，而2轴为弹性主方向,在(5-47)式的基础上，进行与前面相同方法的推演,发现没有新的结果。这表明，相互正交的3个平面中，如果有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹 性对称面。这种具有三个弹性对称面的弹性体称为正 交各向异性弹性体。式（5-47）表明：（1）正交各向异性弹性体只有 9个独立的弹性常数；（2）当坐标轴方向取为弹 性主方向时，正应力只与正应变有关，剪应力只 与对应的剪应变有关，即拉压与剪切，及不同平 面内的剪切之间不耦合。各种增强纤维复合材料、木材等为正交各向异性 弹性体。4.横观各向异性弹性体假定物体内每一点都具有一个弹性对称轴，也就 是说，每一点都有一个各向同性平面，在这个平 面的所有方向上弹性都相同。这种弹性体称为横观各向同性弹性体。取移面为各向同性面，即z轴为弹性对称轴。根据上述定义，任何一个过Z轴平面都是弹性对称面，由以上推论可知，各向同性面也必然是一个弹性对称 面，从而z轴为弹性主方向，符合正交各向异性的定义,因此，应力-应变关系(5-47)成立。由于孙平面内的任一个方向都为弹性主方向，因此，将坐标系绕2轴旋90。(图5-18),应力-应变关系仍 然满足式(5-47)oz(z)X图5-18在新系下的应力-应变关系，一今F存F在，女F 耳F存FF要，欣F将(14)、(15)代入(12)式9得如下关系:G1=G2C13=C23至此，独立弹性常数的个数减少到6个,而(5-47)式简化为一 一二.,yz笈y日y务，q其y若f关，)(16)现在，再将坐标系绕z轴旋转任意角，如图5-19示。z(z)X图5-19由二阶张量坐标变换公式得(17)(18)式(18)写为工程应变形式：(21)比较(20)、(21)式，可得(22)可见，横观各向同性体只有5个独立弹性常数，将(22)代入(16)式，有生F或cF6F亘ZJC(5-48)I,、c z5-12各向同性弹性体应力-应变关系如果物体内所有方向的弹性都相同，就称该物体为 各向同性弹性体。此时，物体内任一平面都是弹性 对称面。,它可以视为一种特殊的横观各向同性体：各向同性 面的弹性性质与弹性对称轴方向的弹性性质相同。于是，（5-48）式成立。设孙平面为各向同性面，z轴为面外方向(图5-20(a)o将坐标系绕x轴旋转90。，如图5-20(b)示如果在新系下的应力-应变关系与旧系下的应力-应变关系相同，则面内方向与面外方向有相同 弹性。在此坐标变换条件下，有小zy而外方向各向同性面y巨F我F弃F苴，对在新系下的应力-应变关系为（4）将（3）、（4）代入（1）式，比较两边同类项系数,可得012=013 Ql=633此时，独立弹性常数已减少到2个。将它们代入(5-48)式，并稍加整理，有(5-49)12？=。夕+(5-J=g(%一。2)乙1夕+G1G2)J F(%一式中注意到所取盯的任意性，(5-49)式就是各向同性 弹性体的应力-应变关系。通常，令C12=几则式(5-49)可写为，=2分次耳，Tyz%=28女三，TZX，二2分次邑飞(5-50)NYzx此即为(2-16)式，用张量形式可简记为(5-509这就是各向同性弹性体广义Hooke定律，2、/称为拉梅(Lam6)弹性系数。令(5-50)式中指标(5-51)对比(2-14)式有体积弹性模量K=1型+如3(5-52)由此可得用应力表示应变的本构关系:2rr(5-53)可以证明，Lam6系数;I、与杨氏弹性模量和泊松5-13各向同性弹性体各弹性 常数间的关系上节中，我们已证明，各向同性弹性体只有两个独立 弹性常数九和中联系简单拉伸、纯剪切和静水应力状 态可以确定它与工程上常用的弹性常数E、和K间的 关系；而小 和K的值可以通过简单拉伸、纯剪切和 静水压力试验测定。1.简单拉伸设试件的拉伸方向沿X轴方向，则联立(5-56a)和(5-56b)式，即得(5-54)式。2.纯剪切假定剪应力作用在冲平面内，则故拉梅系数就是剪切弹性模量。3.静水应力静水应力状态，各应力分量为C由(5-51)式和(5-52)式有式中后(5-58)为平均正应力。在给定静水压力下，实验测定体积应变，即可由(5-58)式算出体积弹性模量K。或将(5-54)式代入(5-52)式有(5-59)表明K可以通过算出。对各向同性弹性体的讨论中引进了 Q等5个弹性常数，但其中只有两个是独立的。要使一个变形体发生变形，作用在其上的外力必须4 g对它作正功。这就要求与和K都是正的，即石 0 607c0于是可以推知泊松比有上、下限(5-60)即纵向压缩，而横向并不膨胀。对于工程上常用的均质材料，通。由V 二 二 K-12-表示这种材料是不可压缩的Ov=O下面来讨论应变能的正定性。将应力-应变关系（5-50，）代入应变能表达式实际的而2与V同号,所以从上式可以看出应变能总是正的，仅当如果用应力来表示应变能，则由（5-55）代入(5-439 得(5-62)展开后得(5-629